2019届高中数学 第三章 直线与方程 3.3.1 两条直线的交点坐标课件 新人教A版必修2

1、3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 两条直线的交点 1.直线上的点与其方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么 样的关系? 提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上 的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直 线上的点的坐标. 2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标? 提示:只需写出这两条直线的方程,然后联立方程组求解. 3.解下列方程组,各方程组解的情况与对应两直线的位置关系具 有怎样的对应关系? 方程组(2)无解,对应两直线平行;方程组(3)有无数组解,对应两直线 重合.

2、4.问题3中的结论是不是具有一般性?如果是的话,该如何表述? 提示:是.已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为 0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0). 则两直线相交,交点坐标为(x0,y0);有无数组解,则两直线重合;无 解,则两直线平行. 5.填表:直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为 0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示: 6.做一做:在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为() 答案:C 7.做一做: 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)

3、若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直 线相交. () (2)若两条直线的斜率都存在且不等,则两条直线相交. () (3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交. () 答案:(1)(2)(3) 探究一探究二探究三思想方法 两条直线的交点问题两条直线的交点问题 例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数 判断两直线位置是否

4、相交. 探究一探究二探究三思想方法 这表明直线l1和l2没有公共点,故l1l2. 反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用 涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问 题. 探究一探究二探究三思想方法 变式训练变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第 四象限,则a的取值范围是. 探究一探究二探究三思想方法 过两直线交点的直线系方程过两直线交点的直线系方程 例2 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的 直线方程; (2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点, 试求该定点.

5、 思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,再将 x=1,y=0代入求出,即得所求直线方程. (2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0. 探究一探究二探究三思想方法 解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0. 即x+y-1=0. (2)由(a-1)x-y+2a-1=0, 得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线 x+2=0的交点. 所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1:A1x+B1y

6、+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程 可写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当 直线的方程写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线 l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点. 探究一探究二探究三思想方法 变式训练变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x- y-1=0的交点,则直线l的方程为 () A.2x+y=0B.2x-y=0 C.x+2y=0D.x-2y=0 (法二)设直线l的方程为2x+3y+8+(x-y-1)=0,因其过原点,所

7、以 8+(-)=0,=8,直线l的方程为2x-y=0. 答案:B 探究一探究二探究三思想方法 对称问题对称问题 例3 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点 B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程. 思路分析:求点A关于直线l的对称点A求反射光线所在直线的 方程求入射光线与反射光线的交点坐标求入射光线所在的直 线方程 探究一探究二探究三思想方法 解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0,y0), 解之,得A(-4,-3). 由于反射光线经过点A(-4,-3)和B(1,1), 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟点关于直线的对称点的求法 点P(x

8、,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系 探究一探究二探究三思想方法 直线恒过定点问题 典例求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 证明方法一:(m-1)x+(2m-1)y=m-5. 令m=1,得y=-4; 令m=12,得x=9; 如果上述结论成立的话,定点为(9,-4); 假设经过该定点的直线斜率为k,那么经过该定点的直线方程为 y+4=k(x-9), 化简可得-kx+y=-9k-4. 探究一探究二探究三思想方法 下面只要证明式和式相同就可以了; 故式和式相同,即式和式相同; 故上述结论成立. 方法二:将原方程按m的降幂排列,整

9、理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0, 此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项 系数与常数项均等于零,故有 m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4). 探究一探究二探究三思想方法 方法技巧解决含参数的直线恒过定点问题,常用的方法 (1)直接法,将已知方程化为点斜式、斜截式或截距式方程,进而 得定点; (2)特殊法,取出直线系中两条特殊的直线,它们的交点就是所有 直线都过的定点; (3)任意法,任取直线系中的两条直线,它们的交点就是所有直线 都过的定点; (4)方程法,将已知方程整理成关于变数的方程,由于直线恒过定 点,则关于变数的方程应有无穷多解,进而取出定点.

10、如整理成 f(x)+ag(x)=0,而该方程有无穷多解,则有f(x)=0且g(x)=0,其解就是 所有直线恒过的定点. 1234 1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是 () A.(-9,-10)B.(-9,10) C.(9,10)D.(9,-10) 答案:B 1234 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为() A.-24B.24 C.6D.6 解析:直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点 坐标为(a,0), 答案:A 1234 3.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的 取值范围