小升初奥数专题

1、第八讲比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题8.1 比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是 3 : 2,乙的长与宽之比是 7 : 5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲的悅与宽分别是彳与彳，乙的长与宽分别是右与春.甲与乙的

2、面积之比是答：甲与乙的面积之比是864： 875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线 CE把梯形分成甲、乙两部分, 它们的面积之比是 10 : 7.求上底AB与下底CD的长度之比解：因为E是中点，三角形 CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比 AB： CD=E角形ABC的面积：三角形ADC的面积=(10-7 )：( 7X 2) = 3 : 14.答：AB： CD=3： 14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点例3大、中、小三种杯子，2大

3、杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2 大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是 5 : 2=10 : 4,中杯与小杯容量之比是 4 : 3,大杯、中杯与小杯容量之比是10 ： 4 ： 3.=(10X 2+4X 3+3X 4)：( 10 X 5+4X 4+3X 3)=44 : 75.答：两者容量之比是 44 : 75.把5 : 2与4 : 3这两个比合在一起，成为三样东西之比10 : 4 : 3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲：乙=3 : 5，乙：丙=7 : 4,3 : 5=3X 7 : 5X7=21 : 35,7 : 4=7X

4、 5 : 4X5=35 : 20,甲：乙：丙=21 : 35 : 20.例4甲、乙丙三人同去商场购物甲花钱数的+竽于乙花钱数的乙花钱数的;等于丙花钱数的，结果丙比甲多花钱阳元，问他们三人共4 )花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系,甲数X訂乙数q 即甲数：乙数二+3 4乙数x-=丙数X于 即，乙数；丙数二扌=16 ： 21.连比后=32 : 48 : 63.答：甲、乙、丙三人共花了 429元.甲：乙：丙=2 X 16 : 3X 16 : 3X 2例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是& :久甲钉子的彳钉入墙内，甲与両钉入墙内的部分之比于：4，而它们留在墙外的部分一样长 问：甲、

5、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的部分是五X-2.2甲钉入墙内的部分是6X = 4s丙钉入墙内的部分为血满足比例式4:x=5 : 4.16因此丙的长度是芈+2,乙与丙的长度之比是5 : Cy + 2) =25 : 26,而甲与乙的长度之比是 6 : 5=30 : 25.甲：乙：丙=30 : 25 : 26.设甲的长度是h也就是把甲分成&份，以它的2作为长度单位这样便6于利用已知条件6： 5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段 例6甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千

6、克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为 1，因此平均价是- =27 5 （兀）.22 304 33答：这些糖果每千克平均价是 27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易最好的计算方法是，用22 , 30， 33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母，就有：333015+H + 10= 27 5 （元）事实上，有稍简捷的解题思路解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是 330,立即可求出，所买数量之比是甲：乙：丙 =15： 11 : 10.平均数是（15+11 + 10）+ 3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是交X j|=27 5 （

7、元）一下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量, 如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量例7 一个分数，分子与分母之和是 100.如果分子加23,分母加32,新的分数约分后是|,原来的分数是多少？解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比 2 : 3.因此2井子二（100 + 23 + 32）X62分母二（lQO + 幻 + 艾）X = 9?.原耒分数是芸396?毎原来分数是薯例8加工一个零件，甲需 3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加 工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同

8、时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是33.5-=28 : 24 : 214他们分别需要完成的工作量是甲完成750（个）24乙完成吧Xr丙诃0个）21丙完成1吋时个所需时间是700 X 3=2100 分钟）=35 小时.答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14 : 11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多各组男会员与女会员人数之比是：甲：12 : 13,乙：5 : 3,丙：2 : 1 ,那

9、么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100十2=50 （人）.全体男会员人数是肮汇詁+厂覽（人12甲组男会庚人数是口 X榕看=24 （人）乙组男会员占全俎人数的厶=2 2面组男会员占全组人数的缶二|孚.因此丙组总如杲丙组男会员也是:占于两组男会员只有50X = 人数是25025CA）.9向组男会员人数是18X |=12 （人）答：丙组有12名男会员上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔的脚数”是鸡的脚数是二总脚数是艾，杯总头数是刘JU例10 一段路程分成上坡、 平路、下坡三段，各段路程长之比依次是 1 : 2 : 3.小龙走各 段路程所用时间之比依次是 4 : 5 :

10、 6.已知他上坡时速度为每小时 3千米，路程全长50千米. 问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比上坡、平路、下坡的速度之比是123 一 A I4 56平路速度是3X下坡速度是3x2 53 6卜善（千米卜时 = $ （千氷/小时）.走完全程所用时间50X 150X 2 24 50X3 上亠|_ 1+231+2+3 5 1+2+3100 + 1254*15036 =1点小时）答：小龙走完全程用了 10小时25分.上面是通常思路下解题.1 : 2 : 3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事事实上，灵活运用比例有简捷解法解二：全程长

11、是上坡这一段长的（1+2+3） =6 （倍）.如果上坡用的时间是4份全程都是上坡*所用时间是4X6 （份）,具体时间是三（力、时）设小龙走完全程用 x小时.可列出比例式r : y-4+卄麻）：24仔姜吨小时）.8.2比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容例11甲、乙两同学的分数比是5 : 4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5： 7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化 .原来要分成5+4=9份，变化后要分成 5+7=12 份.如何把这两种分法统一起来？这是

12、解题的关键.9与12的最小公倍数是 36,我们让变化前后都按36份来算.5 : 4= （5 X 4） ：（ 4X 4） =20 : 16.5 : 7= （5 X 3） ：（ 7X 3） =15 : 21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得 22.5 - 5X 20=90 （分），乙得 22.5 - 5 X 16=72 （分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程解二：设原先甲的得分是 5x,那么乙的得分是 4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5 ） ：（ 4X+22.5 ） =5 : 7

13、即 5 （4x+22.5 ） =7 （ 5x-22.5 ）15x=12X 22.5x=18.甲原先得分18X 5=90 （分），乙得18 X 4=72 （分）例由有一些球,其中红球占事 当再放入客个红球后，红球占总球数的寻，问现在并有多少球？解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5 ：（ 14-5）=5 : 9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1 ：（ 3-1 ） =1 : 2=4.5 : 9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是8X2 = 224个）答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1 : 2写成4.5 : 9

14、,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）： 2x=5 : 9.例13张家与李家的收入钱数之比是8 : 5,开支的钱数之比是 8 : 3,结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8 : 5,那么结余的钱数之比也应是8 : 5.张家结余240元，李家应结余 x元.有240 : x=8 : 5, x=150 （元）实际上李家结余 270元，比150元多120元.这就是8 : 5中5份与8 : 3中3份的差， 每份是120-（ 5-3 ） =60.（元）.因此可求出张家李家开支 60 x S=4S060

15、 X 3=180收入 480+24X72018(X270=450答：张家收入 720元，李家收入 450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一 样多.我们画出一个示意图:.&份 X3-张X諮240 X -J一5X3李 X3 h张家开支的3倍是（8份-240 ）X 3.李家开支的8倍是（5份-270 ）X 8.从图上可以看出5X 8-8 X 3=16份，相当于270 X 8-240 X 3=1440 （元）.因此每份是1440* 16=90 （元）.张家收入是 90X 8=720 （元），李家收入是 90 X 5=450 （元）本题也可以列出比例式：（8

16、X-240 ）：（ 5X-270 ） =8 : 3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术 味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8 : 5,每一数都减少 34后，A是B的2倍，求这两个数. 解：减少相同的数34,因此未减时，与减了以后， A与B两数之差并没有变，解题时要 充分利用这一点.8 : 5,就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2 : 1,两者相 差1.将前项与后项都乘以 3，即2 ： 1=6 ： 3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2 （份） 或5-3=2 （份）.因此，每份是34 : 2=1

17、7.A数是 17X 8=136, B数是 17X 5=85.答：A B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2 : 1，改写成8 : 4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4 : 3,小明又买来15张.小强用掉了 8张，现有的图画纸之比是 5 : 2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7, 5+2=7, 15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成 7份，总数多了 7张，因此,新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1 X 4=11 （张）.小明原有图画纸11X 5-15=40 （

18、张），小强原有图画纸11 X 2+8=30 （张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4 : 3=20 : 155 : 2=20 : 8.假设小强也买15X1= （张）,那么变化后的比仍应是20 15.4但现在是20 : 8,因此这个比的每一份是+ 8) +(15-8)小明现有20xH55 （张），原55-15 = 40 （张） 斗小雀现有gx 7= 22张,原有22 +呂=了0 （张）当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法解三：设原来小明有4 “份”，小强有3 “份”图画纸把小明现有

19、的图画纸张数乘 2,小强现有的图画纸张数乘 5，所得到的两个结果相等我们可以画出如下示意图:一一3tX5从图上可以看出，3X 5-4 X 2=7 （份）相当于图画纸 15X 2+8 X 5=70 （张）.因此每份是10张，原来小明有 40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题用比例式的方程求解没有多大差别用算术方法,却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法， 也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握例13的解一，也是一种通用的方法“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用 从课外的角度，我们更应启发小同学

20、善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃 这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍问这两支蜡烛点了多少时间？谢乩鈿蜡烛长度是1,每小时，粗蜡烛点去右鈿蜡烛点去扌我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去?问过多长时间两支蜡烛长度相等91现在两者相关是小），每小时能缩小差距（扌誉.因此两者相等需要时间是 1）-=4 （小时）4 JJ答：这两支蜡烛点了 3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，

21、思考就简捷了 解这类问题这是常用的技巧再请看一个稍复杂的例子例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3倍多2只.每次从箱子里取出 7 只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解:因为红球是白球的 3倍多2 只,每次取15 只,最后剩下53 只,所以对3倍的白球， 每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7 X 3 = 21只，最后 应剩 3 X 3= 9 只.因此.共取了（ 51- 3 X 3）-（ 7 X 3-15 ） = 7 （次）.红球有 15 X 7 + 53

22、= 158 （只）.白球有7 X 7 + 3= 52 （只）.原来红球比白球多 158-52 = 106 （只）.8.3比例的其他问题比例关系可以用比袤示，也可臥用分数袤示，例姒甲比乙的彳多V，这里必须用分数来说，而不能用比 .实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7 ）:乙=2 : 3.因此，有些分数问题，就是比例问题 .例迪有一些画片，小明取了其中的+还多那 小强取了剩下的善再加33张，他们两人取的画片一样多 问这些画片有多少张？1 2解 i殳这些画片是整体l水明取走扌加弓张，剩下的是彳少弓张.取剩下 的？就是取9 1:?1.可*亍=亍 少弓X亍=1 （张）一小强取到彳加（33-1）张.1 2

23、因为两人取的一样多.与|的差.相当于（右T）与弓的差E1 2这些画片有却+=261 Gp答：这些画片有261张.例19 一个容器内贮有一些水.现在倒掉其中3的水，剩下的水和容器 共重7 2千克再倒掉剩下水的|业时水与容器的重量，是原来第一次倒 掉水之前的右问原来容器中有多少干克的水？解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是（1-） X （1.1）= 、*3,21按照题目条件.善的水加一个容器的重量与+的木加害的容器重量一Q 1JJ样重，就有I容器的重量斗茶务容器重量=P因此原有水的重量是72+ （#+*） -8 4 （千克）答：容器中原来有 8.4千克水.例18和例19,通常在小学数学中，叫做

24、分数应用题 “比”有前项和后项，当两项合 在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算 这就是把比（或除法）写成分数 的好处下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些例20有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个一为了使A堆中黑子占A堆的B堆中黑子占|頂从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？W=要E堆中黑子占斗即黑子与白子之比是齐1先从E堆中拿岀黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100 ）： 100 = 3 : 1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3: 1的比.现在A堆已有黑子350 + 100 = 450个），

25、与已有白子 500个，相差刃个要黑子占就星两种棋子一样多从B堆再拿出黑子与白子，要相差 50个，又要符合3： 1这个比，要拿出白子数是50+（ 3-1 ）= 25 （个）.再要拿出黑子数是 25 X 3= 75 （个）.答：从B堆拿出黑子175个，白子25个.例劄 高中学生的人教是初中学生人数的学 髙中毕业生的人数是初中612毕业拄人数的話，高r初屮毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是灾0人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图:初中 |一5oA ；1q高中百如人I6-5 = 1,相当于图中相差 17-12 = 5 （份），初中总人数是 5 X 6 = 30份，因此，每份 人数是

26、520+（ 30-17 ） = 40 （人）.因此，高、初中毕业生共有40X（ 17+12） = 1160 （人）.答：高、初中毕业生共 1160人.解二 用;乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可计算出每份是（520-520X - （17X j- 12）= 40人）6 6例21与例14是完全一样的问题， 解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？） 解 二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便例18, 19, 20, 21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关 键还是在于灵活运用例泄张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的召 王用了自32己钱数的

27、屮 李用了自己钱数的彳，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？5 -34 -33-2= 二 =3 -53 -42 - 3解：设钢笔的价格是1.张有的钱数是1十王有的钱数是1-李有的钱数是这样就可以求出，钢笔价格是5 43ios-1- C ）332+ 9= 108-=24元）张剩下的钱数是24 X （亍亠1）二 1& （兀）、李剩下的钱数24 X （|-1） = 12 （元）,16+ 12= 28 （元）.答：张、李两人剩下的钱共 28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算解分数应用题中，设

28、定统一的计 算单位是常用的解题技巧作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”例23头猪卖屮师 一头山羊卖1?艮币，一头绵羊卖卜艮币.有人用100个银币买了 100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(17071783)提出的问题.每头牲畜的平均价是1.猪每头春比1多舀 山羊每头右比1 多!而绵羊每头*比1少:和多，要用杯少来补，才达到均价龙土： 冷：空头猪要5头绵羊来补土：异5 決山羊要2头绵羊来补我们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B 组的数，要使(1 + 5 )X A +( 3+ 2 )X B = 100,或简写成6A + 5B= 100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例 17,很明显，A必定是5的整数倍.A = 5, B = 4 , 6 X 5+ 5 X 4= 50, 50是100的约数，符合要求A= 5,猪5头，