学而思小升初培优六数论综合学生版

1、小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成 6个零 件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可 完成15个零件.要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？2甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数 的最小公倍数是126，那么甲数是多少？枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类）， 然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的 分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题 的难度。数论中最常用的分类方法

2、有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值 的大小分类等。【例1】求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的 数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以 x2 y2 z210。从而1 x 3，0 y 3，0 z 3。所求三位数必在以下数中： 不难验证只有100，101两个数符合要求。【例2】写出12个都是合数的连续自然数。【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个 连续的合数：90，91，92

3、，93，94，95，96。我们把筛选法继续运 用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127 之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。（法二）如果设这12个数分别是a，a 1，a 2，L，a 11，如果a 2 能被2到13中任意一个数整除，那么a，a 1，a 2，L，a 11，能分 别被2、3、4, L ,13整除，所以，只要取a 13!即可得到符合条件的12 个数。（法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算13!非常困难，所以应该选取 折中的方法，设这12个数分别是a 5，a

4、4，L ，a 4，a 5，a 6。 所以只要使a能被2到6的所有整数整除，并且保证a 1和a 1都是合 数即可，通过试验可得到a 120即是符合条件的值。【例3】如图，有三张卡片，在它们上面分别写着 1，2，3。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位 数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）【分析】因为这三个数字的和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因 为12 3，根据同样的道理，用1 , 2组成的两位数也能被3整除，因此 也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有 13，31，23，32

5、这四个了。 其中13，31，23都是素数。最后一位数素数只有2，3。【拓展练习】a、b和c都是两位数，a、b的个位分别是7和5，c的十位是1,如果它们满足等式ab c 2005，则a b c 。对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式， 则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：1. 十进制表示形式：N an10n an 110n 1 L ao100 ；2. 二进制表示形式：N an 2n an 12n 1 L a。2 ；3. 带余形式：a bq r ；（奇数可以表示为2n 1，偶数表示为2n，其中n为整数）4. 标准分解式：p： p；2L p：k ；5. 2的乘方与奇数

6、之积式：n 2mt ；（其中t为奇数）。6. 最大公约数与系数之积式：m dg， n dn1，其中m,n d， gg 1。【例4】求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方.【分析】设所求的四位数为 x aabb，则x 1000a 100a 10b b 11 100a b，其 中0 a 9，0 b 9。可见平方数x被11整除，从而x被112整除.因此， 数100a b 99a a b能被11整除，于是a b能被11整除.但 0 a b 18，以a b 11 .于是x 112 9a 1，由此可知9a 1是某个 自然数的平方.对a 1，2，L，9逐一检验，易知仅

7、a 7时，9a 1为 平方数，故所求的四位数是7744 882。【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27,则满足条件的两位数共有。【例5】求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。【分析】设n2满足条件，令n2 100a2 b，其中0 b 100。于是n 100，即 n 10a 1。因此 b n2 100a220a 1，由此得 20a 1 100，所以 a 4。经验算，仅当a 4时，n 41满足条件。若n 41则n2402422 402 100。因此，满足条件的最大的完全平方数为2411681 。

8、【例6】 从自然数1，2，3，L，1000中，最多可取出多少个数使得所取出 的数中任意三个数之和能被18整除？【分析】设a， b， c， d是所取出的数中的任意4个数，则a b c 18m，a b d 18n，其中m，n是自然数。于是c d 18 m n。上式说明所 取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得 的余数均相同。设这个余数为r，则a 18a1 r， b 180 r， c 18c1 r， 其中 a1 , bi，g 是整数。于是 a b c 18 a1 b1 ci 3r 。因为 18 | a b c ， 所以 18|3r，即 6|r，推知 r 0 , 6 , 1

9、2。因为 1000 55 18 10 ,所以， 从1 , 2，1000中可取6 , 24 , 42 , L , 996共56个数，它们中的 任意3个数之和能被18整除。【例7】 如果a 2b被5除余数为2, 3a b被5除所得的余数为3,求证：a b能被5整除。（a、b都是自然数）【分析】（法一）设a 2b 5k 2, 3a b 514 ,10l 5k 8a 解方程组a 2b 5k 2得到7 ，所以a b 151 10k 5能被3a b 5l 3,3 15k 5l7b 5整除。（法二）由题目条件2 3a b 3 a 2b能被5整除，即3a 8b能被5整除，继而得到3a 3b能被5整除，所以a

10、b能被5整除。【拓展练习1】如果2a 3b是5的倍数，证明：2b 3a也是5的倍数。（a、b都 是自然数）【拓展练习2】如果3a b是7的倍数，求证2b a也是7的倍数。（a、b都是 自然数）【拓展练习3】如果a b c是5的倍数，2a 3b 4c也是5的倍数，求证a c是5 的倍数。（a、b、c都是自然数）【例8】有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商（1）与余数（0）之 和都相等，这样的数最小可能是多少。A 15 aXa( X a)A 15a(Xa) 14a X【分析】A 17 bXb( X b)A 17b(Xb)16bXA 19 cXc( X c)A 19c(Xc)18cX14a

11、16b18c72 | aa至少为72 ,A15aXa1572Xa1080Xa14a16b18c63| bb至少为63 ,A17bXb1763Xb1071Xb14a16b18c56 |cc至少为56,A19cXc1956Xc1054Xc最小为1081。如何计算一个自然数的约数个数：a将该自然数用标准分解式表达：P1a p? L pj ；b将该自然数的约数用标准分解式表达：P；P；2L p：k，则匕a1, b2 a2 ,L , b a.；c对于任意的b可以取值o到a这ai 1个整数；_d根据乘法原理不同的约数有 1）G 1）.血 1）个。【例9】在1到600中，恰好有3个约数的数有几个？【分析】3

12、只能表示为2 1 ,所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有2个，注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方，2 ,3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23这9个数的平方数在1到600之间，共 有9个符合要求。【拓展练习】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例10】两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16 52 32 ,16就是一个“智慧数” 在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智 慧数”是哪个数？并请你说明理由。【分析】显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k 1 k 1 2 k2，都是“智慧 数”。4k k 1 2 k

13、 1 2，可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不 是“智慧数”，由于x2 y2= x y x y （其中x、y N ），当x， y奇 偶性相同时，x y x y被4整除。当x，y奇偶性相异时，x y x y 为奇数，所以形如4k 2的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自 然数中只有3是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数”， 由于1989 3 663，所以2656 4 664是第1990个“智慧数”。【拓展练习1】如果自然数n使得2n 1和3n 1都恰好是平方数，试问5n 3能否 是一个素数？【拓展练习2】将1表示成两个自然数的倒数之和，有多少中表示方法？请给出6所有的答案。

14、13， 假设n是自然数，d是2n2的正约数证明：n2 d不是完全平方。【分析】设2n2 kd， k是正整数，如果n2 d是整数x的平方，那么k2x2 k2 n2 d n2 k2 2k但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平 方，而由k2 k2 2k k 1 2得出k2 2k不是平方数。14，设正整数 d不等于2、5、13。求证：2d 1、5d 1、13d 1这三个数中至少有一个不是完全平方数。【分析】2d 1、5d 1、13d 1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可.用反证法，设2d 1 x25d 1 y213d 1 z2其中x、y、z是正整数.由式知，x是奇数，不妨设x 2n 1。代入

15、有2d 1 2n 1 2即d 2n2 2n 1 式说明d也是奇数.于是由、知y、z是偶数，设y 2 p , z 2q，代入、相减后除以4有2d q2 p2 q p q p。 因2d是偶数，即q2 p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而 q p和q p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数.这与d是奇 数相矛盾，故命题正确。15，将95写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。【分析】设这个自然数可以表示为k个连续自然数和的形式，如果k是奇数，那 么一定存在中间数，即为p，则这k个连续自然数的和为kp，即为一个 奇数和一个自然数的乘积形式，如果k是偶

16、数，那么存在两个中间的数， 即为q，q 1，则这k个联系自然数的和为-2q 1 ， 2q 1是奇数，k2为偶数，所以k为整数，也是奇数与一个自然数的乘积形式。95 5 19 ,2其大于1的奇约数有5, 19 , 95这三个，如果有奇数个连续自然数相加：当k 5时，p 19，即5个连续的自然数，中间数为19，有17，18，19，20，21 ；当k 19或95时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。如果有偶数个连续自然数相加：当k 1时，2q 1 95，即2个自然数相加，中间两个数中较小的数2是 47，有 47，48 ；当k 5时，2q 1 19，即10个自然数相加，中间两数中较小的是9，2有 5， 6， L ， 14 ；当k 19或95时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。2所以符合条件的自然数一共有3种。巅峰练习：1. 自然数n的数字和用S