2019届高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课件 新人教A版必修2

1、1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积 一二三 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示,则相应几何体的表 面积与其展开图的面积有何关系? 提示:相等. 一二三 2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱 台的表面积? 提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形 的面积,然后求和即可. 一二三 3.填空: 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开 图的面积. 4.做一做: 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的 画“”. (1)多

2、面体的表面积等于各个面的面积之和.() (2)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面 周长.() 答案:(1)(2) 一二三 二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱 的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2rl,S圆柱表 =2r(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长. 一二三 2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积? 提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长 等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为 2rl=rl, S圆锥侧=rl,S

3、圆锥表=r(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长. 一二三 3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 一二三 4.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? 提示:如图所示. 一二三 5.关于旋转体的表面积,请完成下表: 一二三 6.做一做: (1)圆柱OO的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为. (2)如图,圆锥的底面半径为1,高为 ,则圆锥的侧面积为. (3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等 于. 答案:(1)2432(2)2(3)67 一二三 三、柱体、锥体、台体的体积 1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示?根据这些体积公

4、 式,推测柱体的体积计算公式如何? 提示:V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=r2h,根据这些体积公式可知:设 柱体的底面面积为S,高为h,则柱体的体积公式为V柱体=Sh. 2.圆锥的体积公式如何表示?根据圆锥的体积公式,推测锥体的体 积计算公式如何? 一二三 3.台体的上底面积S,下底面积S,高h,则台体的体积是怎样的?圆 台的体积公式如何用上、下底面半径及高表示? 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系怎么样? 提示:如图. 一二三 5.做一做:(1)如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-ABCD,上 面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的 体积为

5、. V=V正方体+VS-ABCD=12. 答案:12 (2)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积 为. 答案:28 探究一探究二探究三思维辨析 空间几何体的表面积空间几何体的表面积 例1如图,已知直角梯形ABCD,BCAD,ABC=90, AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积. 解:以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径 是4,下底半径是16,母线DC= =13.故该几何体的表 面积为(4+16)13+42+162=532. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟反思感悟空间几何体表面积的求解方法 1.解决圆柱、

6、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截 面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公 式求解即可,基本步骤如下: (1)得到空间几何体的平面展开图; (2)依次求出各个平面图形的面积; (3)将各平面图形的面积相加. 2.正棱锥及正棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面 的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解. 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴 旋转一周所得几何体的表面积. 解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组 合体,如图. 其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=

7、4,故该几何体的 表面积为254+52+513=130. 探究一探究二探究三思维辨析 空间几何体的体积空间几何体的体积 例2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体 分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2V1. (1)求V1,V2以及V1V2; (2)求A到平面A1BD的距离d. 思路分析:(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特 征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱 锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解. 探究一探究二探究三思维辨析 解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱 锥A1-ABD,

8、 其中底面ABD是腰长为a的等腰直角三角形, 所以V1V2=15. 探究一探究二探究三思维辨析 (2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在A1BD 中,A1B=BD=A1D= a, 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟求几何体体积的常用方法 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究延伸探究若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几 何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论. 解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将 长方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中 底面ABD是两直角边分别为a,b的

9、直角三角形,其面积 探究一探究二探究三思维辨析 与三视图有关的表面积和体积与三视图有关的表面积和体积 例3 (1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为 () A.72 B.66C.60 D.30 探究一探究二探究三思维辨析 (2)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三 视图如图所示,则该几何体的体积是() 探究一探究二探究三思维辨析 解析:(1)由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直 角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所 探究一探究二探究三思维辨析 (2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD

10、的中 点,则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后 剩余的部分. 答案:(1)A(2)C 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟表面积与体积的计算方法 已知几何体的三视图求其表面积或体积时,先由三视图还原作出 直观图,再根据三视图中所给数据,得到直观图中计算表面积和体 积所需要的有关数据,最后利用表面积或体积公式求解. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱垂直于 底面,它的三视图如图所示,AA1=3,则这个三棱柱的表面积和体积 分别为 . 探究一探究二探究三思维辨析 解析:直观图如图,由题意可知, 探究一探究二

11、探究三思维辨析 一题多变求正棱台的体积 典例已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面积是 780 cm2.求正四棱台的体积. 思路分析可以尝试借助四棱台内的直角梯形,求出棱台底面积和 高,从而求出体积. 探究一探究二探究三思维辨析 解:如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10 cm,AB=20 cm. 取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分 别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形. 方法总结 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的 高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量 之

12、间的关系. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别 为2 cm和4 cm,侧棱长为2 cm,求该棱台的体积.” 解:如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面边长分别为2 cm和4 cm, 1234 1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为() A.48B.64 C.16D.96 解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64. 答案:B 1234 2.(2018全国1,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过 直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆 柱的表面积为() 解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面