2018-2019学年福建省厦门科技中学高二(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年福建省厦门科技中学高二（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.数列，-，-， 的一个通项公式为（）A. an=（ -1） nB. an=（ -1） nC. an=（ -1）n+1D. an=（ -1） n+12.若 a2 b，那么下列命题中正确的是（）A.B.C.a2 b2D. ab 2a+2b3.ABC的内角ABC的对边长分别为a bca b：c=57 8，则A+C已知 ， ， ，若： ：的大小为（）A.B.C.D.4.220 的解集不是空集，则实数m 的取值范围为（）若不等式 x +x+mA.B.C.D

2、.5.已知 x， y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A. 3B. 4C. -4D. -36.已知数列 an 中，a1=2，且数列是等差数列，则a13=（），A.B.C.D. -27.在 ABC 中， BC 边上的高等于，则 tanA=（）A. -3B. -1C.D. 38. 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题： “三百七十八里关， 初步健步不为难， 次日脚痛减一半， 六朝才得到其关， 要见次日行里数， 请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为A

3、. 3里B. 6里C. 12里D.24里9. 已知 0 x y a 1，则有（）A. log a（ xy） 0B. 0 loga（ xy） 1C. 1 loga（ xy） 2D. loga （ xy） 2第1页，共 18页10.已知 ABC 的三边长为 a、 b、c，满足直线22ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离，则 ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能11.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前 13 项和，则的最小值为A. 8B. 9C. 12D. 1612.若直线 y=kx+1 与圆 x2 +y2+kx+my-4=0 交于 M，

4、N 两点，且点 M， N 关于直线 x+y=0对称，动点 P（ a， b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共3 小题，共15.0 分）13.不等式的解集为 _14.在等差数列 an 中， a2 +a12=4，则 a2+a7+a12=_ 15.设a+b=2，b0，则的最小值为_三、解答题（本大题共7小题，共75.0 分）16.如图所示， 测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测量点C 与 D ，测得 BCD =15， BDC=30， CD=30 ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为60，则塔高 AB 等于 _

5、17. 先阅读下列结论的证法， 再解决后面的问题： 已知 a1，a2R，a1+a2=1，求证 a12+a22【证明】构造函数f（ x） =（ x-a1） 2+（x-a2）2则 f（ x）=2x2-2（ a1+a2） x+a1 2+a22 =2x2-2x+a12+a22因为对一切 xR，恒有 f （x） 0第2页，共 18页所以 =4-8 （a12+a22） 0，从而得a12+a22，（ 1）若 a1， a2， ， anR， a1+a2+ +an=1，请写出上述结论的推广式；（ 2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明18.如图，在ABC 中，ABC=90 ，AB=2，BC=2，P 为 ABC内

6、一点， BPC=90（ ）若 PB=1，求 PA；（ ）若 APB=150，求 tanPBA19. 已知公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S10=100，且 a1， a2， a5 成等比数列（ 1）问： 249 是数列 an 的项吗？请说明理由；（ 2）若，求数列 bn 的前 n 项和 TnABC的内角ABC的对边长分别为ab c，且20. 已知 ， ， ，（ 1）求角 A 的大小；（ 2）设 AD 为 BC 边上的高，求 AD 的取值范围21. 某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1t A，1t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：第

7、3页，共 18页每种产品所需原料（现有原t）原料料数（ t）AB甲2114乙1318利润（万元 /t） 53-（1）在现有原料条件下，生产A， B 两种产品各多少时，才能使利润最大？（ 2）每吨 B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？22. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 和通项 an，且，2Sn+1+an+1=2，在数列 bn 中，b1=1，（ 1）求数列 an ， bn 的通项公式；（ 2）数列 cn 满足，求证：当 n2时，第4页，共 18页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：由已知中数列，-， ，-， 可得数列各 项的分母为一等比数列

8、2 n ，分子 2n+1，又 数列所有的奇数 项为正，偶数项为负-1n+1来控制各项的符号，故可用（）n+1故数列的一个通 项公式为 an=（-1）故选：Dn+1根据已知中数列各 项的符号是一个 摆动数列，我们可以用（-1）来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子 2n+1，由此可得数列的通 项公式本题考查数列的通 项公式的求解，找出其中的 规律是解决 问题的关键，属基础题2.【答案】 D【解析】解：a2b，若 a 0，则 A ，B 不成立，C 不一定成立，例如取 a=-5，b=3而（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+40，解得abab+4 2a+2b，因此 D 正确故选：D利用

9、不等式的基本性 质即可判断出正 误本题考查了不等式的基本性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题3.【答案】 B【解析】解：ABC 中，a：b：c=5：7：8，可设 a=5k，b=7k，c=8k，其中 k0，则 cosB=，又 B（0，）， B= ，A+C=-=第5页，共 18页故选：B利用余弦定理求出cosB 与 B 的值，再求 A+C 的值 本题考查了余弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题4.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式解集的应用问题，是基础题根据题意，利用判别式0 求得 m 的取值范围【解答】解：不等式 x2+x+m2 0 的解集不是空集，=1-4m

10、20，- m ，实数 m 的取值范围是（-， ）故选 B5.【答案】 B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图：（阴影部分）由 z=2x+y 得 y=-2x+z ，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直 线 y=-2x+z 经过点 B 时，直线 y=-2x+z的截距最大，此时 z 最大由，解得 B（2，0），代入目标函数 z=2x+y 得 z=22+0=4即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4故选：B作出不等式 组对应 的平面区域，利用目 标函数的几何意 义，即可求出最大 值第6页，共 18页本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题

11、的基本方法6.【答案】 A【解析】解：a1=2，且数列是等差数列， =1，=2，d= ， =1+=4，a13= 故选：A由数列是等差数列及，的值可求公差 d，然后代入等差数列的求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通 项公式在求解 项中的简单应用，要灵活应用公式7.【答案】 A【解析】解：如图所示：在 ABC 中，BC 边上的高 AD 等于，设 BC=x，则：AD=，由于：，所以 ABD 为等腰直角三角形故：，CD=，利用勾股定理得：，则：，解得：，第7页，共 18页由于：，所以：，故：，所以：，则：，故选：A根据题意，首先利用勾股定理，求出三角形的三 边关系式，进一步利用三角形的面积公式求

12、出 A 的正弦值，进一步利用同角三角函数的关系式求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变变换，解三角形知识的应用，勾股定理的 应用和三角形面 积公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型8.【答案】 D【解析】【分析】本题考查等比数列的通 项公式和求和公式，是基 础题设第一天走 a1 里，则an 是以 a1 为首项，以 为公比的等比数列，由 题意得：=378，求出a1=192（里），由此能求出该人第四天走的路程【解答】解：设第一天走 a1 里，则an 是以 a1 为首项，以 为公比的等比数列，由题意得：=378，解得 a1=192（里），=192 =24（里）故选

13、 D9.【答案】 D【解析】第8页，共 18页解：0xy a 1logaxlogaa=1，logaylogaa=1loga（xy）=logax+logay2故选：D利用对数函数的性 质，比较 logay、logax 与 1 的大小，可得结论 本题考查对数值大小的比 较，是基础题10.【答案】 C【解析】解：直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离，圆线的距离1，即c2a22，心到直+b故 ABC 是钝角三角形，故选：C由题圆心到直线的距离22 2，故 ABC 是钝角意可得，1，即ca+b三角形本题考查直线和圆的位置关系，点到直 线的距离公式，得到 圆心到直线的距离1，是解题的关键1

14、1.【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，还考 查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是 1 的代换由已知及数列的求和公式可求a1+a13，然后结合等差数列的性 质可求 a5+a9=1，从而=（a），然后利用基本不等式可求）（+a59【解答】解：数列a n 是各项均为正数的等差数列， ，a1+a13=1，a5+a9=1，第9页，共 18页则=（）（a+a ）=5+9，59当且仅当且 a5+a9=1，即a5=，a9=时取等号，故选 B12.【答案】 B【解析】解：M 、N 两点，关于直线 x+y=0 对称k=1，又 x2+y2+kx+my-4=0 的圆心（-，

15、- ）在直线 x+y=0 上-=0m=-1原不等式 组变为不等式组作出不等式 组表示的平面区域，如图又因为表示点 P（a，b）与点（2，1）连线的斜率故当过点B（-1，1）时，则取最小值=- 当过时 则取最大值O（0，0） ，的取值范围是故选：B由 M 与 N 关于 x+y=0 对称得到直 线 y=kx+1 与 x+y=0 垂直，利用两直线垂直时斜率的乘 积为 -1，得到k 的值；设出 M 与 N 的坐标，然后联立 y=x+1 与圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据 韦达定理得到两横坐 标之和的关于 m 的关系式，再根据 MN 的中点在 x+y=0 上得到两横坐 标 之和等于

16、 -1，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到m 的值，把k 的值和 m 的值代入不等式组，在数轴上画出相 应的平面区域，先由条件求出k=1，m=-1，再画出对应的平面区域，把看成平面区域内的点与（ 2，1）连线的斜率，利用图形第10 页，共 18页可得结论本题是简单的线性规划与直线和直线以及直线与圆的位置关系的一道 综合题，是对知识的综合考查利用直线斜率的几何意 义，求可行域中的点与（2，1）的斜率的取值范围113.【答案】 （ ，【解析】题?0 2x-3）（x-1）0且 x-10，解：根据 意，?（解可得：1x ，即不等式的解集 为（1， ；故答案为：（1， 根据题意，原不等式变形可得（2

17、x-3）（x-1）0且 x-10，解可得 x 的取值范围，即可得答案本题考查分式不等式的解法，关 键是将分式不等式 转化为整式不等式，属于基础题14.【答案】 6【解析】解：等差数列a n 中，a2+a12=2a7=4，a7=2则 a2+a7+a12=3a7=6由等差数列的性 质可知，a2+a12=2a7，求出 a7，然后代入 a2+a7+a12=3a7 可求本题主要考查了等差数列的性 质的简单应用，属于基础试题15.【答案】【解析】解：a+b=2，b 0，则=第11 页，共 18页=当且仅当，a0 且 a+b=2 即 a=，b=时取等号故答案为： 由已知可得，=，利用基本不等式即可求解本题主

18、要考查了基本不等式在求解最 值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点16.BCDCBD=180 -15 -30 =135 =BC=15Rt ABCAB=BC?tan ACB=15tan 60 =15mAB15m先根据三角形内角和 为 180，求得CBD ，再根据正弦定理求得 BC，进而在 RtABC 中，根据 AB=BCtan ACB 求得 AB本题考查了解三角形的 实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题17.1 a1 a2 an R a1+a2+ +an=1 a12+a22+ +an22fx=x-a12+x-a22+x-an2222+ +a2=nx -2 a1+a2+ +ax+a1+

19、a2nn）2222=nx -2x+a1 +a2 + +anx Rf x 0 =4-4n a12 +a22+ +an2 0a12+a22+ +an2（1）由已知中已知 a1，a2R，a1+a2=1，求证 a12+a22 ，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，anR，第12 页，共 18页a1+a2+an=1，则 a12+a22+an2 （2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性 还没有得到 验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明归纳推理的一般步 骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性 质；（2）从已知的相同性 质中推出一个明确表达的

20、一般性命 题（猜想）3）（对归纳得到的一般性结论进行证明18.【答案】 解：（ ）由已知得 PBC=60 ，PBA=30 ，在 PBA 中，由余弦定理得，（ ）设 PBA=，由已知得 PCB=， PB=2sin ，在 PBA 中，由正弦定理得，化简得=4sin ，tan =，tanPBA=【解析】（）由已知得PBC=60，可得PBA=30 ，在PBA 中，由余弦定理即可得出（II ）设PBA= ，由已知得PCB=，PB=2sin，在PBA 中，由正弦定理得，化简整理即可得出本题考查了正弦定理余弦定理的 应用，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题19.【答案】 解：（ 1）公差 d 不为零的等

21、差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S10=100 ，且 a1， a2， a5 成等比数列，22可得 a2 =a1a5，即（ a1+d） =a1（ a1+4d），即为 d=2a1，（ d0），由 S10=100 ，即有 10a1+d=100，可得 a1=1，d=2，由 249=1+2 （ n-1），可得 n=125，即 249 为数列中的第 125 项；（2）=（-），则前 n 项和 Tn= （ 1- + - +-）=（1-）=【解析】第13 页，共 18页（1）公差d 不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首 项和公差，由通项公式解方

22、程可得249 是否为数列中的项；（2）求得= （-项），运用数列的裂 相消求和，即可得到所求和本题考查等差数列的通 项公式和求和公式的运用，考 查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档 题20.121 1 2ABCA+B=-CsinA+B=sin-C=sinCsinC 0 3 4 5A0 62 7 812=b2+c2-bc9b2+c2 2bc12=b2+c2-bcbcbc 12 1011AD0312 7第14 页，共 18页， （ 8 分）由正弦定理得，所以 a=4sinB， c=4sinC， （ 9 分）又 ，= （ 11 分），AD 0，AD （0， 3，即 AD

23、的取值范围为（0，3 （ 12 分）【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sinC 0，可求得，由范围 A （0，），可得A 的值（2）解法一：利用三角形面积公式可求，根据余弦定理，基本不等式可求 bc12，即可得解解法二：利用三角形面积公式可求，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，AD=，结合，AD 0，利用正弦函数的性质可求 AD 的取值范围本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等 变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的性 质等知识的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题21.【答案】 解：（ 1）设生产 A、B 两种产品分别为 xt， yt，其利润总额为 z万元，根据题意，可得约束条件为；作出可行域如图所示：目标函数为z=5x+3y，作直线 l0： 5x+3y=0，再作一组平行于l0 的直线 l：5x+3y=z，第 15当直线 l 经过 P 点时 z=5x+3y 取得最大值，由，解得交点P（，），所以生产A 产品t， B 产品t 时，才能使利润最大，最大值为zmax=5 +3 =37.2（万元）；（ 2）设 B 产品的