2019年天津市部分区高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.若集合 A= x|x2 1 ， B= x|0x 2 ，则 AB=（）A. x|0 x 1B. x|-1 x 0C. x|1 x 2D. x|-1 x 22. 若 f（ x）， g（ x）均是定义在 R 上的函数，则“ f（ x）和 g（ x）都是偶函数”是“ f（ x）?g（ x）是偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=2 x+y 的最大值是（）A.2B.3C.5D

2、.74. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A. 7B. 15C. 31D. 635. 设函数fx =sinx+ cosx x R）（ ）（ ），则下列结论中错误的是（A. f（ x）的一个周期为2B. f（ x）的最大值为 2C. f（ x）在区间（）上单调递减D. f（ x+ ）的一个零点为x=6. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18 粒，则这批米内夹谷约为（）A.108 石B.169 石C.237 石D.338 石7. 已知离心率为的双曲线C：=1a0 b0）的左、右焦点

3、分别是F1，F2，（ ，若点 P 是抛物线 y2=12x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足PF 1PF 2，则双曲线的方程是（）A.=1B.=1C.=1D.=1第1页，共 17页8. 已知函数 y=f（ x）的定义域为（ -， ），且函数 y=f（ x+2）的图象关于直线 x=-2 对称，当 x（ 0， ）时， f（ x） =lnx-f（ ）sinx（其中 f（ x）是 f（x）的导函数），若 a=f（ log）3），b=f（ log 9），c=f（ ），则 a，b，c 的大小关系是 （A. b a cB. a b cC. c b aD. b c a二、填空题（本大题共6 小题，共 3

4、0.0 分）9. i 是虚数单位，若是纯虚数，则实数a 的值为 _10. 在（ x2 + ）6 的展开式中，含 x3 项的系数为 _（用数字填写答案）11. 已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_12.已知直线 l 的参数方程是22（ t 为参数），若 l 与圆 x +y -4x+3=0 交于 A，B两点，且 |AB|=，则直线l 的斜率为 _13.若对任意的x R|x-1|-|x+2| a|2-1|a的取值范围为_ ，不等式恒成立，则实数14.已知菱形ABCD的边长为2ABC=60 EFAD，DC上，=（，点， 分别在边），=，

5、则=_三、解答题（本大题共6 小题，共 80.0 分）15.ABC中，内角ABC所对的边分别为ab c，a=4，c=3，cosA=在 ， ， ，（ ）求 b 的值；（ ）求 sin（ 2B+ ）的值16.某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从A，B，C，D 四所高校中选2 所（ ）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；（ ）若已知甲同学特别喜欢A 高校，他必选A 校，另在B， C， D 三校中再随机选 1 所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所（ i）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；（ ii）记 X 为甲、乙、丙三

6、名同学中选D 校的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望第2页，共 17页17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形， PD QA，PDA= ，平面ADPQ 平面 ABCD ，且 AD=PD=2 QA=2（ ）求证： QB平面 PDC ；（ ）求二面角C-PB-Q 的大小；（ ）已知点H 在棱 PD 上，且异面直线AH 与 PB所成角的余弦值为，求线段DH 的长18. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an +1=an+2（ nN* ），a3+a4=12 ，数列 bn 为等比数列，且 b1=a2， b2=S3（ ）求 an 和 bn 的通项公式；n

7、（ ）设cn=（ -1） an?bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn19. 已知椭圆=1 （ a b0）经过点 P（ -2， ），离心率 e= （ ）求椭圆的方程；（ ）经过椭圆左焦点 F 的直线（不经过点 P 且不与 x 轴重合）与椭圆交于A、B两点，与直线 l ：x=-3 交于点 M，记直线 PA，PB，PM 的斜率分别为 k ，k ，k（ k12330），则是否存在常数 ，使得向量=（ k1+k2，）， =（ k3， 1）共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由第3页，共 17页20. 设函数 f（ x） =ax-2-ln x（ aR）（ ）求 f（ x）的单调区间；（ ）当 a=1

8、 时，试判断 f（x）零点的个数；（ ）当 a=1 时，若对 ? x（ 1， +），都有（ 4k-1-ln x） x+f（ x） -10（ kZ）成立，求 k 的最大值第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：集合 A=x|x 2 1=x|-1 x 1 ，B=x|0 x 2 ，A B=x|-1 x2 故选：D先分别求出集合 A ，B，由此能求出 A B本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 A【解析】解：若f（x）和g（x）都是偶函数，则 f（x）?g（x）是偶函数，即充分性成立，当 f（x）和g（x）都是奇函数时，满足 f

9、 （x）?g（x）是偶函数，即必要性不成立，即 “f（x）和g（x）都是偶函数”是“f（x）?g（x）是偶函数”充分不必要条件，故选：A根据函数奇偶性关系， 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 结合函数奇偶性的性 质是解决本题的关键3.【答案】 C【解析】解：作出变量 x，y 满足约束条件对应的平面区域如 图：（阴影部分）由 z=2x+y 得 y=-2x+z ，平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直 线 y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最大，此时 z 最大第5页，共 17页由，解得，即A （3，-1），代入目标函数 z=

10、2x+y 得 z=23-1=5即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5故选：C作出不等式 组对应的平面区域，利用目 标函数的几何意 义，求最大值本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法4.【答案】 C【解析】解：当n=5 时查询终 止，则程序的功能是 计算 S=1+2+22+23+24=1+2+4+8+16=31，故选：C寻找程序终止是 n 的值，了解程序功能进行计算即可本题主要考查程序框图的应用，了解程序终止的条件是解决本 题的关键5.【答案】 D【解析】解：f（x）=sinx+cosx=f （x）的一个周期为 2，故A 正确；f

11、（x）的最大值为 2，故B 正确；由x ，得 间单调递减，故C正，f（x）在区 （）上确；f （x+）=，取x=时，函数值为，故D 错误 故选：D利用辅助角公式化 积，然后逐一核对四个选项得答案本题考查 y=Asin （x+）型函数的图象和性质，是基础题 6.【答案】 A【解析】第6页，共 17页解：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，这批米内夹谷约为：1536=108（石）故选：A利用概率的性 质能求出结果本题考查米内夹谷的数量的求法，考 查概率的性 质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】 C【解析】解：离心率为

12、的双曲线 C：=1（a 0，b0）可得，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x-3y=0，抛物线 y2=12x 的准线：x=-3，可得P（-3，-4），双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1（-c，0），F2（c，0），满足 PF1PF2，（3-c，4）?（3+c，4）=0，解得 c=5，则 a=3；b=4；舍去的双曲 线方程为：=1故选：C求出抛物 线的直准 线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出 a，b 即可得到双曲 线方程本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查8.【答案】 A【解析】解：函数y=f （x）的定义域为（-，），且函数y=f （

13、x+2）的图象关于直 线 x=-2 对称，函数 f（x）为 R 上的偶函数当 x（0，）时，f （x）=lnx-f （ ）sinx（其中f （x）是f（x）的导函数），f （x）=-f （）cosx，令 x=，则 f （）=2，第7页，共 17页f （x）=-2cosx，当 x时，2，2cosx2f （x）=-2cosx 0当 x时，0，2cosx0f （x）=-2cosx0x（0，）时，f （x）=-2cosx0函数 f（x）在x（0，）时单调递 增a=f（log 3），b=f（log9）=f （-2）=f（2），c=f（），0log 312，acb即 bca故选：A函数 y=f（x）的定义

14、域为（-，），且函数y=f （x+2）的图象关于直 线 x=-2 对称，为时（x）=lnx-f （ ）sinx可得函数 f（x） （-，）0上的偶函数当 x （0，） ，f导-f （ ）cosx，令x=，可得 f （ ）=2，（其中f （x）是f （x ）的 函数），f（x）=于是 f （x）=时单调性奇偶性即可-2cosx，可得：x（0，），f （x）0利用其得出大小关系本题考查了利用导数研究函数的 单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的奇偶性、等价 转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于难题9.【答案】 -2【解析】解：=是纯虚数，即a=-2故答案为：-2利用复数代

15、数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不 为 0 列式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的基本概念，是基 础题10.【答案】 20【解析】第8页，共 17页2+612-3r解：由于（x）的展开式的通 项公式为 Tr+1=?x，令 12-3r=3，解得 r=3，故展开式中 x3 的系数是=20，故答案为：20先求出二 项式展开式的通 项公式，再令 x 的系数等于3，求得 r 的值，即可求得展开式中 x3 的系数本题主要考查二项式定理的 应用，二项式展开式的通 项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11.【答案】 2【解析】解：等边三角形的 边长为 2，将该三角形绕其任一边所在

16、的直 线旋转一周而形成的曲面所 围成的几何体是两个以为底面圆半径，以 1 为高的两个 圆锥的组合体，将该三角形绕其任一边所在的直 线旋转一周而形成的曲面所 围成的几何体的体积为：V=2=2故答案为：2将该三角形绕其任一边所在的直 线旋转一周而形成的曲面所 围成的几何体是两个以为底面圆半径，以 1 为高的两个 圆锥的组合体，由此能求出其体积本题考查几何体的体积的求法，考查旋转体的性质等基础知识查，考 运算求解能力，是中档题12.【答案】 【解析】第9页，共 17页题线l 的参数方程是（t为圆为解：根据意，直参数）， 的方程x2+y2-4x+3=0，若 l 与圆 x2+y2-4x+3=0 交于 A

17、 ，B 两点，则22变2 x+3=0，有（tcos）+（tsin ）-4tcos x+3=0， 形可得 t -4tcos则有 t1+t2=4cos，t1t2=3，又由|AB|=则t22，有（1+t2）-4t1t2=16cos -12=3解可得 cos2=，则有 sin2= ，则有 tan =则直线 l 的斜率故答案为：，tan =；2根据题意，将直线的参数方程与 圆的方程联立，则有（tcos ）+（tsin ）2-4tcos x+3=0，变形可得 t2-4tcos x+3=0，由根与系数的关系分析可得=4cos，t，又由则22t1+t2）1t2=16cos-12=3，解可得1t2=3|AB|=

18、， 有（t1+t2-4tcos2的值，由三角函数的基本关系式可得tan 的值，结合直线参数方程的意义分析可得答案本题考查 直线与圆的位置关系，涉及直 线的参数方程，属于基 础题 13.【答案】 （ -， -12， +）【解析】解：由|x-1|-|x+2|=|x-1|-|-2-x| |（x-1）+（-2-x）|=3，不等式 |x-1|-|x+2| -1|2a恒成立转化为 |2a-1| 3成立，即 2a-13 或 2a-1-3，可得 a2或 a-1，故答案为（-，-12，+）根据绝对值不等式即求解；本题考查了绝对值不等式的 应用和解法属于基础题14.【答案】【解析】第10 页，共 17页解：由=（

19、），=，可得点 E 为线段 AD 的中点，点 F 为线段 DC 的三等分点靠近点 D 处，由菱形 ABCD 的边长为 2，ABC=60 ，得：|=2，ABD=30 ，则=（）?（）=-+=12-+=，故答案为：由平面向量的 线性运算及平面向量数量 积的性质及其运算得：=（）?（）=-+= 12-+ = ，得解本题考查了平面向量的 线性运算及平面向量数量 积的性质及其运算，属中档题15.【答案】 解：（ ）在 ABC 中，由余弦定理得：222又 a=4 ， c=3， cosA=，2b2+3b-14=0，解得 b=2；（ ）由 cosA=- ，所以 sinA=，由正弦定理得：，得 sinB= ，又

20、 0，所以 cosB= ，所以 sin2B=2sinBcosB=， cos2B=2cos2B-1=，所以 sin（ 2B+ ） =+=，故答案为：【解析】第11 页，共 17页2222（）由余弦定理得：a=b +c -2bccosA，又 a=4，c=3，cosA=，2b +3b-14=0，解得 b=2（）由正弦定理得：，得sinB=，又0，所以cosB=，由二倍角公式得：sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B-1=，由两角和的正弦公式得：sin（2B+）=+=，得解本题考查了余弦定理、正弦定理及二倍角公式、两角和的正弦公式，属中档题16.【答案】 解：（ I）设甲、乙、丙三

21、名同学分别选D 高校的概率为Pi（ i=1，2，3）则 P1=P2=P3= ，甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率 P=（ II ）（ i ）设乙、丙未选D 高校的概率都为：=甲同学选 D 高校且乙、丙都未选 D 高校的概率 = （ ii ） X 的取值为0， 1， 2， 3P（ X=0） =（ 1-）=，P（ X=1） =+2（1- ） = ，P（ X=2） =+（ 1- ）= P（X=3）= =随机变量X 的分布列为：X0123P数学期望E（X） =0+1 +2+3 = 【解析】（I）设甲、乙、丙三名同学分别选 D 高校的概率 为 Pi（i=1，2，3）可得P1=P2=P3=，再利用相互独

22、立概率 计算公式即可得出（II ）（i）设乙、丙未选 D 高校的概率都 为：利用相互独立概率 计算公式即第12 页，共 17页可得出甲同学 选 D 高校且乙、丙都未选 D 高校的概率（ii ）X 的取值为 0，1，2，3利用相互独立与互斥事件概率 计算公式即可得出概率及其分布列本题考查了相互独立概率 计算公式、互斥事件概率 计算公式、随机变量的概率计算公式及其分布列与期望、分类讨论 方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档 题17.【答案】 证明：（ ）四边形 ABCD 是正方形， ABCD ，四边形 ADPQ 是梯形， PDQA， ABQA=A， CDPD =D，平面 ABP平面 DCP

23、，QB? 平面 ABQ， QB平面 PDC解：（ ）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（ 0，2，0），P（ 0，0，2），B（2，2， 0）， Q（2， 0， 1），=（ 2，2，-2），=（ 0，2，-2 ），=（ 2， 0， -1），设平面 PBC 的法向量=（ x， y， z），则，取 y=1，得=（ 0， 1， 1），设平面 PBQ 的法向量=（ x， y， z），则，取 x=1，得=（ 1， 1， 2），设二面角C-PB-Q 的大小为，由图形得为钝角，则 cos=-=-，= ，二面角 C-PB-Q 的大小为（ ）点

24、 H 在棱 PD 上，且异面直线AH 与 PB 所成角的余弦值为，设 DH =t，则 H（ 0， 0， t）， A（ 2， 0，0），=（ -2， 0， t），=（ 2， 2， -2），|cos |=，第13 页，共 17页解得 t= ， 线段 DH 的长为【解析】（）推导出 AB CD，从而平面 ABP 平面 DCP，由此能证明 QB平面 PDC（）以D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 C-PB-Q 的大小（）设 DH=t ，利用向量法能求出 线段 DH 的长 本题考查线面平行的 证明，考查二面角的大小、线段长的求法，

25、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档 题18. an 满足 an+1=an+2 ，则数列 an 是公差为2 的【答案】 解：（ ）根据题意，数列等差数列，又由 a3+a4=12，则 a3+a3+d=12，解可得a3=5，则 an=a3+（ n-3） d=2 n-1，又由数列 bn 为等比数列，且b1=3 ，b2 =1+3+5=9 ，则数列 bn 的公比为3，则 bn=3n，（ ）根据题意，由（ ）的结论， an =2n-1， bn=3n，则 cn=（ -1） nan?bn=（ -1） n（ 2n-1） 3n=（ 2n-1）（ -3） n，则 Tn=1（

26、-3） +3（ -3） 2+ +（ 2n-1）（ -3） n，-3Tn=1（ -3）2+3（ -3）3+（ 2n-1）（ -3）n+1， -可得：4Tn=-3+2（ -3）2+（ -3）3+ （ -3）n-（ 2n-1）（ -3）n+1= -（ -3）n -1，变形可得： Tn= -（ -3） n-1 【解析】（）根据题意，由 an+1=an+2 分析可得数列 a n 是公差为 2 的等差数列，又由a3+a4=12 可得 a3+a3+d=12，解可得 a3=5，由等差数列的通项公式可得 a n 的通项公式，进而可得 b1=3，b2=9，分析可得数列 b n 的公比为 3，结合等比数列的通项公式

27、计算可得答案；（）根据题意，求出数列c n 的通项公式，由错位相减法分析可得答案本题考查数列的递推公式以及求和，关 键是求出两个数列的通 项公式，属于基础题第14 页，共 17页19.，【答案】 解：（ ）由题意可得解得 a2=6，b2=2，故椭圆的方程为+=1，（ ）假设存在常数，使得向量=（ k1+k2，），=（ k3， 1）共线，k1+k2=k3 ，由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（ x+2），代入椭圆方程并整理得（ 1+3k2 ）x2+12k2x+12k2-6=0设 A（x1 ， y1）， B（x2， y2），则有 x1+x2=-， x1x2 =，在方程中

28、，令 x=-3得， M（-3， -k），从而 k1=， k2=， k3 =k+ ，k1+k2=+=+=2k-?=2 k-=2k+=2（ k+） =2k3，k3=k+0，k1+k2=2 k3故存在常数=2符合题意【解析】（）由题意可得，从而解得 a，b，即可得到椭圆的标准方程；（）可先设出直线 AB 的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设 A （x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系，再求点 M的坐标别较=k即可求得参数的值；，分 表示出 k ，k ，k 比k12 31+k23本题考查直线与圆锥曲线的综合问题 ，考查了分析 转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形 结合的思想，本题综合性较