2018-2019学年湖北省武汉市部分学校九年级(上)期末数学试卷

1、2018-2019 学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0分）1.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3-6，常，一次项系数是数项是 1 的方程是（）A. 3x2+1=6xB. 3x2-1=6xC. 3x2+6x=1D. 3x2-6x=12.下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3. 将抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 2 个单位长度所得的抛物线解析式为（）A. y=（ x-1）2 +2B. y=（x+1 ） 2+2C. y=（ x-1） 2-2D. y=（ x+1

2、）2 -24. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6的点数， 则下列事件为随机事件的是（）A. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1B. 两枚骰子向上一面的点数之和等于1C. 两枚骰子向上一面的点数之和大于12D. 两枚骰子向上一面的点数之和等于125. 已知 O 的半径等于 8cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 9cm，则直线 l 与 O 的公共点的个数为（）A.0B.1C.2D. 无法确定6. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：CD 为 O 的直径，弦ABC

3、D 于 E，CE =1 寸， AB=10 寸，则直径 CD 的长为（）A. 12.5 寸B. 13寸C. 25寸D.26寸7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（）A.B.C.D.8. 如图，将半径为 1，圆心角为 120 的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转一个角度，使点 O 的对应点 D 落在弧 AB 上，点 B 的对应点为 C，连接 BC，则图中 CD 、BC 和弧 BD 围成的封闭图形面积是（）第1页，共 20页A.-B.-C.-D.-9.欧几里得的 原本记载，形如 x2+ax=b2 的方程的图解法是：画 RtABC，使 A

4、CB=90，BC= ，AC=b，再在斜边AB 上截取 BD= 则该方程的一个正根是（）A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长10. 已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）的对称轴为 x=-1，与 x 轴的一个交点为 （2，0）若于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=p（p 0）有整数根，则p 的值有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共6 小题，共18.0 分）11.已知 3 是一元二次方程x2=p 的一个根，则另一根是_12. 在平面直角坐标系中，点 P（ -1， -2）关于原点对称点的坐标是 _ 13. 一个口袋有 3 个黑球和若干个白球

5、， 在不允许将球倒出来的前提下， 小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中， ，不断重复上述过程，小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是 _14. 第七届世界军人运动会将于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉矩形，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片如图，该照片（中间的矩形）长 29cm、宽为 20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的 为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xc

6、m，依题意列方程，化成一般式为 _15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m水面下降 2.5m，水面宽度增加 _m16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 边上一点，连接AE，过点 B 作 BGAE 于点 G，连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，则 AF 的最大值是 _三、计算题（本大题共1 小题，共8.0 分）217.解方程： x -3x-1=0 四、解答题（本大题共7 小题，共64.0 分）第2页，共 20页18. 如图，A、B、C、D 是 O 上四点，且 AD=CB，求证：AB=CD 19. 武汉的早点种类丰富， 品种繁多，某早餐店供应甲类

7、食品有： “热干面”、 “面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、 B、 C、 D ）；乙类食品有：“米粑粑”、“烧梅”、“欢喜坨”、“发糕”（分别记为 E、 F、G、H ），共八种美食小童和小郑同时去品尝美食， 小童准备在“热干面”、 “面窝”、 “米粑粑”、 “烧梅”（即 A、B、E、F）这四种美食中选择一种， 小郑准备在“生煎包”、 “锅贴饺”、“欢喜坨”、“发糕”（即 C、D 、G、H）这四种美食中选择一种，用列举法求小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率20. 如图，在边长为 1 的正方形网格中， A（ 1，7）、B（5，5）、 C（7， 5）、 D（ 5，1）（ 1）将线段

8、 AB 绕点 B 逆时针旋转，得到对应线段 BE当BE 与 CD 第一次平行时， 画出点 A 运动的路径， 并直接写出点 A 运动的路径长；（ 2）线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标21. 如图，在四边形 ABCD 中， ADBC， AD CD ， AC=AB， O 为 ABC 的外接圆（ 1）如图 1，求证： AD 是 O 的切线；（ 2）如图 2，CD 交 O 于点 E，过点 A 作 AGBE，垂足为 F，交 BC 于点 G求证： AG=BG；若 AD =2， CD =3，求 FG 的长第3页，共 2

9、0页22.某商家销售一种成本为20 元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元 /件）满足一次函数关系，并且当x=25 时， y=550；当 x=30时， y=500 物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48 元 /件（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000 元？（ 3）直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润23. 如图，等边 ABC 与等腰三角形 EDC 有公共顶点 C，其中 EDC =120 ，AB=CE=2，连接 BE， P 为 BE 的中点，连接 PD 、AD（ 1）为了研究线段 AD

10、 与 PD 的数量关系， 将图 1 中的 EDC 绕点 C 旋转一个适当的角度，使 CE 与 CA 重合，如图 2，请直接写出 AD 与 PD 的数量关系；（ 2）如图 1，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（ 3）如图 3，若 ACD =45，求 PAD 的面积第4页，共 20页24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+（ 1-m） x-m 交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），交 y 轴负半轴于点 C（ 1）如图 1，m=3直接写出A、 B、C 三点的坐标若抛物线上有一点D， ACD =45，求点 D 的坐标（ 2）如图 2，

11、过点 E（ m， 2）作一直线交抛物线于 P、Q 两点，连接 AP、 AQ，分别交 y 轴于 M、 N 两点，求证： OM?ON 是一个定值第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：3x2-6x+1=0，其二次项系数是 3，一次项系数是 -6，常数项是 1，故选：A根据题意确定出所求方程即可此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 ax2+bx+c=0（a0）2.【答案】 C【解析】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C根据中心 对称图

12、形的定义逐个判断即可本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键3.【答案】 A【解析】解：将抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 +2 个单位长度所得的2抛物线解析式为 y=（x-1）+2故选：A根据 “左加右减，上加下减 ”的法则进 行解答即可本题考查的是二次函数的 图象与几何 变换，熟知二次函数图象平移的法 则是解答此题的关键4.【答案】 D【解析】第6页，共 20页解：A 、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误 ；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误 ；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，

13、是不可能事件，故此选项错误 ；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于 12，是随机事件，故此选项正确；故选：D根据事先能肯定它一定会发生的事件称 为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称 为不可能事件，在一定条件下，可能 发生也可能不 发生的事件，称为随机事件 进行分析即可此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定 义5.【答案】 A【解析】解：O 的半径等于 8cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 9cm，即圆心 O 到直线 l 的距离大于 圆的半径，直线 l 和O 相离，直线 l 与O 没有公共点故选：A利用直 线 与圆的位置关系的判断方法得到直 线 l 和O 相离，然后根据相离的定义对

14、各选项进行判断本题考查了直线与圆的位置关系：设 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则当直线 l 和O 相交 ? dr；直线 l 和 O 相切 ? d=r；直线 l 和 O 相离 ? dr6.【答案】 D【解析】解：设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC=x，CD 为 O 的直径，弦 AB CD 于 E，AB=10 寸，AE=BE=AB=10=5 寸，第7页，共 20页连OA 则 OA=x222接寸，根据勾股定理得x =5 +（x-1），解得 x=13，CD=2x=213=26（寸）故选：D根据垂径定理和勾股定理求解此题是一道古代 问题，其实质是垂径定理和勾股定理通 过此题

15、，可知我国古代的数学已 发展到很高的水平7.【答案】 B【解析】解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况数有8 种，其中三只雏鸟中恰有两只雌 鸟的情况数有 3 种，则P= 故选：B画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌 鸟的情况数，即可求出所求的概率此题考查了列表法与 树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与 总情况数之比8.【答案】 B【解析】解：如图，连接 OD由题意：OA=OD=AD ，第8页，共 20页AOD 是等边三角形，ADO= AOD=60，ADC= AOB=120，ADO+ ADC=180，O，D，C 共线，图中 CD、BC 和弧 BD 围成的封闭图形面积 =S-S

16、扇形 ODB=1-OBC=-，故选：B如图，连接 OD首先证明 O，D，C 共线，可得图中 CD、BC 和弧 BD 围成的封闭图形面积=SOBC-S 扇形 ODB ，由此计算即可本题考查旋转变换，扇形的面积公式，等边三角形的判定等知 识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型9.【答案】 B【解析】解：欧几里得的原本记载，形如 x2+ax=b2 的方程的 图解法是：画 RtABC ，使 ACB=90 ，BC=边AB 上截取 BD=，AC=b ，再在斜设AD=x ，根据勾股定理得：（x+2 22，）=b +（ ）整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD 的长，故选：B

17、表示出 AD 的长，利用勾股定理求出即可此题考查了解一元二次方程 -配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键10.【答案】 B【解析】解：抛物线 y=ax2+bx+c （a0）的对称轴为 x=-1-=-1，解得 b=2a第9页，共 20页又 抛物 线 y=ax2+bx+c（a 0）与x 轴的一个交点 为（2，0）把（2，0）代入y=ax2+bx+c 得，0=4a+4a+c解得，c=-8ay=ax2+2ax-8a（a0）对称轴值=-9ah=-1，最大 k=如图所示，顶点坐标为（-1，-9a）令 ax2+2ax-8a=0即 x+2x-8=0解得 x=-4 或 x=2当 a 0 时，抛物线始终与

18、x 轴交于（-4，0）与（2，0）ax2+bx+c=p即常函数直 线 y=p，由p00y -9a由图象得当 0y-9a 时，-4x2，其中 x 为整数时，x=-3，-2，-1，0，1一元二次方程 ax2+bx+c=p（p0）的整数解有 5 个又 x=-3 与 x=1，x=-2 与 x=0 关于直线 x=-1 轴对称当 x=-1 时，直线 y=p 恰好过抛物线顶点所以 p 值可以有 3 个故选：B第10 页，共 20页根据题意可知一元二次方程的根 应为整数 ax2+bx+c=p（p0），通过抛物线 y=ax2+bx+c （a0）的对称轴为 x=-1，与x 轴的一个交点 为（2，0）可以画出大致图

19、象判断出直 线 y=p（0p-9a），观察图象当 0y-9a 时，抛物线始终与 x轴相交于（-4，0）于（2，0）故自变量 x 的取值范围为 -4x 2所以x 可以取得整数 -3，-2，-1，0，1，共5 个由于 x=-3 与 x=1，x=-2 与 x=0 关于对称轴直线 x=-1 对称，所以于 x=-3 与 x=1 对应一条平行于 x 轴的直线，x=-2 与 x=1 对应一条平行于 x 轴的直线，x=-1 时对应一条平行于 x 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定 y=p 时，p 的值应有 3 个本题考查了二次函数 图象抛物线与 x 轴及常函数 y=p（p0）直线的交点横坐标与一元二次方程根的关

20、系11.【答案】 -3【解析】解：把x=3 代入 x2=p，得p=32=9则原方程为 x2=9，即x 2-9=0设方程的另一根 为 x，则 3x=-9所以 x=-3故答案是：-3将 x=3 代入方程求得 p，然后利用根与系数的关系求得另一根考查了根与系数的关系，解一元二次方程-直角开平方法一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x 1?x2=12.【答案】 （ 1，2）【解析】解：点（-1，-2）关于原点对称的点的坐 标是（1，2）故答案为：（1，2）根据关于原点 对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答本题考查了关于原点 对称的点的坐 标，解决本题的关键是

21、掌握好 对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数第11 页，共 20页13.【答案】 12【解析】解：3=12（个）故答案为：12小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球，则有 80 次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比 为 1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为 1：4；即可计算出白球数本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大 ”为总体即可14.【答案】 4x2+98x-145=0【解析】解：根据题意可得：2（29+2x）?x+20x?2=2029 ，整理得：4x2+98x-145=0故答案是：4x2+98x-145=0本题运用框所占面

22、积为照片面积的找等量关系本题考查了一元二次方程的知 识点，找到等量关系列出方程是解决此 题的关键15.【答案】 2【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB ，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A ，B 两点，OA和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2），通过以上条件可 设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2，当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：第1

23、2 页，共 20页当 y=-2 时，对应的抛物线上两点之 间的距离，也就是直线 y=-2 与抛物 线相交的两点之 间的距离，可以通过把 y=-2 代入抛物 线解析式得出：-2.5=-0.5x2+2，解得：x=3，所以水面宽度增加到 6 米，比原先的宽度当然是增加了 6-4=2米，故答案为：2根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通 过把 y=-2.5代入抛物 线解析式得出水面 宽度，即可得出答案此题主要考查了二次函数的 应用，根据已知建立坐 标系从而得出二次函数解析式是解决 问题的关键16.【答案】 1【解析】解：以AB 为直径作圆，因为AGB=90 ，所以 G 点在圆上当 C

24、F 与圆相切时，AF 最大此时 FA=FG，BC=CG设 AF=x ，则 DF=4-x ，FC=4+x，在 RtDFC 中，利用勾股定理可得：222，4 +（4-x）=（4+x）解得 x=1故答案为 1以 AB 为直径作圆，当CF 与圆相切时，AF 最大根据切线长定理转化线段第13 页，共 20页AF+BC=CF ，在RtDFC 利用勾股定理求解本题主要考查正方形的性 质、圆中切线长定理17.【答案】 解： a=1， b=-3 ，c=-1 ，22b -4ac=（ -3） -4 1（ -1） =13，x1=， x2=【解析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定 a，b，c 的值，然后检验方

25、程是否有解，若有解代入公式即可求解此题考查了学生的 计算能力，解题的关键是准确应用公式18.【答案】 证明： AD=CB， = ， +=+，即=，AB=CD【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出=是解此题的关键19.【答案】 解：根据题意画树状图如下：由树状图可知，所有可能出现的结果共有16 种，并且这些结果出现的可能性相等，小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的结果共有4 种，则小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率是= 【解析】根据题意先画出 树状图得出所有等情况数和小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的情况数，然后根据概率公式即

26、可得出答案此题考查的是用列表法或 树状图法求概率列表法可以不重复不 遗漏的列出第14 页，共 20页所有可能的 结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此 题是放回实验还是不放回 实验20.【答案】 解：（ 1）点 A 运动的路径如图所示，出点A 运动的路径长为=；（ 2）如图所示，旋转中心P 的坐标为（ 3， 3）或（ 6， 6）【解析】（1）依据旋转的方向，旋转角度以及旋 转中心的位置，即可得到点 A 运动的路径为弧线，根据弧长计算公式即可得到点A 运动的路径长；（2）连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分 线，其交点即为所求本题主要考查了利用旋 转变

27、换进 行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋 转角，对应线段也相等，由此可以通 过作相等的角，在角的 边上截取相等的 线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋 转后的图形21.【答案】 （ 1）证明：如图1，连接 OA， OB， OC在 OAC 和 OAB 中，OACOAB（ SSS），OAC=OAB ，AO 平分 BAC，AO BC又 AD BC ，AD AO，第15 页，共 20页AD 是 O 的切线（ 2）证明：如图 2，连接 AEBCE=90 ，BAE=90 又 AF BE，AFB=90 BAG+EAF =AEB+EAF =90 ，BAG=AEB ABC=ACB =AEB，BA

28、G=ABC，AG=BG解：在 ADC 和 AFB 中，ADCAFB（ AAS），AF=AD=2， BF=CD =3设 FG=x，在 RtBFG 中， FG=x， BF=3，BG=AG=x+2，222222FG +BF =BG ，即 x +3=（ x+2） ，x= ，FG= 【解析】（1）连接 OA ，OB，OC，由AC=AB ，OA=OA ，OC=OB 可证出OAC OAB（SSS），利用全等三角形的性质可得出 OAC=OAB ，即AO 平分 BAC ，利用垂径定理可得出AO BC，结合 AD BC 可得出 AD AO ，由此即可证出 AD是O 的切线；（2） 连接 AE ，由圆内接四边形对角

29、互补结合BCE=90 可得出 BAE=90 ，由同角的余角相等可得出BAG= AEB ，结合ABC= ACB= AEB 可得出BAG= ABC ，再利用等角对等腰可证出 AG=BG ； 由ADC= AFB=90，ACD= ABF ，AC=AB 可证出 ADC AFB（AAS ），利用全等三角形的性质可求出 AF ，BF 的长，设 FG=x，在RtBFG 中，利用勾股定理可求出x 的值，此题得解本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性 质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解 题的关第16 页，共 20页键是：（1）利用全等三角形的性质及垂径定理，

30、找出 AO BC；（2） 利用等角的余角相等及 圆周角定理，找出 BAG= ABC ； 在 RtBFG 中，利用勾股定理求出 FG 的长22.【答案】 解：（ 1）设 y=kx+b，根据题意可得，解得：，则 y=-10x+800；（ 2）根据题意，得：（ x-20）（ -10x+800）=8000 ，整理，得： x2-100x+2400=0 ，解得： x1=40 ，x2=60，销售单价最高不能超过 48 元 /件，x=40，答：销售单价定为40 元 /件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000 元；（ 3）利润 w=（x-20）（ -10x+800） =-10 （ x-80）（ x-20）

31、，-10 0，故 w 有最大值，当x=50 时， w 最大值为9000【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单件利润销售量 ”可得关于 x 的一元二次方程，解之即可得；（3）利润 w=（x-20）（-10x+800）=-10（x-80）（x-20），即可求解本题考查了二次函数的性 质在实际生活中的 应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我 们首先要吃透 题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择 最优方案23.【答案】 解：（ 1）如图 2 中，由题意：在RtAPD 中， APD =90， PAD =30，AD =2PD（ 2）结论成立理由：如图1 中，延长ED

32、 到 F ，使得 DF =DE，连接 BF ， CF第17 页，共 20页BP=EP， DE =DF ，BF=2PD， BF PD ，EDC=120 ，FDC =60 ， DF =DE =DC，DFC 是等边三角形，CB=CA ，BCA=DCF =60 ，BCF=ACD ，CF=CD ，BCF ACD（ SAS），BF=AD ，AD =2PD（ 3）如图 1 中，延长 BF 交 AD 于 G，由（ 2）得到 FBC =DAC ，AGB=ACB=60 ，DP BG，ADP=AGB=60 ，如图 3 中，作 DM AC 于 M， PNAD 于 N在等腰 CDE 中， CE=2， CDE =120，

33、CD =DE =2，ACD=45 ，CM =DM =2 AM=2-2，在 RtADM 中， AD2 =（ 2-2） 2+22=32-8在 RtPAD 中， SPAD= ?AD?PN=AD 2=4-3【解析】（1）利用直角三角形 30 度角的性 质即可解决 问题 （2）结论成立如图 1 中，延长 ED 到 F，使得DF=DE ，连接 BF，CF利用三角形的中位 线定理证明 BF=2PD，再证明 AD=BF 即可解决 问题 （3）如图 1 中，延长 BF 交 AD 于 G，由（2）得到FBC=DAC ，首先证明第18 页，共 20页ADP=60，解直角三角形求出 AD 2 即可解决 问题 本题属于几何 变换综合题，考查了等边三角形的性 质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考压轴题24.【答案】 解：（ 1）当 m=3 时， y=x2-2x-3，当 x=0 时， y=-3，2当 y