材料力学_叠加法求变形PPT学习课件

1、8-3 8-3 用叠加法计算梁的变形及用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算梁的刚度计算 一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, ,载荷与它 所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各 自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上 引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后 叠加。 例8-38-3如图用叠加法求 C w 384EI 5qL 4 48EI PL 3 BAC w、 解： 1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加 16EI ML 2 A 24EI qL 3 16EI PL 2

2、 3EI ML B 24EI qL 3 16EI PL 2 6EI ML =+ + 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度所示简支梁的跨中截面的挠度 wC 和两和两 端截面的转角端截面的转角 A 及及 B。已知。已知EI为常量。为常量。 例题例题 5-4 为了能利用简单荷载作用下梁的挠为了能利用简单荷载作用下梁的挠 度和转角公式，将图度和转角公式，将图a所示荷载视所示荷载视 为与跨中截面为与跨中截面C正对称和反对称荷正对称和反对称荷 载的叠加载的叠加(图图b)。 例题例题 5-4 解解: 在集度为在集度为q/2的正对称均布荷载作的正对称均布荷载作 用下，查有关梁的挠度和转

3、角的公式，用下，查有关梁的挠度和转角的公式， 得得 EI ql EI lq w C 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq A C A1 B1 wC 例题例题 5-4 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的 弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨和右半跨 梁梁 CB分别视为受集度为分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为

4、l/2 的简的简 支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA 在集度为在集度为q/2的反对称均布荷载作用的反对称均布荷载作用 下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的， 故有故有 0 2 C w C A2 B2 例题例题 5-4 按叠加原理得按叠加原理得 EI ql EI ql www CCC 768 5 0 768 5 44 21 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql BBB 128 3 38448 333 21 EI ql EI

5、ql EI ql AAA 例题例题 5-4 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的转角的转角 B，以及，以及A端和端和 BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。已知。已知EI为常量。为常量。 例题例题 5-5 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看所示外伸梁看 作由悬臂梁作由悬臂梁AB(图图b)和简支梁和简支梁BC(图图c)所组成。所组成。 和弯矩和弯矩 应当作为外力和外力偶矩应当作为外力和外力偶矩 施加在悬臂梁和简支梁的施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图截面处，它们的指向和转向如图b

6、及图及图c所所 示。示。 22 2 2 1 qaaqM B qaF B 2 S 例题例题 5-5 解解: 图图c中所示简支梁中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段段 完全相同，注意到简支梁完全相同，注意到简支梁B支座处的外力支座处的外力2qa将直接传递给支座将直接传递给支座B， 而不会引起弯曲。简支梁而不会引起弯曲。简支梁BC，由，由q产生的产生的 Bq 、wDq(图图d)，由，由MB产生产生 的的 BM 、wDM (图图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得。可查有关式，将它们分别叠加后可得 B、wD， 它们也是外伸梁的它们也是外伸梁的 B和和

7、wD。 例题例题 5-5 )( 24 1 16 22 384 5 4 2 2 4 EI qa EI aqa EI aq www DMDqD 3 1 3 2 24 2 32 3 EI qa EI aqa EI aq BMBqB 例题例题 5-5 图图b所示悬臂梁所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注段相同，但要注 意原外伸梁的意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的截面是可以转动的，其转角就是上面求得的 B，由，由 此引起的此引起的A端挠度端挠度w1=| B|a，应叠加到图，应叠加到图b所示悬臂梁的所示悬臂梁的A端挠度端挠度w2 上去上去, ,才是原

8、外伸梁的才是原外伸梁的A端挠度端挠度wA EI qa EI aq a EI qa www A 4 43 21 12 7 8 2 3 1 例题例题 5-5 逐段刚化法： 变形后：ABAB BC BC 变形后AB部分为曲线，BC部 分为直线。 C点的位移为：wc 2 L w www BB cBc 例：求外伸梁C点的位移。 L a C A B P 解： 将梁各部分分别 引起的位移叠加 A B C P 刚化EI= P C fc1 1）BC部分引起的位移fc1、 c1 c1 EI pa f c 3 3 1 EI pa c 2 2 1 2）AB部分引起的位移fc2、 c2 C A B P 刚化EI= fc

9、2 B2 P Pa B2 a EI PaL af Bc 3 22 EI PaL B 3 2 21ccc fff 21Bcc EI Pa c 2 2 EI PaL 3 EI pa f c 3 3 a EI PaL 3 例8-4 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。 解： EI aq w C 384 )2(5 4 EI aPa 16 )2( 2 0 Pqa 5 6 例8-5 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。 CB qa EI qa EI 33 64 顺 时 针 B qa a E I qaa E I 2 2 2 2 3 2 16 () qa EI 3 12 顺 时 针 EI qa EI qa a

10、w BC 24 5 8 44 解: 例8-6求图示梁B、D两处 的挠度 wB、 wD 。 解： EI qa EI aqa EI aq w B 3 14 3 )2( 8 )2( 434 EI qa EI aqaw w B D 3 8 48 )2(2 2 43 例8-78-7求图示梁C C点的挠度 w wC C。 解： 三三. . 梁的刚度条件梁的刚度条件 例8-88-8图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， w/l = 1500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条 件，确定梁的许可载荷 PP，并校核强度。 刚度条件： ; max l w l w w、

11、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要 求。 max 机械：1/50001/10000, 土木：1/2501/1000 机械：0.0050.001rad P 解：由刚度条件 500 48 3 max l w EI Pl w 2 500 48 l EI P 得 所 以.P 7 11 kN m ax m ax M W z 所 以 满 足 强 度 条 件 。 Pl W z 4 60M Pa 7 11.kN 图图a所示简支梁由两根槽钢组成所示简支梁由两根槽钢组成( (图图b) )，试按强度条件和刚度，试按强度条件和刚度 条件选择槽钢型号。已知条件选择槽钢型号。已知 =170 MPa， =

12、100 MPa，E=210 GPa， 。 400 1 l w 例题例题 5-7 一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时， 先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核， 最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度 条件不满足，应适当增加横截面尺寸。条件不满足，应适当增加横截面尺寸。 例题例题 5-7 解解: 1. 按正应力强度条件选择槽钢型号按正应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪

13、力图和弯矩图分别如梁的剪力图和弯矩图分别如 图图c和图和图e所示。最大弯矩为所示。最大弯矩为 Mmax=62.4 kNm。梁所需的。梁所需的 弯曲截面系数为弯曲截面系数为 36 6 3 max m10367 Pa10170 mN104.62 M W z 例题例题 5-7 而每根槽钢所需的弯曲截面系数而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz36710-6 m3/2=183.510-6 m3=183.5 cm3。由型钢表查得。由型钢表查得20a号槽钢其号槽钢其 Wz=178 cm3，虽略小于所需的，虽略小于所需的Wz= 183.5 cm3，但，但 所以可取所以可取20a号槽钢。号槽钢。 %5%9.2%1

14、00 178 1785.183 例题例题 5-7 2. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核 图图c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最大剪力为。每根槽钢承受的最大剪力为 N1069 2 kN138 2 3max,S F 例题例题 5-7 Sz,max 为为20a号槽钢的中性轴号槽钢的中性轴z以下半个横截以下半个横截 面的面积对中性轴面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的的静矩。根据该号槽钢的 简化尺寸简化尺寸(图图d)可计算如下：可计算如下： 3 * max, mm000104 2 mm11100 mm773 mm11100mm50mm100mm73 z S z

15、 例题例题 5-7 当然，当然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出： * max,z S 3 * max, mm104000 mm 2 11100 mm7 mm11100mm 2 11 100mm11mm73 z S 每根每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4 例题例题 5-7 故故20a号槽钢满足切应力强度条件。号槽钢满足切应力强度条件。 于是于是 MPa57.6Pa106.57 m)107)(m10(1780 m10104N)1069()2/( 6 348- 36-3 max,max,S max

16、 dI SF z z 例题例题 5-7 3. 校核梁的刚度条件校核梁的刚度条件 如图如图a，跨中点，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得。由叠加原理可得 m1066.4 )m101780Pa)(21048(210 mN101671 )m6.04m4.23()m6.0)(N1012( )m9.04m4.23()m9.0)(N1040( )m8.04m4.23()m8.0)(N1030( )m4.04m4.23()m4.0)(N10120( 48 1 )43( 48 3 489 3 2223 2223 2223 22223 4 1 2 2 max EI bl

17、 EI bF ww i i ii C 例题例题 5-7 梁的许可挠度为梁的许可挠度为 6mmm106m4.2 400 1 3 l l w w 由于由于 mm66.4 max ww 因此，所选用的槽钢满足刚度条件。因此，所选用的槽钢满足刚度条件。 例题例题 5-7 四. . 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而 且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提 高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。 一、增大梁的抗弯刚度EIEI； EI Ml w 二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M； 三、改变加载方式和支承方式、位置等。 8-5 8-5 梁的弯曲应变能

18、梁的弯曲应变能 一. .梁的弯曲应变能 WV 1.纯弯曲： 2.横力弯曲： l x xIE xM Vd )(2 )( 2 MW 2 1 IE lM MV 2 1 IE lM 2 2 cxM)( cxM)( EI xxM xMV 2 d d)( 2 1 d 2 W 二. .小结： 1 1、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 V=W 2 2、线弹性范围内，若外力从0 0缓慢的增加到最终值： PWV 2 1 则： 其中： P-P-广义力 -广义位移 拉、压：轴力 N N FP EA LF L 扭矩TP EI TL P 扭转： 弯矩MP EI ML z 弯曲： 例8-128-12试求图示悬

19、臂梁的变形能，并利用功能 原理求自由端B B的挠度。 B w 解： PxxM)( l x IE xM Vd 2 )( 2 l x IE Px 0 2 d 2 )( Pl E I 23 6 B PwW 2 1 得由WV EI Pl w B 3 3 8-4 8-4 用比较变形法解用比较变形法解 超静定梁超静定梁 一一. . 静不定梁的基本概念静不定梁的基本概念 二二. .变形比较法解静不定梁变形比较法解静不定梁 用多余反力代替多余约束，就 得到一个形式上的静定梁，该 梁称为原静不定梁的相当系统， 又称静定基。 梁的约束个数多于独立静力平衡 方程的个数。 解：将支座B B看成多余约束， 变形协调条件

20、为： 0 B w 0 38 34 EI lR EI ql w www B B BRBqB Rq l B 3 8 EI lR w B BR 3 3 EI ql w Bq 8 4 三. .用变形比较法解静不定梁的步骤 （1 1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束， 代之以约束反力； （2 2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移； （4 4）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建 立方程求解。 （3 3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移； 6-4 简单超静定梁简单超静定梁 .超静定梁的解法超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解解超静定梁的基本

21、思路与解 拉压超静定问题相同。求解图拉压超静定问题相同。求解图a 所示一次超静定梁时可以铰支座所示一次超静定梁时可以铰支座 B为为“多余多余”约束，以约束，以约束力约束力FB 为为“多余多余”未知力。解除未知力。解除“多余多余” 约束后的基本静定系为约束后的基本静定系为A端固定端固定 的悬臂梁。的悬臂梁。 基本静定系基本静定系 基本静定系在原有均布荷载基本静定系在原有均布荷载q 和和“多余多余”未知力未知力FB作用下作用下 ( (图图b) )当满足位移相容条件当满足位移相容条件( (参参 见图见图c、d) ) 时该系统即为原超静定梁的相时该系统即为原超静定梁的相 当系统。当系统。 0 BBBq

22、 ww 若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中参见教材中 的附录的附录)所得的补充方程为所得的补充方程为 0 38 34 EI lF EI ql B 从而解得从而解得“多余多余”未知力未知力 qlF B 8 3 所得所得FB为正值表示原来假设的指为正值表示原来假设的指 向向( (向上向上) )正确。固定端的两个正确。固定端的两个约约 束力束力利用相当系统由静力平衡条利用相当系统由静力平衡条 件求得为件求得为 2 8 1 8 5 qlMqlF AA ， 该超静定梁的剪力图和弯矩图该超静定梁的剪力图和弯矩图 亦可利用相当系统求得，如

23、图亦可利用相当系统求得，如图 所示所示。 思考思考 1. . 该梁的反弯点该梁的反弯点( (弯弯 矩变换正负号的点矩变换正负号的点) )距梁的距梁的 左端的距离为多少？左端的距离为多少？ 2. . 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？ 例8-108-10为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二 梁EI相同，试求：二梁接触处的压力 解：解除约束代之以约束反 力 DCDDAB ww EI aR EI aR EI Pa DD 336 5 333 即 RP D 5 4 变形协调条件为： 例8-118-11梁ABC由AB、B

24、C两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力 图与弯矩图。 解：变形协调条件 为： BBCBAB ww EI aR EI aR EI qa BB 338 334 即qaR B 16 3 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC和杆和杆AD的材料相的材料相 同，弹性模量为同，弹性模量为E； AD杆的横截面积为杆的横截面积为A，AC梁的横截面对中性轴梁的横截面对中性轴 的惯性矩为的惯性矩为I 。 例题例题 6-7 1.梁梁AC共有三个未知力共有三个未知力( (图图b) )FN，FB，FC ，但平面仅有两个平衡方，但平面仅有两个平衡方 程，故为一次超静定问题。程，故为一

25、次超静定问题。 例题例题 6-7 解：解： 2. 把把AD杆视为梁杆视为梁AC的的“多余多余”约束，相应的约束，相应的“多余多余”未知力为未知力为 FN。位移。位移(变形变形)相容条件为梁的相容条件为梁的A截面的挠度截面的挠度wA等于杆的伸长量等于杆的伸长量 lDA(图图b)，即，即wA= lDA。 例题例题 6-7 3. 求求wA和和 lDA wA是由荷载产生的是由荷载产生的wAq(图图c)和和FN产生的产生的wAF (图图d)两部分组成，两部分组成， EI qa w Aq 12 7 4 例题例题 6-7 把图把图d所示外伸梁，视为由所示外伸梁，视为由 悬臂梁悬臂梁AB(图图e)和简支梁和简

26、支梁 BC(图图f)两部分组成。两部分组成。 )( 33 2 ,)( 3 )( 3 2 , 3 2 3 )2)( 3 N 3 N 3 N 3 N 2 3 N 1 2 NN EI aF EI aF EI aF w EI aF w EI aF aw EI aF EI aaF AFA BABM EA lF l EI aF EI qa www DAAFAqA N 3 N 4 12 7 ， 例题例题 6-7 4. 把把wA和和 lDA代入代入位移位移( (变形变形) )相容条件得补充方程：相容条件得补充方程： 由此求得由此求得 EA lF EI aF EI qa N 3 N 4 12 7 3 4 N 1

27、2 7 AalI Aqa F 例题例题 6-7 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁并绘出该梁 的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。 例题例题 6-8 1. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平衡方程。故为一，仅有两个平衡方程。故为一 次超静定问题。次超静定问题。 例题例题 6-8 解：解： 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为 “多余多余”约束，则约束，则B截面上的一对

28、弯矩截面上的一对弯矩MB为为“多余多余”未知力，相当未知力，相当 系统如图系统如图b。 例题例题 6-8 BB 相当系统的位移条件是相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零，即处两侧截面的相对转角等于零，即 例题例题 6-8 3. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 EI M EI B B 3 m4 24 m4N/m1020 3 3 EI M EI B B 3 m5 m56 m2m5m2m3N1030 3 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从而解得代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示这里的负号表示MB的实际转向与图的实际转向与图b中所设相反，即

29、为中所设相反，即为MB负负 弯矩。弯矩。 mkN80.31 B M 例题例题 6-8 5. 利用图利用图b可得可得约束力分别为约束力分别为 kN64.11 kN66 kN05.32 C B A F F F 例题例题 6-8 绘出剪力图和弯矩图分别如图绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。所示。 (c) (d) FS 例题例题 6-8 超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座B为多为多 余约束，余约束，FB为多余未知力，位移条件为为多余未知力，位移条件为wB=0，相当系统如图，相当系统如图(e)所示。所示。 有如以支座有如以支座C为多余

30、约束，为多余约束，FC为多余未知，位移条件为为多余未知，位移条件为wC=0，相当系，相当系 统如图统如图(f)所示。所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。 (f) FC (e) FB 例题例题 6-8 * *II. II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有超静定梁由于有“多余多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷约束存在，因而支座的不均匀沉陷 和梁的上和梁的上, ,下表面温度的差异会对梁的下表面温度的差异会对梁的约束力约束力和内力产生明显影响，和内力产生明显影响， 在工程实践中这是一个重要问题。

31、在工程实践中这是一个重要问题。 (1) (1) 支座不均匀沉陷的影响支座不均匀沉陷的影响 图图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷 A 、 B 、 C，而沉陷后的支点，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时不在同一直线上时( (即沉陷不即沉陷不 均匀时均匀时) )，支座，支座约束力约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。 2 10 CA BB BBw 现按如图现按如图a中所示各支点沉陷中所示各支点沉陷 B C A的情况进行分析。此的情况进行分析。此 时，支座时，支座B相对于支座相

32、对于支座A 、C 沉陷后的点沉陷后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移 于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知未知 力，则作为基本静定系的简支梁力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余” 未知力未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是共同作用下应满足的位移相容条件就是 2 10 CA BB BBw 于是得补充方程于是得补充方程 由此解得由此解得 EI lF EI ql EI lF EI lq www B B BFBqB B 624 5 48 2 384 25 34 34 2

33、624 5 34 CA B B EI lF EI ql 2 24 5 4 1 3 CA BB l EI qlF 其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):): 再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 2 3 8 3 3 CA BCA l EIql FF (2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装就位，其后，由安装就位，其后，由 于梁的于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面温度升高至面温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而，从而 产生产生约束力约束

34、力如图中所示。如图中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方程只有个，而独立的平衡方程只有3个，故为个，故为 三次超静定问题。三次超静定问题。 l 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约束，则解除 “多余多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。 它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠度wBt( (见图见图 c) )以及轴向位移以及轴向位移 Bt。 如果如果忽略忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的影响，则

35、由上对挠度和转角的影响，则由上,下下 表面温差和表面温差和“多余多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，未知力共同引起的位移符合下列相容条件时， 图图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统： 0 Bx BFBtBx 0 BMBFBtB wwww By 0 BBy BMBFBtB 式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c、d、e。 0 BMBFBtB wwww By 0 BBy BMBFBtB 现在先来求现在先来求 Bt和和wBt与梁的上与梁的上, ,下表面温差下表面温差( (t2- - t1) )之间的物之间的物 理关系。理关系。 从上面所示的

36、图从上面所示的图a中取出的微段中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温当其下表面和上表面的温 度由度由t0分别升高至分别升高至t2和和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角时，右侧截面相对于左侧截面的转角d 由由 图图b可知为可知为 x h tt h mmnn h nn l dd 120 上式中的负号用以表示图上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角所示坐标系中该转角 d 为负。为负。 将此式积分，并利用边界条件将此式积分，并利用边界条件 0| 0| d d | 000 xxx w x w ， 得得 2 1212 2 x h tt wx h tt ll ， 根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而

37、弯曲的挠曲线微分方程为根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为 h tt xx w l12 2 2 d d d d 从而有从而有 h ltt ww h ltt l lxBt l lxBt 2 | | 2 1212 ， 至于温差引起轴向位移至于温差引起轴向位移 Bt则为则为 lt tt lBt 0 21 2 位移相容条件表达式中由位移相容条件表达式中由“多余多余”未知力引起的位移所对应的未知力引起的位移所对应的 物理关系显然为物理关系显然为 3 3 EI lF w By BF By 2 2 EI lF By BF By EI lM w B BM B 2 2 EI lM B BM B 3 3 EI lF w By BF By 2 2 EI lF By BF By