2019-2020学年上海市徐汇区南洋模范中学高三(上)10月月考数学试卷

1、2019-2020 学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共4 小题，共12.0 分）?1. 已知函数 ?(?)= cos(2?+ 4) ，将?= ?(?)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|?|个单位长度，所得的图象关于原点2对称，则 ?的一个值为 ()A.3?3?5?3?4B. 8C. 16D. 161-的大致图象是 ()2. 函数 ?(?)= ?2A.B.C.D.?是等差数列 ?n，有下列四个命题， 假3. 已知(? ? )的前项和，且? ? ?675命题的是 ()A.C.公差 ? 0 的 n 的个数有11 个

2、?B.D.在所有 ? ?674.已知 ?的三边长分别为，222，若存在角 ?(0, ?)使得： ? = ? + ? -?2?，则?的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都不对二、填空题（本大题共12 小题，共 36.0 分）5.已知集合 ? = ?|?=?0 ， ?= ?|?= lg(2?-2，则 ?= _2 ,?)6.若实数 x， y 满足 ?=1，则22的最小值为_? + 2?7. 若函数 ?(?)= 2 ?+ ? 0 是偶函数，则 ?(-10) = _?(?)?(3?- 6) 成立的 x 的取值范围是 _ 1+|?|，则使得 ?(?-第1页，共 14页

3、13.-1?0, ?(?)+-1(?)的最设 ? (?)为?(?)= 4 -8 ?+ 8 ，的反函数，则 ?=?大值为 _14.设函数 ?(?)= ?,0 ? ?0，其中 ?, ?3 若?=3 ，则 ?(9)= _； 若函数 ?= ?(?)-2 有两个零点，则a的取值范围是_15.若函数 ?(?)是 R 上的单调函数，且对任意实数x，都有?(?)+21，则? =2+13?(log2 3) = _16.已知数列 ?前 n 项和为 ?，满 ? =2? =?(?)=，设函数?+ ?(?,b 为常数 ) ，且92?2?)17_2 + ?2?-2?, 记 ? =?的前项和为2?(? ，则数列三、解答题（

4、本大题共5 小题，共60.0 分）17.已知集合?2) 12?)?- 2?(3+?) 0, ? = ?|log2(2 -， ?= ?|?+ (3 -1 ，设P：?，Q：?，若 P 是 Q 成立的充分不必要条件，(1) 求出集合 M、 N；(2) 求实数 a 的取值范围218. 已知向量 ?= (cos?,cos ?)， ?= (sin?,- 3) ，且函数 ?(?)= ?(1) 求函数 ?(?)的最大值以及取最大值时 x 的取值集合? 3(2) ?中，角 A，B，C 的对边分为 a，b，c，且 ?(2) = - 2 ，?= 3 ，?+ ?= 2 3，求 ?的面积19. 某旅游胜地欲开发一座景观

5、山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC 由同一平面的两段抛物线组成，其中AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下，BC 所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上，以过山脚 ( 点 ?)的水平线为 x 轴，过山顶 ( 点?)的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图( 单位：百米 ) 已知 AB 所在抛物线的解析式?= -121?= 4 (?-4? + ?，BC 所在抛物线的解析式为2?) ，且 ?(4,4)第2页，共 14页(1) 求 m，n 值，并写出山坡线 ABC 的函数解析式；(2) 在山坡上的 700 米高度 ( 点 ?)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线

6、上的点E 处， ?= 1600( 米) ，假设索道 DE 可近似地看成一段以 E 为顶点、开口向上的抛物线?=12 .试求索道的最大悬空高度；28 (?- 16)(3) 为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为 20 厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上 ( 见图 ). 试求出前三级台阶的长度 ( 精确到厘米 )，并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？20. 已知数列 ? 的前n项和为，?， 2，且满足?+1?-1+ 6(? 1?=2 ?=4?+?= 3?2)(1) 证明： ? 是等比数列，并求数列 ?的通项公式(

7、2)?，? 0，若数列 ?t 的值；设? = ? ?(2?- 1) ? 是等差数列，求实数(3)在(2)的条件下，设 ? =2?+1(?) ，记数列? 的前n项和为?，若22?+1-3?2 ?+1?对任意的 n，?，存在实数 ?，使得 ?，求实数 ?的最大值? ?+121. 若存在实数 ?(0, ?)使得 ?= ?+ (1 - ?)?，则称 x 是区间 (?,?)(? ?)的 ?一内点(1) 求证： ?(?,?)的充要条件是存在 ?(0,1) ，使得 x 是区间 (?,?)的 ?一内点；?+?2?22(2) 若实数 a，b 满足：0 ? ?，求证：存在 ?(0,1) ，使得? +?是区间 (,

8、)2?+?2第3页，共 14页的 ?一内点；(3) 给定实数 ?(0,1) ，若对于任意区间(?,?)(?是区间的 ?一内点， ?是?)，?112区间的?2222222一内点，且不等式?和不等式 ?(1 -?)? + ?1 ?+ (1 - ?)?2对于任意 a，?都恒成立，求证： ?+?2= 11第4页，共 14页答案和解析1.【答案】 D【解析】 解：将 ?= ?(?)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的1 倍，纵坐标不变，2可得函数 ?(?)= cos(4?+?4) 的图象；?再把所得的图象向右平移|?|个单位长度，可得函数 ?= cos4(?- |?|) + 4 = cos(4?+?4

9、- 4|?|)的图象?结合所得的图象关于原点对称，可得4 - 4|?| = ?+ 2 ，?3?即 |?|= -， ?，则 ?的一个值是41616故选： D利用三角函数图象的平移变换，求出函数的解析式，通过函数的对称性求解即可本题考查三角函数的平移变换，三角函数的图象的对称性，求解即可2.【答案】 A【解析】 解：因为 -1 0，?1?7 ?5 ?1 0，? ?， ?0，? 0， D 正确；6767?13=?+ ?+ ?11313=7713 0，? -?，?12 = ?1 +?1212= ?6 +?7 12 0；676722的值当 ? 6递增，当 ? 7 递减，前12项和为正，当 ?= 13 时

10、为负?第5页，共 14页故 B 正确；满足 ? 0的 n 的个数有12 个，故 C 错误；?故选 C4.【答案】 A22222【解析】 解：由 (?+ ?) ? = ? + ? - 2?(?- ?)，得 |?- ?| ? ?，? ? ( ?)由 ?=?+?-?2? 0，得 ?(0, 2) ，?的形状为锐角三角形故选： A22222，得 |?- ?| ? ? = ? + ? - 2?(?- ?)， ，c 也可以构成一个三角形， 假设?+ ? ?，得：，再由余弦定理求得? ? 1 = (1 ， +)，,? 0220 = ?|0 ?则 ?= (1,2) 故答案为： (1,2) 求定义域和值域得出集合

11、 M 、N，根据交集的定义写出 ? ?本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题6.【答案】 2 2【解析】 【分析】本题考查基本不等式，属基础题由已知可得?= 1 ，代入要求的式子，由基本不等式?求解即可【解答】解：由已知可得?= 1，代入要求的式子，由基本不等式可得?本题考查基本不等式，属基础题解： ?= 1 ，1?=?222222= 22，?+2?= ?+ 22? 2?22，即4时取等号，当且仅当 ?=?= 22?故答案为： 227.【答案】 1025【解析】 解： ? 0时， ?(?)= 2 ?+ ?，且 ?(?)为偶函数，10第6页，共 14页故答案为： 1025由 ?(-10) =

12、?(-10) = ?(10)，代入即可求解本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数值，属于基础试题8.【答案】 21119即：【解析】 解：方程 10 = 0?9-3?1?= 0 ，9(-3 )+9 - 9+3? 2-?即(3 )83 - 9= 0，3?= 9或3?= -1( 舍去 )?= 2 故答案为： 2根据求行列式的方法化简即得? 2-?，这是一个关于 3?(3 )83 -9=0的二次方程， 将3 ?看成整体进行求解即可考查学生掌握行列式化简方法的能力以及解指数方程的能力属于基础题639.【答案】 - 65【解析】 解：因为 ?， ?为第二象限的角， cos(?-?-3?5，) =,si

13、n(? + )=45413所以 sin(? -?4， cos(?+ ?12，4)=54)= -13?又因为 sin(?+ ?)= sin(? -4) + (?+ 4) = sin(? - 4)cos(? +4 ) + cos(?-4)sin(? +?4 ) ，4123563所以 sin(? + ?)= 5 (-13) + (-5 )13=-65，故答案为： -63 65?3?5?4由 ?，?为第二象限的角， cos(?-4)= -5 ,sin(? +4 ) =13，可得 sin(? -4) =5 ，cos(?+?12?+ ?= (?-?4) = - 13，由于4) + (?+4 ) ，再结合两

14、角和的正弦公式展开运算即可得解本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题10.【答案】 -? ?6 ,2?2?【解析】 解： - 3 ? 3 ，1-2 ?1，?-6 arcsin(?)2函数?2? ?= arcsin(?)(- ?3) 的值域为 -6, .32第7页，共 14页故答案为： -? ?6,.2?2?1 ?1，由此能求出函数?2?由- ?，得到 -?= arcsin(?)(- ?)的33233值域本题考查反三角函数的值域的求法，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是基础题11.【答案】 -5【解析】 解：设设等比数列 ?的公

15、比为 q，?1 + ?2 = -1 ， ?1 - ?3 = -3，?(11+ ?)= -1 ，?(112，- ?)= -3解得 ?1= 1，?= -2，则 ?1-(-2)4= -54 =1-(-2)故答案为： -5 利用等比数列的通项公式求和公式即可得出本题考查了等比数列的通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.【答案】 (- ,2) (3, +)?(?)=?11+|?|为奇函数，当? 0时，?(?)= 1 -1+?，【解析】 解： 函数1+?可得 ?(?)在 (0, +)上单调递增，由奇函数的性质， 可得 ?(?)在 (- ,0) 上单调递增， 且函数 ?(?

16、)在 ?= 0 处连续， 所以，函数 ?(?)在 R 上单调递增2226 0，由?(?- 2?)(3?- 6) ，可得 ? - 2? 3?- 6，即 ? - 5?+解得 ?3，因此， x 的取值范围是 (- ,2) (3, +)故答案为： (- ,2) (3, +)先分析函数的基本性质得到函数22?) (3?- 6) ，可得?(?)在 R 上单调递增，由 ?(?-226 0，进而可解出x 的取值范围? - 2? 3?- 6 ，即 ? - 5?+本题考察函数的单调性的应用，利用单调性由函数值的大小关系得到自变量的大小关系，是解本题的关键，属于中等题13.【答案】 5?4?(?)=?0, ?-1?

17、【解析】 解：-?+，是? (?)为 ?(?)=-488上的单调增函数，且4?8 ?+8， ?0, ?的反函数，-1?(?)和 ? (?)的单调性相同，?当 ?= ?时， ?(?)的最大值为 2 ，且当 ?=?1?=?2时?() =4?2-8?cos() +8，224-1?(?)的定义域为 0,2 ，?= ?(?)+ ?=?-1?且当时?()=?22，第8页，共 14页-1?-1?5?() =+ ?=?= ?(?)+ ? (?)的最大值为 ?( ) + ?4422故答案为： 5?4根据 ?(?)是 0, ?上的增函数， 且?(?)与 ?-1 (?)的单调性相同， 得出 ?= ?(?)+ ?-1

18、 (?)的?定义域为 0, 2 ，进而可得 ?= ?(?)+ ?-1 (?)的最大值本题考查了反函数的性质， 函数的定义域值域 主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题14.【答案】 2 4,9)【解析】 解： 当?= 3时， ?(9) =log 3 9 = 2，?(2) = 2，?(9)= 2， 分别画出 ?=?(?)与 ?= -2 的图象，如图所示，函数 ?= ?(?)- 2有两个零点， 结合图象可得 4 ? 9，故 a 的取值范围是4,9)故答案为： 2， 4,9) 代值计算即可， 分别画出 ?= ?(?)与 ?= -2 的图象，如图所示，函数 ?= ?(?)- 2有两个零点，结

19、合图象可得 4 ? 9本题主要考查函数零点个数的判断， 根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键注意要利用数形结合115.【答案】 2【解析】 解： 函数 ?(?)是R上的单调函数， 且对任意实数x?(?)+2 =1，都有2?，+13可设 ?(?)+2= ?， (?为常数 ) ， ?(?)=2，?- ?2+12+1?(?)=1?-21?-23，2?= ，令 ?(?)=?，+132+1?(?)在 R 上单调递增，且?(1) =1， ?= 1，3?(?)= 1 -2， ?(log23)= 1 -212?2?3=2+12+1故答案为： 1 2设?(?)+2= ?，(?为常

20、数 ) ，则 ?(?)= ?-2?(?)=1?-2=12?2?，从而2?，令 ?(?)=+1+13+13第9页，共 14页?-2，推导出 ?(?)= 1 -2，由此能求出 ?(log2 3) 2?2?+1+1本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.【答案】 17【解析】 解： ?2为常数，?= ?+ ?(?,b)可得 ?= 1时， ?1 = ?1 = ?+ ?， ? 2时， ? = ?-?(?- 1) = 2?+ ?- ?，对 ?= 1也成立，可得 ? 为公差为 2a的等差数列，?22-?-1 = ?+ ?- ?(?- 1)?由=，可得 ?1 + ?17

21、= ?2 + ?16 = ? = ?8+ ?10 = 2?9 = ?，92且 2?1 + 2?17 = 2?2 + 2?16 = ? = 2?8 + 2?10= 4?9 = 2?，2 ?(?)= 2 + ?2?-2?= 1 + ?2+ ?，2数列 ? 的前 17 项和为 ?= (1 + ?2?1+?)1+ ?+ (1 + ?2?17+?)17，则 ?= (1 + ?2?17+ ?)+ (1 + ?2?+?)+ ? + (+?2?)，17161611相加可得 2?= 2 + (?2?+1 + ?2?)17+ (?1+?)17+ 2 +(?2?2?)+ (?+?)16216+ ? + 2 + (?

22、2?17+ ?2?)1+(?17+ ?)=117(2 + 0+ 0) = 34，则?= 17故答案为： 17由数列的递推式可得? 为公差为2a 的等差数列， 由 ?9 =?，可得 ? + ?=?+?=?2117216? = ?8 + ?10 = 2?9 = ?，结合二倍角的余弦公式和三角函数的诱导公式，结合等差数列的性质，由倒序相加求和，可得所求和本题考查数列的分组求和，等差数列的定义和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题17.【答案】 解： (1) 集合 ? = ?|log2(2 ?- 2) 1 = ?|0 2 ?- 2 2 = ?|2 2 ? 4 = (1,2) ；2

23、? = ?|?+ (3 - ?)?- 2?(3+ ?) 0, ? -1 = ?|(?- 2?)(?+ 3 + ?) 0, ? -1 = (2?， -3 - ?)；(2) ?： ?， Q： ?，若 P 是 Q 成立的充分不必要条件， ? ? ?2? 12 -3-? -1? -5 【解析】 第一问先解出集合，第二问通过充要性求解集合之间的关系本题考查集合，和充要性，属于基础题18.【答案】 解： (1) 向量 ?= (?,cos 2?)，?，且函数? ?= (?,-3)?(?)= ? ?第10 页，共 14页?3= sin(2? -3 ) - 2 ，?当 2?-3 = 2 + 2?， ?，即 ?=

24、 5?+ ?， ?时，12?(?)取最大值 1 -3，2函数 ?(?)的最大值为 1 -3，2此时 x 的取值集合为 ?|?=5?12 +?,?33，(2) ?( ) = sin(? -3) -2= -22?sin(? -3 ) = 0，?为 ?的内角，?=?3，由余弦定理得222?= ? + ? - 2?，2222即 ?= ?+ ?-?= (?+ ?) - 3?，又 ?= 3，?+ ?= 2 3，故 9 = 12 - 3?，得 ?= 1 ，?的面积 ?=1?=11 3=3，2224综上所述， ?的面积为 34【解析】 本题考查向量的坐标运算，辅助角公式，倍角公式，正弦函数图像与性质，余弦定理

25、，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题?3，由此能求出函数 ?(?)的最大值以及取最大值时sin(2? -3 ) -2(1) 求出 ?(?)= ?=x 的取值集合?33，从而sin(?-?，进而 ?=?(2)?( ) = sin(? -) -= -23)=03 ，由余弦定理求出 ?=2321 ，从而能求出 ?的面积19.【答案】 解： (1) 将点 ?(4,4)分别代入 ?=1212?， ?= 4- 4?+(?- ?) ，? = 4 + 41 16 = 8，?= 8，12-? + 8,0 ? 4?(?)= 418) 2,4 ? 8(?-4(2)?(2,7) 、 ?(16,0)、 ?(4,4)、 ?(8,0)由图可知，只有当索道在 BC 上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在 BC 上方时，第11 页，共 14页悬空高度?= 1(?-16)2-1(?- 8) 2=1(-3? 2 + 40?- 96)28414当?= 20时，?= 8?33索道的最大悬空高度为800 米3(3) 在山坡线 AB 上， ?= 2 8 -?， ?(0,