高中数学论文：通过探究性复习提升思维层次

1、通过探究性复习，提升思维层次素质教育、创新理念、研究性学习这是新课程高考有别于以往高考的新要求，“试题范围依据大纲，又不拘泥于大纲”又给命题者有广泛的空间.许多高考题都能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.因此对课本例题习题进行改编，拓展进行研究性的复习，这对拓展学生的解题思路，提高复习效率，培养学生的探究能力等及为有效.而且研究性复习课的知识容量大，思维新，具有一定创新意识，可以避免传统复习中那种单调重复的低效益.下面是一个从课本的一个例题出发的一次研究性复习，供各位同仁参考.（一）原题及对原题的改造原题 直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于a、b，求证：oa

2、ob.（人民教育出版社全日制普通高级中学教科书第二册上p130）例 已知抛物线y2=2px(p0)，过o点作两互相垂直的直线oa、ob交抛物线于a、b，求证：直线ab恒过一定点.解法一 设oa的方程为y=kx，显然k不存在或k为零时不可能，根据对称性，不妨设k0.xyoab因为oaob，所以可得ob方程为.由得k2x2-2px=0,所以，同理.因此当k1时，.所以ab的方程为，即.此直线恒过定点（2p,0).又当k=1时，a（2p.2p),b(2p,-2p)，ab的方程即为x=2p也过点（2p,0).因此直线ab恒过一定点（2p,0).解法二 (齐次化原则)设a(x1,y1),b(x2,y2)

3、.设ab的方程为当ab斜率不存在时显然成立.由得，即.可得,因为x0,可令，则k1,k2是关于t的方程bt2-2pt+2pk=0的两根.因为oaob,所以k1k2=-1，从而，即.因此直线ab的方程即为y=kx-2pk,此直线恒过定点（2p,0).综上两种情况知，直线ab恒过一定点（2p,0).解析几何的学科特色，主要表现在用代数方法解题，其特点突出表现在一个“算”字上，这就不仅要求会根据法则、公式定理、定律正确地进行运算，而且要求能够根据题目的条件寻求合理、简捷的运算途径，以达到准确、熟练、迅速的运算目的.（二）对例题的系列研究对于上面的这一问题还可以继续加以考虑下面的系列问题：问题1 与抛

4、物线y2=2px相交于两点a、b的直线ab恒过点（2p，0）是oaob成立的充要条件吗？问题2 对上述问题1中的oaob，变为koakob=m（m0），则直线ab是否过定点？问题3 对问题2中的原点o变为抛物线y2=2px(p0)上任意一点p（x0, y0），且kpakpb=m（m0），则结论又如何？问题4 对抛物线成立的命题类似地对于其他圆锥曲线是否仍能成立？对于问题1显然是充要条件，而对于问题2，3，4则有下面的定理：定理1 一般地，过原点的圆锥曲线ax2+cy2+dx+ey=0与直线mx+ny=1相交于m，n两点，直线om，on的斜率为k1,k2，满足k1k2=t（t0）为定值,则直线m

5、n过定点.分析 联立两方程并齐次化得ax2+cy2+dx（mx+ny）+ey（mx+ny）=0，即（c+en)y2+(dn+em)xy+(a+dm)x2=0即（c+en)()2+(dn+em) ()+(a+dm)=0因为k1k2=t，所以k1k2=t,当e0时，即n=,从而直线mn的方程为mx+y=1即m(x+y)+=1由得，这表明直线mn过定点.另外，当e=0也有同样的结论.定理2 圆锥曲线ax2+cy2+dx+ey=0与直线mx+ny=1相交于m，n两点，直线om，on的斜率为k1,k2，满足k1+k2=0为定值,则直线mn的斜率为定值（e0）或不存在（e=0）.定理3 圆锥曲线ax2+c

6、y2+dx+ey=0与直线mx+ny=1相交于m，n两点，直线om，on的斜率为k1,k2，满足k1+k2=t（t0）为定值,则当c0时，直线mn过定点；当c=0时，直线mn的斜率为定值（此时e0）.通坐坐标平移或图象平移，可以将原点变为曲线上的任意一点。总之，当过曲线上一点p的两弦pa，pb的斜率之和或斜率之积为定值时，可以得到直线ab过定点或倾斜角为定值.（三）应用例1 （2000年北京春季高考题）如图，设点a，b为抛物线y2=2px(p0)上原点以外的两个动点，点m在直线ab上，已知oaob，omab，求点m的轨迹方程，并说明它表示什么曲线说明 利用前面结论知ab过定点p（2p,0)，再

7、根据充要性得m在以op为直径的圆上（不包括原点）,其方程为x2+y2-2px=0(x0).例2 （2005年北京春季招生高考题改编）如图，o为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点.当时，求的大小.答 由前面的结论知mon=90.xyoapq例3 已知椭圆,过点a(2,0)作弦paqa,p、q均在椭圆上,试问直线pq是否恒经过一定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,说明理由.分析 平移椭圆将a移到原点o，新椭圆的方程为,p、q两点移到p，q.设p（x1,y1），q（x2,y2），不妨设y10) 上一定点p(x0, y0) (y00)，作两条直线分别交抛物线于a(x1,y1)，b(x2,y2).当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线ab的斜率是非零常数.分析 将平移抛物线使p移到原点得新的抛物线方程为y2+2y0y-2px=0.因为平移过程中ab的斜率并没有发生变化，因此由前面定理知，ab的斜率为定值，是非