计算机控制系统的数学基础

1、.1 第第2 2章章 计算机控制系统的设计方法计算机控制系统的设计方法 计算机控制系统的基础知识计算机控制系统的基础知识 计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述 计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统的模拟化设计方法 计算机控制系统的离散化设计方法计算机控制系统的离散化设计方法 本章主要内容本章主要内容 .2 2 21 1 计算机控制系统的信号变换计算机控制系统的信号变换 一、一、 连续信号的采样连续信号的采样 图图1 1 采样过程采样过程 采样采样:用连续信号在离散时间瞬时值的序列用连续信号在离散时间瞬时值的序列 代替原来连续信号的过程代替原来连续信号的过程 .3 在计算机控

2、制系统中，采样信号在计算机控制系统中，采样信号 是一数字是一数字 序列，可分解成一系列单脉冲之和。序列，可分解成一系列单脉冲之和。 )( * tf k ffftf 10 )(* )()()( * kTtkTftf k 式中，式中， 为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 ； ； 为为 时刻的单脉冲，脉冲的幅值时刻的单脉冲，脉冲的幅值 Tt0 0 f)0( Tf 1 f Tt1 )1( Tf k f kTt )(kTf 则：则： 只有在 时刻，才有 ，而在的所有 时刻， 都有 。 kTt 0)( kTt kTt 0)( kT

3、t 用用 函数函数 .4 量化过程量化过程 图图3 3 量化过程量化过程 所谓量化，就是采所谓量化，就是采 用一组数码（如二用一组数码（如二 进制码）来逼近离进制码）来逼近离 散模拟信号的幅值，散模拟信号的幅值， 将其转换成数字信将其转换成数字信 号。经量化使采样号。经量化使采样 信号成为数字信号信号成为数字信号, , 该过程称为量化过该过程称为量化过 程。程。 .5 为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复为保证采样信号的频谱是连续信号的频谱无重叠的重复 （沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化（沿频率轴方向），以便采样信号能反映连续信号的变化 规律，采样频率规律，采样频率

4、 至少应是至少应是 的频谱的频谱 的最高频率的最高频率 的两倍，即的两倍，即 )2/2(fT s )(tf)( jF max max 2 s 采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于采样定理奠定了选择采样频率的理论基础，但对于 连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。连续对象的离散控制，不易确定连续信号的最高频率。 因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中因此，采样定理给出了选择频率的准则，在实际应用中 还要根据系统的实际情况综合考虑。还要根据系统的实际情况综合考虑。 采样定理采样定理 .6 二、采样信号的复现和采样保持器二、采样信号的复现和采样保持器 保持器保持器 保持器

5、是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连 续信号，实现采样点之间的插值的元件。续信号，实现采样点之间的插值的元件。 零阶保持器零阶保持器 )(kTe Tk)1( )( * kTe )( h te 。 零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 一一 直保持到下一个采样时刻直保持到下一个采样时刻 , ,从而把采样信号从而把采样信号 变成了变成了 阶梯连续信号阶梯连续信号 。 图图5 5 零阶保持器的功能零阶保持器的功能 s e sG Ts h 1 )( .7 2 22 2 计算机控制系统的数学描述计算机控制系

6、统的数学描述 1 . Z1 . Z变换变换 0 * )()( )2()2()()()()0()( k kTtkTf TtTfTtTftftf 0 )()(*)( k k zkTftfZzF 对上式取拉氏变换：对上式取拉氏变换： Ts ze 令：令： 则：则： 0 e )()(*)(* k kTs kTftfLsF .8 零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的零初始条件下，系统或环节的输出采样函数的z变变 换和输入采样函数的换和输入采样函数的z变换之比。变换之比。 为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚 设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想

7、采样，来设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来 获得输出信号的采样信号。获得输出信号的采样信号。 2. 2. 脉冲传递函数脉冲传递函数 .9 0 0 )( )( )( )( )( n n n n znTr znTy zR zY zG )(zR)(zG如果已知如果已知 和和 ，则在零初始条件下，线性，则在零初始条件下，线性 定常离散系统的输出采样信号为定常离散系统的输出采样信号为 )()()()( 11* zRzGZzYZty .10 3. 3. 差分方程差分方程 )()2()()( )()2()()( 210 21 mTkTrbTkTrbTkTrbkTrb nTkTyaTkTyaTk

8、TyakTy m n 计算机控制系统的差分方程计算机控制系统的差分方程 图图6 6 连续系统和离散系统连续系统和离散系统 （a a）连续系统）连续系统 （b b）离散系统）离散系统 )(sF )(tr)(ty )(sF )(kr)(ky T T .11 脉冲传递函数与差分方程的相互转换脉冲传递函数与差分方程的相互转换 )()1()()()1()( 101 mkrbkrbkrbnkyakyaky mn nm ， 若已知若已知n n 阶离散系统的差分方程是阶离散系统的差分方程是 在零初始条件下，进行在零初始条件下，进行Z Z变换变换 )()()()1( 1 10 1 1 zRzbzbbzYzaza

9、 m m n n nm 得脉冲传递函数为得脉冲传递函数为 n n m m zazaza zbzbzbb zR zY zG 2 2 1 1 2 2 1 10 1)( )( )( nm .12 2.3 S2.3 S平面到平面到Z Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 sT ze sj ()jTTj TT zeeeeT | T Rze zT s s平面虚轴映射为平面虚轴映射为z z平面单位圆，左半平面映射在平面单位圆，左半平面映射在z z平面单位圆内平面单位圆内 1.s1.s平面与平面与z z平面映射关系：平面映射关系： .13 二、极点位置与时间响应的关系二、极点位置与时间响应的关系 ( ) i

10、 i z G zc zp ( ) k ii c kc p 1 1极点位于实轴极点位于实轴 .14 2.2.复极点位置与系统响应之间关系复极点位置与系统响应之间关系 .15 Z平面极点位置的趋势 已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中 的分布情况，分析系统的动态响应特性的分布情况，分析系统的动态响应特性 .16 2 24 4 计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统的模拟化设计方法 .17 一、连续域一、连续域- -离散化设计的步骤离散化设计的步骤 第第1 1步：设计模拟控制器步：设计模拟控制器D D( (s s) ) 第第2 2步：选择合适的采

11、样周期步：选择合适的采样周期T T 第第3 3步：选择合适的步：选择合适的离散化方法离散化方法，将，将D D( (s s) )离散化，获离散化，获 得数字控制器得数字控制器D D( (z z) )，使两者性能尽量等效使两者性能尽量等效。 第第4 4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标 要求，进行下一步；否则，重新进行设计。要求，进行下一步；否则，重新进行设计。 选择更合适的离散化方法选择更合适的离散化方法 提高采样频率提高采样频率 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等 第第5 5步：将步：将D D( (z z)

12、 )变为差分方程，在计算机上编程实现。变为差分方程，在计算机上编程实现。 .18 根据香农采样定理，系统采样频率的下限为根据香农采样定理，系统采样频率的下限为 f fs s = = 2 2f fmax max，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号 ，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号 。 从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持从执行机构的特性要求来看，有时需要输出信号保持 一定的宽度，采样周期必须大于这一时间。一定的宽度，采样周期必须大于这一时间。 从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周从控制系统的随动和抗干扰的性能来看，要求采样周 期短些。期短些。 从微机的工作量和每个调节

13、回路的计算来看，一般要从微机的工作量和每个调节回路的计算来看，一般要 求采样周期大些。求采样周期大些。 1.1.从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的。从计算机的精度看，过短的采样周期是不合适的。 二、采样周期的选择二、采样周期的选择 .19 实际选择采样周期时，必须综合考虑：实际选择采样周期时，必须综合考虑： 采用周期要比对象的时间常数小得多，采用周期要比对象的时间常数小得多， 否则采样信号无法反映瞬变过程。否则采样信号无法反映瞬变过程。 采用周期应远小于对象的扰动信号的周采用周期应远小于对象的扰动信号的周 期。期。 考虑执行器的响应速度。考虑执行器的响应速度。 当系统纯滞后占主导地位时

14、，应按纯滞当系统纯滞后占主导地位时，应按纯滞 后大小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采后大小选取，尽可能使纯滞后时间接近或等于采 用周期的整数倍。用周期的整数倍。 考虑对象所要求的控制质量，精度越高，考虑对象所要求的控制质量，精度越高， 采样周期越短，以减小系统的纯滞后。采样周期越短，以减小系统的纯滞后。 .20 常见被控量的经验采样周期常见被控量的经验采样周期 被测参数被测参数采样周期采样周期说说 明明 流量流量15优先选用优先选用12s 压力压力310优先选用优先选用68s 液位液位68优先选用优先选用7s 温度温度1520 或纯滞后时间，串级系统：或纯滞后时间，串级系统： 副环副环T=

15、1/41/5T主环主环 成分成分1520优先选用优先选用18s .21 三、模拟控制器的离散化方法三、模拟控制器的离散化方法 最常用的表征控制器特性的主要指标：最常用的表征控制器特性的主要指标： 零极点个数；零极点个数； 系统的频带；系统的频带； 稳态增益；稳态增益； 相位及增益裕度；相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状；阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。频率响应特性。 等效离散等效离散 D(z) D(s) 数值积分法数值积分法 一阶向后差法一阶向后差法 一阶向前差法一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法双线性变换法及修正双线性变换法 零极点匹配法零极点匹配法 保持器等价法保持

16、器等价法 z变换法变换法(脉冲响应不变法脉冲响应不变法) 离散化方法离散化方法 .22 1 1 ( )( ) z s T D zD s 1 (1)/szT s与与z之间的变换关系之间的变换关系 向后差分向后差分(矩形积分矩形积分)法法 sTe ez sT sT 1 11 1. 1. 一阶向后差分法一阶向后差分法 .23 s平面与平面与z平面映射关系平面映射关系 当当 =0 （s平面虚轴），平面虚轴），s平面虚轴映射到平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。平面为该小圆的圆周。 当当 0（s右半平面），映射到右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。平面为上述小圆的外部。 当当 0（s右半平面），映

17、射到右半平面），映射到z平面单位圆外平面单位圆外 。 当当 0（s左半平面），映射到左半平面），映射到z平面单位圆内平面单位圆内 。 若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)一定稳定一定稳定 双线性变换映射关系双线性变换映射关系 .26 频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性 不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。 变换前后，稳态增益不变。变换前后，稳态增益不变。 01 ( )( ) sz D sD z 应用应用 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的这种方法使用方便，且有一定的精度和前

18、述一些好的 特性，工程上应用较为普遍。特性，工程上应用较为普遍。 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。 .27 1 e ( )( ) sT D zZD s s 注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零 阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相 同，但要进行同，但要进行z变换，同样具有变换，同样具有z变换法的一系列缺点，变换法的一系列缺点， 所以应用亦较少。所以应用亦较少。 3.3.带零阶保持器带零阶保持器z z变换法（阶跃响应不变法）变换法（阶跃响应不变法） .28 2 25 5 计算机控制系统的离散化设计方法计算机控制系统的离散化设计方法 .29 计算机控制系统离散化设计的步骤（直接设计）计算机控制系统离散化设计的步骤（直接设计） 第第1 1步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被步：求系统广义脉冲传递函数，即对带有零阶保持器的被 控对象传递函数进行变换。控对象传递函数进行变换。 第第2 2步：根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件，