2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.设集合A= xN|5+4x-x20 ，集合 B=0 ， 2，则 AB=（）A. 1，2B. 0， 2C. ?D. 0 ，1， 22.已知 i 为虚数单位，实数x， y 满足（ x+2i） i=y-i ，则 |x-yi|=（）A. 1B.C.D.3.如图，已知= ，= ，=4 ，=3 ，则=（）A.-B.-C.-D.4.设 a=log 0.1 0.2， b=log 1.10.2， c=1.20.2， d=1.10.2，则（）A. a b d cB. ca

2、 d bC. d c abD.-c d ab5. 已知命题 p：若 a 2 且 b 2，则 a+b ab；命题 q：? x0，使（ x-1）?2x=1，则下列命题中为真命题的是（）A. pqB. （ p）qC.pqD.（p）（q）（ ）6. 设 an是公差不为02222，则 an 的前 10 项和 S10=（）的等差数列，满足 a4+a5=a6 +a7A. -10B. -5C.0D. 57. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A. 2B. 4C.D.8.过双曲线 C： -=1 的右顶点作 x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点 A若以C 的右焦点为圆心、半

3、径为4 的圆经过 A， O 两点（ O 为坐标原点），则双曲线 C的方程为（）A.B.C.D.9.已知过点 A（ a， 0）作曲线 C： y=x?ex 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（）第1页，共 19页A.C.（ -， -4） （ 0， +）（ -， -1）（ 1，+）B.D.（ 0， +）（ -， -1）10. 已知 f（ x） =sin（ x+），其中 0，（ 0， ）， f（ x1） =f（ x2）=0， |x2-x1 |min= f（ x）=f（），将 f（ x）的图象向左平移个单位得G（ x），则 G（ x）的单调递减区间是（）A. k， k+B. k+， k+C. k

4、+， k+ D. k+， k+11. 焦点为 F 的抛物线 C：y2=8x 的准线与 x 轴交于点 A，点 M 在抛物线 C 上，则当取得最大值时，直线MA 的方程为（）A. y=x+2 或 y=-x-2B. y=x+2C. y=2x+2 或 y=-2x+2D. y=-2 x+212.已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S-ABCD ，四棱锥 S-ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S-ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于（）A. 2cmB. 4cmC.D. 24cm二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 用 a，b， c 表示空间中三条不同的直线， 表示平面

5、，给出下列命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab， ac，则 bc；若 a， b，则 ab；若 a，b，则 ab其中真命题的序号是 _（请将所有正确命题的序号都填上）14.公元 263 年左右， 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 _（参考数据：sin15 0.2588，sin7.5 0.1305）第2页，共 19页15.已知实数x y，若z=3x+y的最大值为5m的值为_，

6、满足，则正数16.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于 120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120根据以上性质，函数f（ x）=+的最小值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共84.0 分）17.已知数列 an 为等差数列，首项1，公差 d0若， ， a =1成等比数列，且b1=1， b2=2 ，b3 =5（ 1）求数列 bn 的通项公式 bn；（ 2）设 cn=log 3（ 2bn-1），求和 Tn=c1c2-c2c3+c3c4 -c4c5+ +c2n -1c2n -c2nc2n+1ABC中，BC边

7、上的中线AD长为3BD =2sinB=18. 如图，在 ，且，（ 1）求 sinBAD 的值；（ 2）求 cosADC 及 ABC 外接圆的面积19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，已知 PA=AC=2， PAD =DAC=60， CEAD于 E（ 1）求证： AD PC；（ 2）若平面 PAD 平面 ABCD ，且 AD =3，求二面角C-PD -A 的余弦值第3页，共 19页20.已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F ，离心率，过点F 的直线交椭圆C 于 A、 B 两点， ABE 的周长为 16（ 1）求椭圆 C 的方程；222（ 2）已知 O 为原点，圆

8、 D ：（ x-3） +y =r （r 0）与椭圆 C 交于 M、 N 两点，点 P 为椭圆 C 上一动点， 若直线 PM 、PN 与 x 轴分别交于 G、H 两点，求证：|OG|?|OH|为定值21.已知函数f（ x） =lnx+（ ） 若函数 f（ x）有零点，求实数a 的取值范围；（ ） 证明：当a时， f（ x） e-x22. 在平面直角坐标系中，曲线C1：x2 -y2=2，曲线 C2 的参数方程为（ 为参数）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ ）求曲线 C1， C2 的极坐标方程；（ ）在极坐标系中， 射线与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点（异于极点

9、 O），定点 M（ 3， 0），求 MAB 的面积第4页，共 19页23.已知函数f（ x） =|2x-a|，g（ x） =|bx+1|（ 1）当 b=1 时，若的最小值为3，求实数a 的值；（ 2）当 b=-1 时，若不等式f（ x）+g（ x） 1 的解集包含，求实数a 的取值范围第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合A=x N|5+4x-x20=x N|-1 x 5=0 ，1，2，3，4 ，集合 B=0 ，2，则 AB=0 ，1，2 故选：D化简集合 A ，根据交集的定义写出 AB本题考查了集合的化 简与运算问题，是基础题2.【答案】 D【解析】解：（x+2i）i=

10、-2+xi=y-i ，x=-1，y=-2则 |x-yi|=故选：D利用复数代数形式的乘法运算化 简，求出 x，y 的值，再由复数求模公式 计算得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数模的求法，是基 础题3.【答案】 B【解析】解：=4，=（-）=+=（-）+=（-）-=-，故选：B根据向量的三角形法和加减的几何运算即可求出本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题 .4.【答案】 D【解析】解：0a1，b0，c1，d1y=x0.2 在 R 上为增函数，cd，故选：D第6页，共 19页利用指数函数与 对数函数的 单调性即可得出本题考查了指数函数与 对数函数的 单调性，考查了

11、推理能力与 计算能力，属于基础题5.【答案】 A【解析】则且 ，得 +1，即 1，从而 a+b解：若a2 且 b2，ab，命题 p 为真直线 y=x-1 与函数 y=的图象在（0，+）内有唯一交点，则方程 x-1=有正数解，即方程（x-1）?2x=1 有正数解，命题 q 为真，pq 为真命题 故选：A利用基本不等式的性 质判断 p 为真命题，由直线 y=x-1 与函数 y=的图象在（0，+）内有唯一交点，可得命题 q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的 应用，考查函数零点的判定方法，是中档题6.【答案】 C【解析】222+a72简，解：a4+a5

12、 =a6，化 可得：即 2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d0a6+a4+a7+a5=0，a5+a6=a4+a7，a5+a6=0，S10=5（a5+a6）=0，故选：Ca42+a52=a62+a72，化简可得：，可得a5+a6=0，再利用等差数第7页，共 19页列通项公式求和公式及其性 质即可得出本题考查了等差数列通 项公式求和公式及其性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题7.【答案】 C【解析】【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面 积求和即可本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空 间想象能力和思 维能力【解答

13、】解：由三视图可得原几何体如 图，PO底面 ABC ，平面 PAC底面 ABC ，而 BCAC，BC平面 PAC，BCAC 该几何体的高 PO=2，底面ABC 为边长为 2 的等腰直角三角形， ACB 为直角所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面 PBCPC=，该积和 四面体的四个面中，直角三角形的面故选：C8.【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径 c=4 是解决本 题的关键【解答】解：以 C 的右焦点 为圆心、半径为 4 的圆经过 A ，O 两点（O 为坐标原点），22半径 R=c=4，则圆的标准方程为（x-4）+y =16，第8页，共 1

14、9页A （a，0），y=b，即B（a，b），2 2则（a-4）+b =16，即 a2-8a+16+b2=16，即 c2-8a=0，即8a=16，则 a=2，b2=16-4=12，则双曲线 C 的方程为 -=1，故选：D9.【答案】 A【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档 题设切点为（m，mem），求得y=x?ex 的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入 A 的坐标，整理为 m 的二次方程，由判别式大于 0，解不等式即可得到所求范围【解答】解：设切点为（m，mem），y=x?ex 的导数为 y=（x+1）ex ，可得切线的斜率为（m+

15、1）em，则切线方程为 y-mem=（m+1）em（x-m），切线过点 A （a，0）代入得-mem=（m+1）em（a-m），可得 a=，即方程 m2-ma-a=0 有两个解，则有=a2+4a0 可得 a0 或 a-4即 a 的取值范围是（-，-4）（0，+）故选：A10.【答案】 A【解析】第9页，共 19页解：f（x ）=sin（x+），其中0，（0，），f（x 1）=f（x2）=0，|x2-x1|min =， = =， =2，f（x）=sin（2x+ ）又 f（x）=f （图对称轴为x= ，2?+=k+，kZ，），f（x）的 象的= ，f（x）=sin（2x+）将 f（x）的图象向左平

16、移个单位得 G（x）=sin（2x+ +）=cos2x 的图象，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是 k，令 2k 2x2k，+求得 k xk+，k+ ，故选：A利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得 f（x）的解析式，利用函数y=Asin （ x+）的图象变换规律求得 G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则 G（x）的单调递减区间本题主要考查正弦函数的周期性以及 图象的对称性，函数 y=Asin （x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题11.【答案】 A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题由题意可知则当 取得最大

17、值，则 MAF 必须取得最大 值，此时 AM 与抛物线相切，设直线 l 的方程，代入抛物线方程，由=0，考虑求得 MA 的方程【解答】解：如图，过 M 做 MP 与准线垂直，垂足为 P，第10 页，共 19页则=，则当取得最大 值，必须取得最小 值，MAF 必须取得最大 值，此时 AM 与抛物线相切，设切线方程为则，y=k（x+2），化简得 ky2-8y+16k=0，由 =64-64k2=0，得k2=1，则 k1，则直线方程 y=x+2 或 y=-x-2，故选：A12.【答案】 B【解析】解：如图，设四棱锥的底面边长为 2a，高为 h（0h6），则底面正方形外接 圆的半径为a，侧棱长SA=，由

18、射影定理可得：2a2+h2=6h，则四棱锥 S-ABCD 的体积 V=4a2h= （12h-2h2）h=- h3+4h2（0 h 6），则 V=-2h2+8h，可得当 h=4 时，V 有最大值，此时 2a2=24-16=8，a=2，则底面边长等于 4cm故选 B由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为 2a，高为 h（0h6），可得2a2+h2=6h，写出棱锥体积，把a 用 h 表示，再由导数求解得答案第11 页，共 19页本题考查球内接多面体体 积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最 值问题中的应用，是中档题13.【答案】 【解析】解： 若 ab，bc，则 ac，ac，a与 c

19、异面都有可能； 若 ab，ac，由公理 4 得 bc； 若 a，b，则 ab，ab，a 与 b 异面都有可能； 若 a，b，则 ab，由课本例题可知故答案为： 可利用长方体来 观察； 由空间平行线的传递性可得； 垂直同一平面的两直 线互相平行本题考查空间线线和线面的位置关系，考查空间想象力，注意课本例题，有的可当结论用，属于基础题和易错题14.【答案】 24【解析】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60 =，不满足条件 S3.10，n=12，S=6sin30 =3，不满足条件 S3.10，n=24，S=12sin15 =120.2588=3.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输

20、出 n 的值为 24故答案为：24列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可 结束循环 本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的 应用，属于基础题15.【答案】 2【解析】第12 页，共 19页解：由题意作出实数 x，y 满足的平面区域，将 z=3x+y 化为 y=-3x+z，z 相当于直 线 y=-3x+z的纵截距，故结合图象可得，解得，x=1，y=2；故 m=2；故答案为：2由题意作出其平面区域，将 z=3x+y 化为 y=-3x+z ，z 相当于直 线 y=-3x+z 的纵截距，从而解方程可求出 m，即可本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题1

21、6.【答案】 2+【解析】解：由两点间的距离公式得f （x）=+为点（x，y）到点B（1，0），A（-1，0），C（0，2）的距离之和，即求点（x，y）到点（1，0），-（1，0），0（，2）的距离之和的最小 值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的 费马点，如右图，在等腰三角形 AMB 中，AMB=120 ，可得 AM=BM=，CM=2-MO=2-，容易求得最小 值为+2-=2+故答案为：2+由两点距离公式可得f（x）表示点（x，y）到点（1，0），-（1，0），0（，2）的距离之第13 页，共 19页和，由新定义可得 f（x）的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小 值 本题考

22、查两点的距离公式的运用，考 查新定义的理解和运用，以及运算能力，属于中档 题17.1 ana1=1d 0ab1 ab 2 ab3abnb1=1 b2=2 b3=51+d 2=1 1+4d21+2d+d =1+4dd=2d=0q=33 62 cn=log 3 2bn-1 =n-17Tn=c2c1-c3+c4c3-c5+c6c5-c7+c2nc2n-1- c2n+1=-2c2+c4+c2n=-21+3+5+2n-12=-2 n122（1）由已知得（1+d）=1（1+4d），从而d=2，q=3，由此能求出（2）由cn=log3（2bn-1）=n-1，Tn=c2（c1-c3）+c4（c3-c5）+c6

23、（c5-c7）+c 2n（c2n-1-c2n+1 ）=-2（c2+c4+c2n），能求出Tn本题考查数列的通 项公式和前 n 项和公式的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性 质的合理运用18.1BD =2sinB=AD=3ABD=sin BAD =2sinB=cosB=sin BAD =cos BAD=cos ADC =cosB+BAD=- =-DBCDC =BD=2222ACDAC =AD +DC -2AD?DC cos ADC=9+4+3=16第14 页，共 19页设 ABC 外接圆的半径为R，2R=，R=，ABC 外接圆的面积S=?（） 2 =.【解析】此题考查

24、了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟 练掌握定理是解本题的关键（1）由正弦定理即可解得 sinBAD 的值；（2）先求得cosB，cosBAD ，利用两角和的余弦函数公式可求cosADC ，由题意可求 DC=BD=2 ，利用余弦定理即可求得AC 的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，即可求面积19.【答案】 （ 1）证明：连接PE，PA=AC，PAD =CAD， AE 是公共边，PAECAE，PEA=CEA，CE AD ， PEAD，又 PE? 平面 PCE， CE? 平面 PCE， PECE=E，AD 平面 PCE，又 PC? 平面 PCE，AD PC；（ 2）解：由AD 平面 P

25、EC，平面 PAD 平面 ABCD ，EP， EA，EC 两两垂直，以 E 为原点， EA， EC， EP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示PA=AC=2， PAD=CAD =60 ， AD =3，AE=1， DE=2，则 E（0， 0， 0）， D（ -2， 0， 0），设平面 PCD 的法向量为，则，即，令，则，又平面 PAD 的一个法向量为，设二面角C-PD -A 所成的平面角为，第15 页，共 19页则=，由图可知二面角C-PD -A 是锐角，故二面角C-PD -A 的余弦值为【解析】（1）连接 PE，证明PAECAE，可得PEA=CEA，由CEAD ，得

26、PEAD ，由线面垂直的判定可得AD 平面 PCE，从而得到 AD PC；（2）由AD 平面 PEC，平面 PAD 平面 ABCD ，可得 EP，EA ，EC 两两垂直，以 E 为原点，EA，EC，EP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PCD 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得二面角 C-PD-A 的余弦值本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思 维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档 题20.【答案】 （ 1）解：由题意和椭圆的定义得|AF|+|AE|+|BF|+|BE |=4a=16，则 a=4，由，解得，则

27、b2=a2-c2=9，所以椭圆C 的方程为；（ 2）证明：由条件可知， M ，N 两点关于 x 轴对称，设 M（ x1， y1）， P（ x0， y0），则 N（ x1， -y1），由题可知，所以，又直线 PM 的方程为，令 y=0 得点 G 的横坐标，同理可得 H 点的横坐标，所以|OG| |OH|=|?|=|?=16 ，即 |OG|?|OH |为定值【解析】第16 页，共 19页本题考查了椭圆的定义和性质，证明题关键在于正确 设出点的坐 标，利用椭圆方程和直 线方程正确表示出点的坐 标，属于中档题（1）利用椭圆的定义可求出 a 的值，再利用离心率求出 c，从而得出 b 的值，从而求出椭圆方

28、程；（2）先设 M 、P 两点的坐 标，再表示出 N 点的坐标，根据椭圆方程用 M 、P 的纵坐标表示出它 们的横坐标，再利用直线 PM 和 PN 的方程求出 G 和 H 的横坐标，最后即可求得 |OG|?|OH|为定值 21.【答案】 解：（ ）法 1：函数的定义域为（ 0， +）由，得 （ 1 分）因为 a 0，则 x（0， a）时， f（ x） 0； x（ a，+）时， f（ x） 0所以函数f （ x）在（ 0，a）上单调递减，在（a， +）上单调递增 （2 分）当 x=a 时， f（ x） min=ln a+1 （ 3 分）当 lna+10，即 0 a时，又 f （ 1） =ln1+

29、 a=a 0，则函数 f（ x）有零点 （ 4 分）所以实数a 的取值范围为 （ 5 分）法 2：函数的定义域为（0，+）由，得 a=-xlnx （ 1 分）令 g（ x）=-xlnx ，则 g（ x）=-（ lnx+1）当时， g（ x） 0； 当时， g（ x） 0所以函数 g（ x）在上单调递增，在上单调递减 （2 分）故时，函数 g（ x）取得最大值 （ 3 分）因而函数有零点，则 （ 4 分）所以实数 a 的取值范围为 （ 5分）（ ） 要证明当时， f（ x） e-x，即证明当 x 0，时，即 xlnx+ a xe-x （ 6 分）令 h（ x）=xlnx+ a，则 h（ x） =

30、ln x+1当时， f（ x） 0；当时， f（ x） 0第17 页，共 19页所以函数h（ x）在上单调递减，在上单调递增当时， （ 7 分）于是，当时， （ 8 分）令 （ x） =xe-x，则 （x）=e-x-xe-x=e-x（ 1-x）当 0 x1 时， f（ x） 0；当 x 1 时， f（ x） 0所以函数 （ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当 x=1 时， （ 9 分）于是，当 x 0 时， （ 10 分）显然，不等式、中的等号不能同时成立 （11分）故当时， f（ x） e-x （ 12 分）【解析】（）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；法二：求出 a=-xlnx，令 g（x ）=-xlnx ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可