2018-2019学年福建省泉州市泉港一中、南安市国光中学高三(上)期中数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年福建省泉州市泉港一中、南安市国光中学高三（上）期中数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1. 已知R为实数集，M= x|x2R-2x 0 ， N= x|y= ，则）M（ ? N）=（A. x|0 x 1B. x|0 x 2C. x|x 2D. ?2. 已知角 的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上一点 P（ -1，-2），则 tan2 等于（）A.B. -C.D. -3.在等差数列 an 中，若 a2+a2014=96 ，则的值是（）A. 24B. 48C. 96D. 1064.设 x，yR，向量 =

2、（2， x）， =（y， -2）， =（ 2， -4）且，则 x+y 等于（）A.0B.1C. 2D. 85.设a0 b 03是3a 与 3b 的等比中项，则的最小值为（），若A.4B.2C. 1D.6.已知奇函数 f（ x）在（ -，+）上是增函数，若 a=-f（3），b=flog 2（ sin ），c=f（ 0.20.3），则 a， b， c 的大小关系为（）D.A.a B. bC. ab b cc ac bc a7.下列说法正确的是（）A.B.C.“ f （ 0）=0”是“函数 f （ x） 是奇函数”的充要条件若 p： ?x0R， x02-x0-1 0，则 p：? xR，x2 -x-1

3、 0若 pq 为假命题，则 p， q 均为假命题D. “若 =，则 sin =”的否命题是“若，则 sin ”8.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）第1页，共 18页A. 16+8 B.C. 16+16 D.9. 已知OABC的外心，AB=2，AC=3，x+2 y=1，若=x?+y?，（xy0是），则cosBAC=（）A.B.C.D.10. 正四棱锥 P- ABCD 底面的四个顶点 A， B， C，D 在球 O 的同一个大圆（圆心即球心）上，且点P 在球面上，若VP-ABCD =16 ，则球O 的体积等于（）A. 32B.C. 8D.11.

4、函数的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A. f（ x） =sin（ 2x+ ）B. f（ x）的图象关于点成中心对称C. k（ x）=f （ -） +x 在 R 上单调递增D. 已知函数 f（ x）的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于原点对称12.在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=，P 为矩形内一点， 且 AP=若（，R），则 + 的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.已知平面向量的夹角为，则=_14.定义在R上的奇函数fx2，已知0 x1f x）=，则f -）+f（ ）周期为时， （ 0） =_第2页，共 18页15.若 x，y 满

5、足约束条件，则 z=4x+2 y 的最大值是 _16. 已知函数 （f x）的定义域为 -1，5，部分对应值如下表x-1045f x）1221（f（ x）的导函数 y=f（ x）的图象如图所示：下列关于f（ x）的命题：函数 f（ x）是周期函数；函数 f（ x）在 0， 2是减函数；如果当 x-1， t时， f（ x）的最大值是2，那么 t 的最大值为4；函数 y=f（ x） -a 的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是_三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， a2=0， S5=2a4-1（ ）求数列 an 的通

6、项公式；（ ）设 b，求证：数列 bn 是等比数列，并求 bn 的前 n 项和 Tn18. 已知函数 f（ x） = sin（ 2x- ） +2cos2x-1（ ）求 f（ x）的最大值及其取得最大值时x 的集合；（ ）在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 已知 a= ，A= ，b=f（ ），求 ABC 的面积19. 已知函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d（b0）在 x=0 处取到极值 2（ ）求 c， d 的值；（ ）试研究曲线 y=f（ x）的所有切线与直线 x-by+1=0 垂直的条数第3页，共 18页20. 如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，

7、AB=BB1 ，AC1平面 A1BD ，D 为 AC 的中点 （ ）求证： B1C平面A1BD；（ ）求证： B1C1平面 ABB1A121.已知二次函数，数列的前 n 项和为，点均在函数的图象上1 求数列的通项公式；2 设，是数列的前 n 项和，求使得对所有的都成立的最小正整数m22. 已知函数 f（ x） =（x2-x） lnx（ ）求证： 1 是函数 f（ x）的极值点；（ ）设 g（ x）是函数 f（ x）的导函数，求证： g（ x） -1第4页，共 18页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：由M 中不等式 变形得：x （x-2）0，解得：0 x 2，即 M=x|0 x2 ，由 N

8、中 y= ，得到 x-10，即x1， N=x|x ，1全集为 R，?N=x|x 1 ，R则 M （?RN）=x|x 2 故选：C求出 M 中不等式的解集确定出 M ，求出 N 中函数的定 义域确定出 N，根据全集 R 求出 N 的补集，找出 M 与 N 补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定 义是解本题的关键2.【答案】 D【解析】解：角 的终边经过 点 P（-1，-2），x=-1，y=-2，r=|OP|=，sin =，cos =，tan =2，则 tan2 =-故选：D由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sin 和 cos的 值，可得tan 的值，利用二倍角的正切

9、函数公式即可计算得解本题主要考查任意角的三角函数的定 义，两点间的距离公式的 应用，属于基础题3.【答案】 B【解析】第5页，共 18页解：在等差数列a n 中，由 a2+a2014=96，得=则=故选：B由已知结合等差数列的前n 项和公式求解本题考查等差数列的性 质，考查等差数列的前 n 项和，是基础的计算题4.【答案】 C【解析】解：； =2y-2x=0；y=x；-4y+4=0；y=1；x=1，x+y=2故选：C根据即可得出 y=x，而根据即可得出 y=1，从而得出 x+y=2 考查向量垂直、平行时坐标的关系，向量坐标的数量积运算5.【答案】 B【解析】解：3 是 3a 与 3b 的等比中

10、 项，32=3a?3b=3a+b，a+b=2a0，b 0=仅=2当且 当a=b=1 时取等号故选：B利用等比中 项即可得出 a与 b 的关系，再利用 “乘 1 法”和基本不等式的性 质即可得出熟练掌握等比中 项、“乘 1 法”和基本不等式的性 质是解题的关键第6页，共 18页6.【答案】 D【解析】解：根据题意，f （x）为奇函数，则 a=-f（3）=f （-3）=f（log23），0.3又由 log2（sin）00.21log23，则有 bca；故选：D根据题意，由奇函数的性质分析可得 a=-f（ 3）=f（- 3）=f （log23），进而可得 log2（sin ）0 0.20.31log

11、23，结合函数的 单调性分析可得答案本题考查函数的奇偶性与 单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与 单调性的性质7.【答案】 D【解析】【分析】本题考查了命题以及真假的判断 问题、充分条件、必要条件的判断，是基础题根据四种命 题之间的关系，对选项中的命题分析、判断正误即可【解答】解：对于 A ，f （0）=0 时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x ）=x2，xR；函数 f （x）是奇函数 时，f（0）不一定=0，如f（x）=，x0；是即不充分也不必要条件， A 错误；对于 B，命题 p：? x0R，x02-x0-10，则p：? xR，x2-x-10，B 错误；对于 C，若pq 为假命

12、题，则 p，q 至少有一假命 题，C 错误；对于 D，若= ，则 sin =的否命题是第7页，共 18页“若 ，则 sin ”，D 正确故选 D8.【答案】 B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱 锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：4，2，4，故体积为：=，半圆柱的底面半径 为 2，高为 4，故体积为：8，故组合体的体 积 V=+8，故选：B由已知中的三 视图可得：该几何体是一个三棱 锥与半圆柱的组合体，进而得到答案本题考查的知识点是由三 视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题9.【答案】 A【解析】解：设 A （0，0），C（3，0），BAC=B（2cos ，2si

13、n ）O 是ABC 的外心，所以 O 的横坐标是，因为若=x?+y?，（xy0），所以：=x2cos +3y因为 x+2y=1，所以x+3y=，x2cos +3y= x+3y2cos =，即：cosBAC=故选：A设出 A ，C，BAC= ，B（2cos，2sin ），O 是ABC 的外心，所以 O 的横坐标第8页，共 18页是，利用 x+2y=1，若=x?+y?，（xy0），求出cos，即可本题考查三角形五心，向量的共 线定理，考查计算能力，是中档题10.【答案】 A【解析】解：如图，正四棱锥 P-ABCD 底面的四个 顶点 A ，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，点 P在球面上，PO底

14、面 ABCD ，PO=R，SABCD =2R2，V P-ABCD =16， ?2R2?R=16，解得：R3，=24球 O 的体积：V=，故选：A由题积求出半径，然后求出球的意可知，PO平面 ABCD ，并且是半径，由体体积本题考查球的内接体 问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题【答案】 D11.【解析】图，解：根据函数 f （x）的部分 象，f（x）=Asin（x+），其中A=1， ? =- =2，再根据五点法作 图可得 2?+= ，= ，故f（x）=sin（2x+），故A 正确当 x=时，f图成中心对称，故 B 正确（x）=0，即f（x）的 象关于点k（x）=f（ -）+x

15、=sinx+x ，k（x）=cosx+1 0，故函数 k（x）在R 上单调递增，故 C正确图个单位后，得到函数 y=sin（2x-图把函数 f（x）的 象向右平移）的 象，第9页，共 18页由于函数 y=sin（2x-）为非奇非偶函数，故它的 图象不关于原点 对称，故D 错误，故选：D由函数的 图象的顶点坐标求出 A ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的 图象的顶点坐标求出 A ，由周期求出 ，由五点法作 图求出 的值，正弦函数的图象和性质

16、，属于基础题12.【答案】 B【解析】解：如图，设PAE=，则：；又；=；的最大值为故选：B可根据条件画出 图形，根据图形设 PAE=，且0，则又可用第10 页，共 18页表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以 + =，最大值为 1，所以的最大值为考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数 sinx 的最大值，以及平面向量基本定理13.【答案】 2【解析】解：向量的夹角为，=4=2故答案为：2由已知求出，开方后得答案本题考查平面向量的数量 积运算，考查了向量模的求法，是基 础的计算题14.【答案】 -2【解析】解：根据题意，函数 f （x）为定义在 R 上的奇函数，则 f（0）=0

17、，又由函数的周期 为 2，则 f（- ）=f （- ）+（-12）=f （- ）=-f （ ）=-2，则 f（- ）+f（0）=（-2）+0=-2；故答案为：-2根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）=0，又由函数与的周期性分析可得f（-）=f（-）=-f （ ），结合函数的解析式可得f （-）的值，相加即可得答案本题考查函数的奇偶性以及周期性的应用，属于基础题第11 页，共 18页15.【答案】 5【解析】解：做出x，y 满足约束条件可行域，由图可知，当目标函数 z=4x+2y，过直线 x-2y=0 与 x+2y-2=0 的交点 A （1， ）时，z 取得最大 值 5故答案为：51作出可行域

18、 2 目标函数 z 的几何意 义：直线截距 2 倍，直线截距去的最大 值时 z 也取得最大 值 本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，考查线性规划问题：目标函数的几何意 义16.【答案】 【解析】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：函数的定 义域为闭 区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故 为假命题； 为真命题因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；第12 页，共 18页由已知中 y=f （x）的图象，及表中数据可得当 x=0 或 x=4 时，函数取最大值 2，若 x-1 ，t 时，f（x）的最大值是 2，那么 0t 5，故t 的最大值为 5，即 错误函数

19、 f（x）在定义域为-1 ，5 共有两个 单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f （x）-a 的零点个数可能 为 0、1、2、3、4 个，即 正确故答案为：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案本题主要考查导函数和原函数的 单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减17.【答案】 解：（ I） 设公差为 d， a2=0 ，S5=2a4-1，可得 a1+d=0，5a1+10d=2 a1+6d-1，解得 d=-1，a1=1，所以 an=1-（ n

20、-1） =2-n， nN* ；（ ）证明：由（ I ）知， b=2 2-n，= = ，所以数列 bn 是首项为 2，公比为 的等比数列；所以前 n 项和 Tn=4-2 2-n【解析】（I）设公差为 d，运用等差数列的通 项公式和求和公式，解方程可得首 项和公差，进而得到所求通 项公式；（）由I（）知，b=22-n，运用等比数列的定 义即可得证，进而得到等比数列的求和公式，可得所求和本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考 查方程思想和定义法、运算能力，属于基础题18.【答案】解：（ ）（f x）=sin（ 2x- ）+2cos2x-1=（sin2x-cos2x）+cos2x=s

21、in2x，令2x=2kk Zx=kk Zf x，可解得， 时， （ ） max=1第13 页，共 18页b=f）=sin=，（） （由正弦定理知：，即有 sinB=1，B= （ 0 B ）， C= ， sinC= ，SABC= absinC= 【解析】（）化简可得解析式 f（x）=sin2x，从而由三角函数的 图象和性质可求 f（x ）的最大值及其取得最大 值时 x 的集合；（）先求b=f（）=，从而由正弦定理知 sinB=1，即可求 B，C 的值，即可求出ABC 的面积本题主要考查了三角函数中的恒等 变换应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查19.【答案】 解：（ ）

22、函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d 的导数为 f（ x）=3x2+2bx+c，根据函数 f （ x） =x3+bx2+cx+d（ b0）在 x=0 处取到极值 2，得，解得 c=0 ，d=2 经检验 f（ x）=x3+bx2 +2（ b0）在 x=0 处取到极值2c=0， d=2 （ ）由切线与直线x-by+1=0 垂直，可得 f（ x）=3x2+2 bx=-b 即 3x2+2 bx+b=0，=4b2-12b，当 0，即 b 3 或 b0 时，满足条件的切线有2 条，当 =0 ，即 b=3 时，满足条件的切线有1 条，当 0，即 0 b 3时，满足条件的切线不存在【解析】（）求出f（x

23、）的导数，可得 f（0）=2，且f （0）=0，解方程即可得到所求 值，检验即可；（）由切线与直线 x-by+1=0 垂直，可得 f （x）=3x2+2bx=-b 即 3x2+2bx+b=0，讨论判别式大于 0，等于0，小于 0，即可判断所求切 线的条数第14 页，共 18页本题考查导数的运用：求切线的斜率和极 值，考查方程思想和分 类讨论思想，考查运算能力，属于中档 题20.【答案】 （ ）证明：如图，连接AB1 与 A1B 相交于 M，则 M 为 A1B 的中点，连接 MD ， D 又为 AC 的中点，B1CMD 又 B1C 不包含于平面 A1BD ， MD ? 平面 A1BD ， B1C

24、平面 A1BDB1C平面 A1BD （ 5 分）（ ） AB=B1 B四边形 ABB1A1 为正方形A1BAB1又 AC1面 A1BD ，AC1A1B，A1B面 AB1C1，A1BB1C1，又在直棱柱ABC -A1B1C1 中 BB1B1C1，B1C1平面 ABB1A1（ 9 分）【解析】（I）由中位线定理得到 B1CMD ，再由线面平行的判定理理得到B1C平面A1BD；（）先证明 A 1BB1C1，BB 1B1C1 求再由线面垂直的判定理得到B1C1平面ABB 1A1本题主要考查线面平行和 线面垂直的判定定理以及三角形中位线定理21.【答案】 解：（ 1） f（ x） =3x2-2x，又因为

25、点均在函数y=f（ x）的图象上，所以 Sn=3n2-2n，当 n=1 时， a1=S1=3-2=1 ，当 n2时， an=Sn-Sn-1 =（ 3n2-2n） -3（ n-1）2 +2（n-1） =6n-5，检验： an=6n-5n=1代入a1=1符合首项，将所以， an=6n-5 （ nN* ）；(2）由（ ）得知设=-，故 Tn=1- + - + +-=1-，因此，要使 1-（ nN* ）；成立的 m，必须且仅须满足1 ，第15 页，共 18页即 m10，所以满足要求的最小正整数m 为 10【解析】（）由题意可得 Sn=3n2-2n，运用数列的递推式：当n=1 时，a1=S1，当n2时

26、，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通 项公式；（）求得=-，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得 Tn，由不等式的性质和恒成立思想可得m 的最小值 本题考查数列的通 项公式的求法，注意运用数列的 递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列不等式恒成立 问题解法，注意运用不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档 题22.【答案】 （本题 14 分）（ ）证明：证法 1： f（ x） =（ x2-x） lnx 的定义域为（0，+）由 f（ x） =（ x2-x） lnx 得，f（ 1） =0 当 x 1 时，（ 2x-1） lnx 0， x-10，f（ x） 0，故 f（x）在（

27、 1，+）上单调递增；当时，（ 2x-1） lnx 0， x-10，f（ x） 0，故 f（x）在上单调递减；所以 1 是函数 f（ x）的极值点证法 2：（根据极值的定义直接证明）20， +）f（ x） =（ x -x） lnx 的定义域为（f（x） =x（ x-1） lnx， f（ 1） =0当 x 1 时， x（ x-1） 0，lnx 0， f（ x） 0，即 f（ x） f （ 1）；当 0 x1 时， x（ x-1） 0， lnx 0， f（ x） 0，即 f（ x） f（1）；）根据极值的定义， 1 是 f（x）的极值点（ ）由题意可知， g（ x） =（ 2x-1） lnx+x-1证法1：，令，故 h（x）在（ 0，+）上单调递增又，又 h（ x）在（ 0，+）上连续，使