【三维设计】2017届高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 理 新人教版

1、第七章立体几何第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图1简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到(2)简单多面体的结构特征：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为

2、45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半3三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线小题体验1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选bd选项为正视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡

3、的圆，所以内圆是虚线，故选b.2如图所示，等腰abc是abc的直观图，那么abc是()a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形 d钝角三角形解析：选b由题图知acy轴，abx轴，由斜二测画法知，在abc中，acy轴，abx轴，acab.又因为acab，ac2abab，abc是直角三角形3(教材习题改编)如图，长方体abcd abcd被截去一部分，其中ehad，则剩下的几何体是_，截去的几何体是_答案：五棱柱三棱柱1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三

4、视图中，易忽视实虚线的画法小题纠偏1沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选b给几何体的各顶点标上字母，如图1.a，e在侧投影面上的投影重合，c，g在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为b.2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选b根据选项a、b、c、d中的直观图，画出其三视图，只有b项正确题组练透1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()a圆柱b圆锥c球体 d圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选c截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体2(易错

5、题)下列说法正确的是()a有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱b四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形c有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台d棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：选ba错，如图(1)；b正确，如图(2)，其中底面abcd是矩形，可证明pab，pcb都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；c错，如图(3)；d错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点3如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()a等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c等腰四棱锥

6、的底面四边形必存在外接圆d等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选b因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故a，c正确；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故d正确；b不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如“题组练透”第2题的a、c两项易判断失误；(3)通过反例对结构特征进行辨析典例引领1(2016贵州七校联考)如图所示，四面体abcd的四个顶

7、点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体abcd的三视图是(用代表图形)()abc d解析：选b正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是.2(2015北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()a1 bc d2解析：选c根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥vabcd，其中vb平面abcd，且底面abcd是边长为1的正方

8、形，vb1.所以四棱锥中最长棱为vd.连接bd，易知bd，在rtvbd中，vd.由题悟法几何体画三视图的2个关键点(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边(2)注意实虚线的区别即时应用1(2016临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱abc def截去一个三棱锥a bcd，得到几何体bcdef，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()解析：选c由于三棱柱为正三棱柱，故平面adeb平面def，def是等边三角形，所以cd在后侧面上的投影为ab的中点与d的连线，cd的投影与底面不垂直，故选c.2(2016南昌一模)如图，在正四棱柱abcd a1b1c1d1中，点p是

9、平面a1b1c1d1内一点，则三棱锥p bcd的正视图与侧视图的面积之比为()a11 b21c23 d32解析：选a根据题意，三棱锥p bcd的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥p bcd的正视图与侧视图的面积之比为11.典例引领(2015福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选a由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.由题悟法用斜二测画法画直观图的3个步骤(1)在原图形中与

10、x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出即时应用用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边ab平行于y轴，bc，ad平行于x轴已知四边形abcd的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()a4 cm2b4 cm2c8 cm2 d8 cm2解析：选c依题意可知bad45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与bc，ad相等，高为梯形abcd的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知一个几何体的三视图如

11、图所示，则此几何体的组成为()a上面为棱台，下面为棱柱b上面为圆台，下面为棱柱c上面为圆台，下面为圆柱d上面为棱台，下面为圆柱解析：选c依题意，题中的几何体上面是圆台，下面是圆柱2某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()解析：选d几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能3给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是()a0b1c2 d3解析：选a反例：直平行六面体底面是菱形，满足

12、条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误，故选a.4底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为()a2 b3c d4解析：选a 当正视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时s侧2.5如图，线段oa在平面xoy中，它与x轴的夹角为45，它的长为2，oa的直观图oa的长为_解析：过点a作abox于b，oa2，aob45，obab2，线段ob的直观图ob2，ab1，oba135.oa22212221cos 135，oa.答案： 二保高考，全练题型做到高考达标1(2016衡阳联考)已知底面为正方形的四

13、棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：选c根据三视图的定义可知a、b、d均不可能，故选c.2(2016武汉调研)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()解析：选ab的侧视图不对，c的俯视图不对，d的正视图不对，排除b、c、d，a正确3某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()a圆柱b圆锥c四面体 d三棱柱解析：选a圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱4(2015北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为()a1 b2c3 d4解析：选d由三视图可得该三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，一个底边长为2

14、、底边上的高为1的侧面垂直于底面，该侧面是直角边长为的直角三角形利用面面垂直的性质定理可得右边一个侧面是边长为2，的直角三角形，则左边一个侧面的边长为，2的三角形，也是直角三角形，所以该三棱锥表面的4个面都是直角三角形5如图，矩形oabc是水平放置的一个平面图形的直观图，其中oa6，oc2，则原图形oabc的面积为()a24 b12c48 d20解析：选a由题意知原图形oabc是平行四边形，且oabc6，设平行四边形oabc的高为oe，则oeoc，oc2，oe4，soabc6424.6设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体

15、；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：7(2016福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形oabc，用斜二测画法画出它的直观图oabc如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形oabc面积为_解析：因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.答案：28如图，点o为正方体abcd abcd的中心，点e为面bbcc的中心，点f为bc的中点，则空间

16、四边形doef在该正方体的各个面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号)解析：空间四边形doef在正方体的面dccd及其对面abba上的正投影是；在面bccb及其对面adda上的正投影是；在面abcd及其对面abcd上的正投影是.答案：9(2016昆明、玉溪统考)如图，三棱锥vabc的底面为正三角形，侧面vac与底面垂直且vavc，已知其正(主)视图的面积为，则其侧(左)视图的面积为_解析：设三棱锥vabc的底面边长为a，侧面vac的边ac上的高为h，则ah，其侧(左)视图是由底面三角形abc边ac上的高与侧面三角形vac边ac上的高组成的直角三角形，其面积为ah.答案：10已知正三棱锥v a

17、bc的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得bc2，侧视图中va 2，svbc226.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()a8 b7c6 d5解析：选c画出直观图，共六块2一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图1所示，直三棱柱abe a1b1e1符合题设要求，此时俯

18、视图abe是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱abc a1b1c1符合题设要求，此时俯视图abc是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱abcd a1b1c1d1符合题设要求，此时俯视图四边形abcd是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有，故排除.答案：3如图，在四棱锥pabcd中，底面为正方形，pc与底面abcd垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求pa.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正

19、方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得pd6.由正视图可知ad6，且adpd，所以在rtapd中，pa 6 cm.第二节 空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式s圆柱侧2rls圆锥侧rls圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)s表面积s侧2s底vsh锥体(棱锥和圆锥)s表面积s侧s底vsh台体(棱台和圆台)s表面积s侧s上s下v(s上s下)h球s4r2vr3小题体验1如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，

20、俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是()abc d解析：选d由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积v23226.2一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为()a8 b6c12 d8解析：选b设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知a2，a4，1242h，h3，侧(左)视图面积为236.3(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23114(教材习题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体sabc，它的表面积为_解析：过s作sdbc，bca，sda，ssbca2，表面

21、积s4a2a2.答案：a21求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念小题纠偏1已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()a84 cm3 b92 cm3c100 cm3 d108 cm3解析：选c由三视图的几何体，利用体积公式求解由三视图可得该几何体是棱长分别为6,3,6的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4的三棱锥，所以该几何体的体积是6634431088100 cm3.2若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是

22、_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积s34222242246(26)227216.答案：7216题组练透1(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()a82b112c142 d15解析：选b由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，所以该几何体的表面积为823112.2(易错题)(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620

23、，则r()a1 b2c4 d8解析：选b如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积s4r2r24r2r2r(54)r2.又s1620，(54)r21620，r24，r2，故选b.3某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为()a12 b24c24 d12解析：选a由三视图得，这是一个正四棱台，由条件知斜高h，侧面积s412.谨记通法几何体的表面积2种求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥

24、、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理，如“题组练透”第2题典例引领1(2015重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a2bc d解析：选b由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为122121.2(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()a bc d解析：选d由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为v1111，剩余部分的体积v213.所以，故选d.由题

25、悟法求解几何体体积的必备策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用1(2016浙江瑞安模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()a2 b4c6 d12解析：选b由三视图

26、可知此棱锥是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，所以v24.2(2015惠州二调)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧(左)视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是()a16 b14c12 d8解析：选d由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分，由于球的半径为2，所以这个几何体的体积v238.命题分析与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的外接球；(4)四棱锥(三棱锥)的外接球题点全练角度一：正四面体的内切球1(2016长春模拟)若一个正四面体的表

27、面积为s1，其内切球的表面积为s2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为s14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为s24r2，则.答案：角度二：直三棱柱的外接球2已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()ab2c d3解析：选c如图，由球心作平面abc的垂线，则垂足为bc的中点m.又ambc，omaa16，所以球o的半径roa .角度三：正方体(长方体)的外接球3(2016九江一模)已知矩形abcd的顶点都在半径为2的球o的球面上，且ab3，bc，过点d作de垂直于平面abcd

28、，交球o于e，则棱锥eabcd的体积为_解析：如图所示，be过球心o，de2，ve abcd322.答案：2角度四：四棱锥(三棱锥)的外接球4(2016长沙模拟)体积为的正四棱锥sabcd的底面中心为o，so与侧面成的角的正切值为，那么过sabcd的各顶点的球的表面积为()a32 b24c16 d12解析：选c如图，取ab的中点为f，连接sf，过点o作ogsf，则osg为so与侧面所成的角， 且tanosg.设ab2a，则soa，所以4a2a，得a.延长so交外接球于e，则ebsb，由ob2sooe得42(2r2)，所以r2，s42216.方法归纳“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处

29、理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径一抓基础，多练小题做到眼疾手快1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()abc16 d24解析：选b设球的半径为r，则表面积是16，即4r216，解得r2.所以体积为r3.2一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()abc20 d40解析：选b由几何体的三视图可知该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所

30、示其体积为(14)44.3在三角形abc中，ab3，bc4，abc90，若将abc绕直线bc旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为()a15 b20c30 d40解析：选a依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于3515.4棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为_解析：由题意知球的直径2ra，r.s4r24a2.答案：a25已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为v1，直径为4的球的体积为v2，则v1v2_.解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此v18，v223，v1v212.答案：12二保高考，全练题型做

31、到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()a7 b6c5 d3解析：选a设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由s(r3r)384，解得r7.2(2015云南师大附中)如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是()a9 b10c12 d18解析：选a由三视图还原出几何体的直观图如图，sd平面abcd，ab与dc平行，ab2，dc4，ad3，sd3，所求体积v(24)339.3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为()a3 bc2 d2解析：选d设正六棱柱的高为h，则可得

32、()232，解得h2.4(2015陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a3 b4c24 d34解析：选d由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为222121243.5(2015浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()a8 cm3b12 cm3c cm3d cm3解析：选c由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为2 cm的正方体，体积v12228(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积v2222(cm3)，所以该几何体的体积vv1v2(cm3)6某几何体的三

33、视图如图所示，则其体积为_解析：易知原几何体是底面圆半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为v(12)2.答案：7(2015天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为v1212122.答案：8(2016唐山一模)在半径为2的球面上有不同的四点a，b，c，d，若abacad2，则平面bcd被球所截得图形的面积为_解析：过点a向平面bcd作垂线，垂足为m，则m是bcd的外心，而外接球球心o位于直线am上，连接bm，设bcd

34、所在截面圆半径为r，oaob2ab，bao60，在rtabm中，r2sin 60，所求面积sr23.答案：39(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.答案：10(2016安徽六校联考)如图所示，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且ade，bcf均为正三角形，efab，ef2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过a，b作ef的垂线，垂足分别为g，

35、h，连接dg，ch，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，ag ，取ad中点m，则mg，sagd1，v12.法二：如图所示，取ef的中点p，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥paed和三棱锥pbcf都是棱长为1的正四面体，四棱锥pabcd为棱长为1的正四棱锥v122.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016太原一模)如图，平面四边形abcd中，abadcd1，bd，bdcd，将其沿对角线bd折成四面体abcd，使平面abd平面bcd，若四面体abcd的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()a3 bc4 d解析：选a由图示可得bdac，bc，

36、dbc与abc都是以bc为斜边的直角三角形，由此可得bc中点到四个点a，b，c，d的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积s423.2(2015南京二模 )一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6 cm时，该容器的容积为_cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高pm5 cm，高po4 cm，所以所求容积为v62448(cm3)答案：483如图，在三棱锥dabc中，已知bcad，bc2，ad6，a

37、bbdaccd10，求三棱锥dabc的体积的最大值解：由题意知，线段abbd与线段accd的长度是定值，因为棱ad与棱bc相互垂直设d为ad到bc的距离则vdabcadbcd2d，当d最大时，vdabc体积最大，abbdaccd10，当abbdaccd5时，d有最大值.此时v2.第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2

38、)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小题体验1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()a4个b3个c2个 d1个解析：选a首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2(教材习题改编)设p

39、表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_pa，pa；abp，ba；ab，a，pb，pb；b，p，ppb.答案：3(教材习题改编)给出命题若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的命题的个数为_答案：21异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”小题纠偏1(2016江西七校联考)已知直线a和平面

40、，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()a相交或平行 b相交或异面c平行或异面 d相交、平行或异面解析：选d依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()abbbcb或b db与相交或b或b解析：选db与相交或b或b都可以题组练透1(易错题)(2016上海闵行区期末调研)已知a，b，c，d是空间四点，命题甲：a，b，c，d四点不共面，命题乙：直线ac和bd不相交，则甲是乙成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a若a，b，c，d四点不共面，则直线ac和b

41、d不共面，所以ac和bd不相交；若直线ac和bd不相交，若直线ac和bd平行时，a，b，c，d四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件2如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，aa1的中点求证：(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点证明：(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e，f分别是ab，aa1的中点，efa1b.又a1bcd1，efcd1，e，c，d1，f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线d

42、a.ce，d1f，da三线共点谨记通法1点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合2证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明如“题组练透”第2题中第(2)问典例引领(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()al与l1，l2都不相交bl与l1，l2都相交cl至多与l1

43、，l2中的一条相交dl至少与l1，l2中的一条相交解析：选d由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交由题悟法 即时应用1已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()a0b1c2 d3解析：选b法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确2在图中，g，n，m，h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线

44、ghmn；图中，g，h，n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g，m，n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以在图中，gh与mn异面答案：典型母题如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中，aa12ab2，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为()a bc d解析连接bc1，易证bc1ad1，则a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角连接a1c1，由ab1，则aa12，a1c1，a1bbc1，故cosa1bc1.则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.答案d类题通法用平移法求异面直线所成

45、的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 越变越明变式1将母题条件“aa12ab2”改为“ab1，若平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1”，问题不变解：由平面abcd内有且仅有一点到a1的距离为1，则aa11.此时正四棱柱变为正方体abcda1b1c1d1，由图知a1b与ad1所成角为a1bc1，连接a1c1.则a1bc1为等边三边形，a1bc160，cosa1bc1，故异面直线a1b与ad1所

46、成角的余弦值为.变式2将母题条件“aa12ab2”改为“ab1，若异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为”，试求：的值解：设t，则aa1tab.ab1，aa1t，a1c1，a1bbc1，cosa1bc1，t3，即3.变式3将母题条件“aa12ab2”改为“ab1，且平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1”，则是否存在过顶点a的直线 l，使l与棱ab，ad，aa1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由解：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线ac1，显然ac1与棱ab，ad，aa1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线如连接bd1，则bd1与棱bc，ba，bb1所成的

47、角都相等，因为bb1aa1，bcad.体对角线bd1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等同理体对角线a1c，db1也与棱ab，ad，aa1所成角都相等，故过a作bd1，a1c，db1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条破译玄机解决本题的关键有两点：(1)抓住体对角线与共点的三条棱成等角(2)充分利用异面直线所成角的定义 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“点p在直线m上，m在平面内”可表示为()apm，mbpm，mcpm，m dpm，m解析：选b点在直线上用“”，直线在平面上用“”，故选b.2空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()a6 b12c1

48、2 d24解析：选a如图，已知空间四边形abcd，对角线ac6，bd8，易证四边形efgh为平行四边形，efg或fgh为ac与bd所成的45角，故s四边形efgh34sin 456，故选a.3若直线上有两个点在平面外，则()a直线上至少有一个点在平面内b直线上有无穷多个点在平面内c直线上所有点都在平面外d直线上至多有一个点在平面内解析：选d根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内4如图，平行六面体abcd a1b1c1d1中既与ab共面又与cc1共面的棱有_条解析：依题意，与ab和cc1都相交的棱有bc；与ab相交且与cc1平行有棱aa1，bb1；与ab平行且与cc1相交的棱有cd，c1d1.故符合条件的有5条答案：55(2016济南一模)