2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1

1、-1- 3.1.3空间向量的数量积运算 目标导航 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直. 知识梳理 知识拓展1.当=0时,两个向量同向共线;当=时,两个 向量反向共线.若ab,则=0或. 2.对空间任意两个非零向量a,b,有: (1)=; (2)=-; (3)=. 知识梳理 【做一做1】 已知向量a=-3b,则=. 解析:a=-3b,a与b反向. =. 答案: 知识梳理 2.向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a|b|cos叫做a,b的数量积,记作 ab,即ab=|a|b|cos. 零

2、向量与任何向量的数量积为0. 特别地,aa=|a|a|cos=|a|2. (2)数量积满足的运算律: (a)b=(ab); 交换律:ab=ba; 分配律:a(b+c)=ab+ac. 知识梳理 (3)向量数量积的性质: 若a,b是非零向量,则abab=0. 若a与b同向,则ab=|a|b|; 若a与b反向,则ab=-|a|b|. |ab|a|b|. 归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的 值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零 向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定. 知识梳理 答案:A 【做一做2-2】 已知空间向量a,b的夹角为120,且|a|=

3、1,|b|=2,则 a(2a-3b)=. 答案:5 重难聚焦 1.理解向量数量积的概念 剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是 向量,而向量的数量积的结果是数量; (2)书写要规范:不能写成ab,也不能写成ab; (3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即 (ab)ca(bc),ab=ac b=c. 2.空间向量数量积的应用 (3)利用关系abab=0可以证明空间中的两直线垂直. 典例透析 题型一题型二题型三题型四 数量积的运算 【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为 AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算: 分

4、析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量 表示出来,再代入向量的数量积进行运算. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的 几何意义,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 【变式训练1】 已知正四面体OABC的棱长为1.求: 典例透析 题型一题型二题型三题型四 利用数量积证明垂直 【例2】 已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC. 求证:OABC. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四 反思立体几何

5、中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量 积为零的问题. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底 面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60,求证:CC1BD. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四 利用数量积求异面直线所成的角 【例3】 已知空间四边形O -ABC的各边及对角线的长都相等,E,F 分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 如图

6、,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱 CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是. 答案:90 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 利用数量积求两点间的距离或线段的长度 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 反思求两点间的距离或线段长度的方法如下: (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; 典例透析 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1, ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D两 点间的距离. 题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 易错辨析 易错点对空间向量夹角的概念理解不清而致错 典例透析 题型一题型二题型三题型四题型五 错因分析本题的错因在于对两个向量夹角的概念理解不清,两个 向量必须是首首相连或尾尾相连时,所成的角才是它们的夹角.对 于平