2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 集合与函数概念（第2课时）分段函数与映射课件 新人教A版必修1

1、第2课时分段函数与映射 1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数 的图象. 2.了解映射的概念,会判断给出的对应是不是映射. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 1.分段函数 所谓分段函数,是指在定义域的不同部分,有不同的对应关系的 函数. 名师点拨名师点拨分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.分段 函数的定义域是各段自变量取值的并集,值域是各段函数值的并集. 答案:B 2.映射 (1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB

2、为从集合 A到集合B的一 个映射. 归纳总结归纳总结满足下列条件的对应f:AB为映射: (1)A,B为非空集合; (2)有对应关系f; (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对 应. (2)映射与函数的联系 归纳总结归纳总结函数新概念,记准三要素;定义域值域,关系式相连;函数 表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;函数变映射,只是数集 变;不再是数集,任何集不限. 【做一做2】 下列从集合M到集合N的对应中,不是映射的是( ) 解析:选项A,B,C均符合映射的定义,都是映射;选项D中,集合M中 的元素1在集合N中有两个元素a和b与之对应,不符合映射的定义, 则选项D不

3、是映射. 答案:D 画分段函数的图象 剖析画分段函数的图象时,要分析分段函数的定义域,遵循定义 域优先的原则. 数y=(x+1)2的图象,取其在区间(-,0上的图象,其他部分删去不 要;画一次函数y=-x的图象,取其在区间(0,+)内的图象,其他部 分删去不要;这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象 (如图所示). 由此可得,画分段函数 画整个函数y=f1(x)的图象,取其在区间D1上的图象,其他部分删 去不要; 画整个函数y=f2(x)的图象,取其在区间D2上的图象,其他部分删 去不要; 将各个部分的图象合起来就是所要画的分段函数的图象. 题型一题型二题型三题型四 判断映射 【例1】

4、下列对应是从集合M到集合N的映射的是() M=N=R,f:xy=x3,xM,yN. A.B.C.D. 解析:对于,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以不 是映射;对于,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所 以不是映射;对于,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对 应,所以是映射.故选D. 答案:D 题型一题型二题型三题型四 反思判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则 不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一, 则不是映射. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 判断下列对应是

5、不是从集合A到集合B的映射: (1)A=N*,B=N*,对应关系f:xy=|x-3|,xA,yB; (2)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应关系f:作圆的内接 矩形; (3)A=高一(1)班的男生,B=R,对应关系f:每个男生对应自己的 身高; 题型一题型二题型三题型四 解:(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而 0B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集 合B中有无数个元素与之对应,故不是映射. (3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一的元素与 之对应,符合映射定义,是映射. 题型一题型二题型三题型四 分析:先求

6、f(-3),设f(-3)=m,再求f(m),设f(m)=n,再求f(n)即可. 解:-30,f(f(f(-3)=f()=+1, 即f(f(f(-3)=+1. 反思反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的 范围,再代入相应的解析式求得. 2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处 理. 求分段函数的函数值 题型一题型二题型三题型四 (2)若f(a)=2,求a的值. (2)当a-1时,由f(a)=2,得a+2=2,解得a=0,舍去;当-1a2时,由 f(a)=2,得2a=2,解得a=1;当a2时, 综上所述,a的值为1或2. 题型一题型二题型三题型四 分段

7、函数的图象及应用 【例3】如图,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm, 题型一题型二题型三题型四 解:过点A,D分别作AGBC,DHBC,垂足分别是G,H. 所以BG=AG=DH=HC=2 cm. 又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm. (3)当点F在线段HC上,即x(5,7时, y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRtCEF 题型一题型二题型三题型四 函数图象如图所示. 题型一题型二题型三题型四 反思求实际问题中函数的解析式,其关键是要充分利用条件建立 关于变量的等式.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身 的限制条件外,还要考虑问题的实际意义. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 根据函数f(x)的图象(如图)写出其解析式. 解:当0 x1时,f(x)=2x; 当1x2时,f(x)=2; 当x2时,f(x)=3. 题型一题型二题型三题型四 易混易错题 易错点错误理解分段函数 错解由x2-1=3,得x=2;由2x+1=3,得x=1. 故x的值为2,-2或1. 错因分析:本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣 “分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它 不是几个函数,而是一个函数.求值时不能忽视x的取值范围,错解中 x=-2和