2019届高中数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2

1、4.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 直线与圆的方程的应用 1.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心, 半径为30 km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70 km处,港 口位于小岛中心正北40 km处.如果这艘轮船沿直线返港,那么它是 否会有触礁危险? (1)通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题? 提示:以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的平 面直角坐标系. (2)如何表示受暗礁影响的圆形区域所对应的圆的方程及轮船沿 直线返港时的直线的方程? 提示:取10 km为单位长度,则受暗礁影响的圆形区域所对应的圆 心为O的圆的方程为x2+y2=

2、9;轮船航线所在直线的方程为4x+7y- 28=0. (3) 轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样的数学 问题? 提示:归结为圆与直线有无公共点,若有公共点则会触礁,若没有 公共点,则不会触礁. 2.填空:用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 (1)从实际问题中提炼几何图形; (2)建立直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平 面问题转化为代数问题; (3)通过代数运算,解决代数问题; (4)将结果“翻译”成几何结论并作答. 3.用坐标方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何 元素,将平面问题转化为代数问题; (2)通过代数运

3、算,解决代数问题; (3)将代数运算结果“翻译”成几何结论. 探究一探究二思想方法 直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程的实际应用 例1 已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移 动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米 处,求B城市处于危险区内的时间. 思路分析:将实际应用问题转化为直线与圆相交求弦长问题. 解:如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 射线AC为xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动, 则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为 探究一探究二思想方法 反思感悟与圆有关的最值问题的求解策略 1.解决直线

4、与圆的方程的实际应用题的步骤: 2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则: (1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴. (2)常选特殊点作为直角坐标系的原点. (3)尽量使已知点位于坐标轴上. 探究一探究二思想方法 变式训练变式训练一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预 报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不 改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如 图),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆 的

5、方程为x2+y2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置 所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为 改变航线,不会受到台风的影响. 探究一探究二思想方法 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 例2 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求: (2)y-x的最大值和最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 思路分析:本题可将 和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问 题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解. 探究一探究二思想方法 解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以 为半径 的圆

6、. 易知圆心(2,0)到y=kx的距离等于半径时,直线与圆相切,斜率取得 最大、最小值. (2)设y-x=b,则y=x+b,由点到直线的距离公式, 探究一探究二思想方法 (3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,由平面几何知识 知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 反思感悟与圆有关的最值问题的求解策略 求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,常常根据式子的结构特 征,寻找它的几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其 中构造斜率、截距、距离是最常用的方法. 探究一探究二思想方法 延伸探究延伸探究若把例2中实数x,y满足的方程改为“(x-3)2+(y-3)2=6”

7、,则 的最大值与最小值分别为. 解析:设P(x,y),则P点的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6. 探究一探究二思想方法 函数思想解决与圆有关的最值问题 典例若动点(x,y)在圆x2+y2-4x=0上,求3x2+4y2的最大值. 解圆的方程可化为(x-2)2+y2=4, 所以y2=4x-x2,x0,4. 所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64.因为x0,4, 所以当x=4时,3x2+4y2取得最大值48. 防范措施用函数思想求与圆有关的最值问题时,一定注意不能忽 略圆上的点(x,y)中的x,y的限制条件,也就是说要注意自变量的取值 范围. 1234 1.将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90后与圆x2+(y-1)2=r2(r0)相 切,则r的值是() 解析:将x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90后,所得直线的方程为x- 答案:B 1234 答案:D 1234 3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小 路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外