2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(文科)

1、2019 年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.若集合 M= x|（x+1）（ x-3） 0 ，集合 N= x|x 1 ，则 MN 等于（）A. （ 1，3）B. （ -， -1）C. （ -1， 1）D. （ -3， 1）2.i 为虚数单位，若复数（ 1+mi）（ 1+ i）是纯虚数，则实数m=（）A. -1B. 0C. 1D.0或13.若 x，y 满足约束条件，则的最小值为（）A. -1B. -2C. 1D. 24. 数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长

2、等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的a，b分别为 8、 2，则输出的n=（）A. 2B. 3C. 5D. 45.“不等式x2-2x+m0在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. m1B. m1C. m0D.m26.ABCA B Cab c2c cosB=2a+bC=）的内角， ， 的对边分别为，已知?，则 （A. 30B. 60C. 120 D. 150 7.ABCD 为长方形， AB=2， BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（）A.B.C.D.8. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示， 则该三棱锥的外

3、接球的表面积为（）第1页，共 17页A.29B. 30C.D.216 9.ABC外接圆的半径为1O，且2+=|=|? 等于（），圆心为，则A.B.C. 3D.10.2PFQ，已知抛物线 y =2 x的焦点为 F，点 P在抛物线上， 以 PF 为边作一个等边三角形若点 Q 在抛物线的准线上，则|PF|=（）A. 1B. 2C. 2D. 211. 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A.1B.C.D.12. 定义在 R 上的函数 y=f（ x），满足 f（ 3-x） =f（ x）， f （ x）为 f（

4、 x）的导函数，且（ x- ） f（ x） 0，若 x1 x2，且 x1+x2 3，则有（）A. f（ x1） f（ x2）B. f（x1） f （x2）C. f（ x1） =f（ x2）D. 不确定二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.已知直线 y=ax-2 和 y=（ a+2 ） x+1 互相垂直，则实数 a 等于 _f x=3 在点（ 1，f（ 1）处的切线的倾斜角为，则的14.）x已知曲线 （值为 _15. 过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B（ 2，1），则圆 C 的方程为 _16.f x =f x）在区间m 4上的值域为-1，2，设函数（）

5、，若 （，则实数 m 的取值范围为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17.已知等比数列 an 是递增数列，且a1+a5= ， a2a4=4（ 1）求数列 an 的通项公式（ 2）若 bn=nan（ nN* ），求数列 bn 的前 n 项和 Sn第2页，共 17页18. 如图：在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形， ,AD=DE =1， ADE=90， ADC =DCB=120 （ ）求证：平面 ABCD 平面 EDCF ；（ ）求三棱锥 A-BDF 的体积19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018 年连续六个月的利润进行了

6、统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（ 1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码 x 之间的关系， 求 y 关于 x 的线性回归方程， 并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；（ 2）甲公司新研制了一款产品， 需要采购一批新型材料， 现有 A，B 两种型号的新型材料可供选择， 按规定每种新型材料最多可使用4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A， B 两种型号的新型材料对应的产品各100 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如表：使用寿命1 个月2 个月3 个月4 个月总计材料类型A203535101

7、00B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：yi=96，xiyi=371参考公式：回归直线方程为=x+，其中=第3页，共 17页20. 已知O为坐标原点， 椭圆C：=1 ab0F（ -c，0），1（ ）的左、右焦点分别为F2（ c，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为3，直线 y=-与椭圆 C 相切（ ）求椭圆 C 的标准方程；（ ）是否存在直线 l：y=k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（） 1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21. 已知函数 f（ x） =ax-1-ln x（ aR）（ ）

8、讨论函数 f（ x）的单调性；（ ）若函数f（ x）在 x=1 处取得极值，不等式f（ x）bx-2 对任意 x（ 0， +）恒成立，求实数b 的取值范围第4页，共 17页22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中 t 为参数， 0 ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方2程为 sin =4cos（ 1）求 l 和 C 的直角坐标方程；（ 2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且 |AB |=8，求 23. 设函数 f（ x） =|2x+a|-|x-2|（ xR， aR）（ ）当 a=-1 时，求不等式 f（ x） 0 的解集；（ ）若 f

9、（ x） -1 在 xR 上恒成立，求实数a 的取值范围第5页，共 17页y=-2x ，当过点（0，-1）时，直线答案和解析1.【答案】 C【解析】解：解二次不等式（x+1）（x-3 ）0 得：-1x3，即M= （-1，3），又集合 N=x|x 1= （-，1），所以 MN= （-1，1），故选：C由二次不等式的解法得： M= （-1，3），由集合交集及其运算得：MN= （-1，1），得解本题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题2.【答案】 C【解析】解：（1+mi）（1+i）=（1-m）+（1+m）i是纯虚数，即m=1故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复

10、数代数形式的乘除运算，考 查了复数的基本概念，是基 础题3.【答案】 A【解析】解：x，y 满足约束条件的平面区域如下 图所示：平移直线 y=-2x，由图易得，当 x=0，y=-1 时，即经过 A 时，目标函数 z=2x+y 的最小值为：-1故选：A先根据约 束条件画出平面区域，然后平移直 线在 y 轴上的截距最大，从而求出所求本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意 义求最值，属于基础题4.【答案】 C【解析】第6页，共 17页解：n=1，a=8+4=12，b=4，ab 否，n=2，n=2，a=12+6=18，b=8，ab 否，n=3，n=3，a=18+9=27，b=16，a b 否，n

11、=4，n=4，a=27+=40.5，b=32，ab 否，n=5，n=5，a=40.5+20.25=60.75，b=64，a b 是，输出 n=5，故选：C根据条件 进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和识别，结合条件进行模拟运算是解决本 题的关键5.【答案】 D【解析】解：“不等式 x20在R2 “即” ，“上恒成立 ”的充要条件 为：“（ ）-2x+m-2 -4m 0m 1又 “m2是“”m1的“充分不必要条件，即 “不等式 x20在R上恒成立 ”的一个充分不必要条件是： ” ，“-2x+mm2故选：D由二次不等式恒成立 问题得：“不等式 x2-2x+m0在 R 上恒成立 ”的充要条件

12、2为：“（-2）-4m 0“即” m 1，“由充分必要条件得： “m2是“”m1的“充分不必要条件，即 “不等式 x 2-2x+m0在 R 上恒成立 ”的一个充分不必要条件是： ”m2，“得解本题考查了二次不等式恒成立 问题及充分必要条件，属 简单题6.【答案】 C【解析】解：根据题意，若 2c?cosB=2a+b，则有：2c=2a+b，整理得：a2+b2-c2=-ab，可得：cosC=-，又在 ABC 中，0 C 180，C=120 故选：C第7页，共 17页结合题意，由余弦定理可得 2c变2 22=-ab，根据=2a+b， 形可得 a +b -c余弦定理可求 cosC的值 结围，分析可得答

13、案，合C的范本题考查三角形中的几何计查应用，属于基础题算，考 了余弦定理的7.【答案】 B【解析】解：已知如图所示：长方形面积为 2，以 O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到 O 的距离大于 1 的概率 P=1-故选：B本题考查的知识点是几何概型的意义键，关 是要找出点到 O 的距离大于 1 的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型 计算公式进行求解“”为线长积积段度、面 、体 等，几何概型的概率估算公式中的 几何度量 ，可以而且这个 “几何度量 ”只与 “大小 ”有关，而与形状和位置无关解决的步 骤均为：求出满足条件 A 的基本事件 对应的

14、“几何度量 ”N（A ），再求出总的基本事件对应的 “几何度量 ”N，最后根据 P=求解8.【答案】 A【解析】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角 顶点的三棱 锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：该三棱锥的外接球的表面 积为：，故选：A几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥 扩，第8页，共 17页展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面 积本题考查三视图，几何体的外接球的表面 积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题9.【答案】 C【解析】解：，O，B，C 共线，B

15、C 为圆的直径，如图AB AC ，=1，|BC|=2，|AC|=，故ACB=则，故选：C利用向量的运算法 则将已知等式化 简得到，得到 BC 为直径，故ABC 为直角三角形，求出三 边长可得 ACB 的值，利用两个向量的数量 积的定义求出的值本题主要考查向量在几何中的 应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识 求出ABC 为直角三角形及三 边长，是解题的关键【答案】 B10.【解析】线标线（x-），解：抛物 的焦点坐（ ，0），可得直 PF：y=可得：，可得：x=，则 y=，|PF|=2故选：B求出抛物 线的焦点坐 标（ ，0），利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后第9页，共 17页

16、求出结果本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及 计算能力11.【答案】 C【解析】解：正方体的对角线长为 2，故当正方体旋 转的新位置的最大高度 为 2，又水的体 积是正方体体 积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为故选：C根据水的体 积为容器体积的一半可知液面高度 为物体新位置高度的一半本题考查了几何体的体 积计算，属于基础题12.【答案】 B【解析】解：f（3-x ）=f（x），函数 图象关于直 线 x=对称，又 f （x）0当 x时，函数是减函数当 x时，函数是增函数x1 x2，且x 1+x2 3x1，x2（ ，+）f（x 1）f（x2）故选：B图象关于

17、直线x=对称，再由“f （x）0”可由 “f（3-x）=f（x）”，知函数知：当x时，函数是减函数当 x时“x x ，且x3”，得知x，x，函数是增函数，最后由1 21+x212（ ，+），应用单调性定义得到结论 第10 页，共 17页本题主要考 查函数的 对称性和 单调性，这里还考查了导数，当导数大于零 时，函数是增函数，当导数小于零 时，函数是减函数13.【答案】 -1【解析】解：直线 y=ax-2 和 y=（a+2）x+1 互相垂直，他们的斜率之 积等于 -1，即 a（a+2）=-1，a=-1，故答案为：-1利用斜率都存在的两直 线垂直，斜率之积等于 -1，解方程求出实数 a的值本题考查

18、斜率都存在的两直 线垂直，斜率之积等于 -114.【答案】【解析】解：因为：曲线 f（x）=x3所以：函数 f（x）的导函数 f （x）=2x2，可得：f（1）=2，因为：曲线 f（x）=x3 在点（1，f （1）处的切线的倾斜角为 ，所以：tan =f（1）=2，所以：=故答案为： 求出函数的 导数，求得 f （x）在点（1，f（1）处切线 斜率，利用同角三角函数关系式即可化 简得解本题考查导数的几何意 义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化 简求值，属于基础题15.【答案】 （ x-3）2 +y2=2【解析】解：直线 x-y-1=0 的斜率为 1，过点 B 直

19、径所在直 线方程斜率 为 -1，B（2，1），此直 线方程为 y-1=-（x-2），即x+y-3=0，第11 页，共 17页设圆心 C 坐标为（a，3-a），|AC|=|BC|，即解得：a=3，圆心 C 坐标为（3，0），半径为22则圆 C 方程为（x-3 ）+y =222故答案为：（x-3）+y =2=，求出直线 x-y-1=0 的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘 积为 -1 求出过点 B 的直径所在直 线方程的斜率，求出此直 线方程，根据直线方程设出圆心 C 坐标，根据 |AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C 坐标，进而确定出半径，写出 圆的方程即可此题考查了

20、圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本 题的关键16.【答案】 -8， -1【解析】解：函数f （x）的图象如图所示，结合图象易得当 m-8 ，-1时，f （x）-1，2故答案为：-8 ，-1函数 f （x）的图象如图所示，结合图象易得答案本题考查了函数的 值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题17.2， a2a4=4= a3 =4【答案】 解：（ 1）由 an 是递增等比数列， a1+a5=a1 1 4，； +a q =解得： a1= ， q=2；数列 an 的通项公式：an=2n-2；（ 2）由 bn=nan （nN* ），n

21、-2bn=n?2；第12 页，共 17页S1= ；那么 S-1+201+n 2n-2，n=122 +32 +012?n-2n-1，则 2Sn=12 +22 +32 +（ n-1） 2+n?2将 -得： Sn=+n?2n-1；即： Sn=-1+202n-2） +n?2n -1n-1（2+2+2 +2=+n 2?【解析】（1）根据an是递增等比数列，a1+a5=，即可求解数列a n的通项a2a4=4公式（2）由bn=nan（nN* ），可得数列b n 的通项公式，利用错位相减法即可求解前n 项和 Sn本题主要考查数列通项公式以及前 n 项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键18.【答案】 （

22、）证明： 在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形， ADE =90，AD DE ， CD DE ，AD CD =D， DE 平面 ABCD ，DE ? 平面 EDCF ， 平面 ABCD 平面 EDCF （ ）解：DE 平面 ABCD ，四边形 EDCF 是正方形，AD =DE=1， ADE =90 ， ADC=DCB =120 三棱锥 A-BDF 的体积：VA-BDF=VF-ABD =1= 【解析】本题考查面面垂直的 证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识 ，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（）推导出 AD DE，CDDE

23、，从而 DE平面 ABCD ，由此能证明平面第13 页，共 17页ABCD 平面 EDCF锥 A-BDF 的体积 VA-BDF =VF-ABD =，由此能求出结果（）三棱19.组，即（ 1， 11），（ 2，【答案】 解：（ 1）由折线图可知统计数据（ x， y）共有 613），（ 3， 16），（ 4， 15），（ 5，20），（ 6， 21）计算可得 =3.5， =yi = 96=16 ，所以=2，=-?=16-2 3.5=9 所以月度利润 x 与月份代码 x 之间的线性回归方程为=2x+9，当 x=11 时， =211+9=31 故预计甲公司2019 年 3 月份的利润为31 百万元（

24、2） A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为=2.35 ，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为=2.7， 应该采购B 新新材料【解析】（1）由折线图可知统计数据（x ，y）共有6 组，即（1，11），2（，13），3（，16），4（，15），5（，20），6（，21）根据这 6 组数据可求得 线性回归方程，再令 x=11，可得；（2）比较 A ，B 两种新材料的使用寿命的平均进行比 较可得本题考查了线性回归方程，属中档题20.【答案】 解：（ ） 在=1（ a b 0）中，令 x=c，可得 y= ，过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3， =3 ，直线 y=-与椭圆 C

25、 相切，b=，a=2a2=4， b2=3 故椭圆 C 的方程为+=1；（ ）由（ ）可知 c=1 ，则直线l 的方程为y=k（ x+1 ），第14 页，共 17页联立，可得（ 4k2+3） x2+8k2x+4 k2-12=0，则 =64k4-4（4k2+3）（ 4k2-12）=144 （ k2+1） 0，x1+x2=-， x1x2=，y1y2=k2（ x1+1 ）（ x2 +1） =-，（）1， ? 1，（ x2-1， y2）（ x1-1， y1） =x1x2 -（x1+x2） +1+y1 y2 1，即+1-1，2整理可得k 4，直线 l 存在，且k 的取值范围为（-2， 2）【解析】题线与椭

26、圆C 相切，可得 b=，解之即（）由 意可得=3，以及直 y=-得 a，b，从而写出椭圆 C 的方程；（）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k 的取值范围本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力， 转化与化归能力，属于中档题21.【答案】 解：（ ）函数 f（ x）的定义域为（0， +）.若 a0，则 f（ x） 0，f（x）在（ 0，+）上递减；若 a 0，则由 f（ x） 0 得：；由 f（ x） 0 得：f（x）在上递减，在递增（ ） 函数 f（ x）在 x=1 处取得极值，f（ 1） =0 ，即 a-1=0 ，解得： a=1

27、f（x） =x-1-ln x由 f（ x） bx-2 得： x-1-ln xbx-2，x 0，第15 页，共 17页令，则由 g（x） 0 得： xe2；由 g（x） 0 得： 0x e2所以， g（ x）在（ 0， e2）上递减，在（e2， +）递增，【解析】（）对函数进行求导，然后令导函数大于 0 求出 x 的范围，令导函数小于 0 求出 x 的范围，即可得到答案；（）由函数f（x）在x=1 处取得极值求出 a 的值，再依据不等式恒成立 时所取的条件，求出实数 b 的取值范围即可本题主要考查导函数的正 负与原函数的 单调性之间的关系，即当导函数大于0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值掌握不等式恒成立 时所取的条件22.【答案】 解：（1）直线l的