实验5常微分方程的数值解法

1、 课程 名称 计算方法 实验项目 名称 常微分方程的数值解法 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导 教师 胡小兵 成 绩 1.实验目的： (1) 学会四阶龙格-库塔方法的使用 (2) 设计出相应的算法，编制相应的函数子程序 (3) 会用这些函数解决实际问题 2实验内容 (1) 分别取 h=0.05，N=10 ； h=0.025, N=20 ； h=0.01，N=50，用四阶龙格-库塔方法求解微分 方程初值 问题：y -50y，y(0)=10 (2) 某跳伞者在t=0时刻从飞机上跳出，假设初始时刻的垂直速度为0,且跳伞者垂直下落。 已知空气阻力为 F=cv2，其中c为常数，v为垂直速

2、度，向下方方向为正。写出此跳伞者的速度满足 的微分方程；若此跳伞者的质量为 M=70kg,且已知c=0.27kg/m，利用四阶龙格-库塔公式计算t=20s 的速度(取h=0.1s ) 3实验原理 (1) format long; F=50*y; a=0; b=0.5; h=0.01; n=(b-a)/h; X=a:h:b; Y=zeros(1, n+1); Y(1)=10; for i=1: n x=X(i); y=Y(i); K1=h*eval(F); x=x+h/2; y=y+K1/2; K2=h*eval(F); x=x; y=Y(i)+K2/2; K3=h*eval(F); x=X(i

3、)+h; y=Y(i)+K3; K4=h*eval(F); Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; end %准确解 temp=; f=dsolve(Dy=50*y,y(0)=10,x); df=zeros(1, n+1); for i=1: n+1 temp=subs(f,x,X(i); df(i)=double(vpa(temp); end disp(xRK准确解); disp(X,Y,df); %pic figure; plot(X,df,k*,X,Y ，-r); grid on; title（四阶经典R-K法解常微分方程）; legend（准确解,四阶经典 R

4、-K法）; 3、实验结果及分析 0 0.00000000010000 0.00000000010000 0.00000000000050 0.00000000108568 0.00000000121825 0. 00000000000100 0.30000001178695 0.00000001434132 0.00000000000150 0.00000012796319 0.00000018080424 0.Q0000000000200 0.00000138932126 0.00000220264653 0.00000000000260 0.00001508364259 0.0000268

5、3372865 (L Q0000000000300 Q,00016375856521 0.0003259013725 0.0000000000036D (L 00177788921450 0,00398247643976 0.00000000000400 0,01930213576884 0,04851351954098 山 00000000000450 0.20955886463619 0.59105220630233 (1) 1 h=0 0500000000000500 2. 27513256944S59 7.20048393373359 ； ； 0 0.00000000010000 0.

6、00000000010000 0.00000000000026 0.00000000034585 0.00000000034903 0.00000000000050 0.00000000119612 0.00000000121325 0.00000000000075 0.30000000413677 0.00000000425211 0.00000000000100 0.00000001430702 0.00000001484132 0. 00000000000300 0.00029235151422 0.00032690173726 0.00000000000325 0.0010128258

7、1798 0.00114099917S38 0. 000001000000360 0. 00350285413612 0.00398247S439?a 0.00000000000375 0. 012114S0734330 0.01390021557545 cccu 0. 00000000000400 0.04189832217412 0.34851651954098 2.h=0.025 0 O.ODOOOOOOOODOIO 0. 00000000000020 0.00000000000030 0.00000000000040 0,00000000000050 0. 00000000013000

8、 0. 00000000016484 0. 00000000027173 0.00000000044794 0. 00000000073840 0.00000000121720 0. 00000000010000 0. 00000000016487 0.00000000027183 0. 00000000044817 0. 00000000073891 0.00000000121825 0.00000000000450 0.00000000000460 0.00000000000470 0.00000000000430 0,00000000000490 3h=001 时 0. 00000000

9、000500 0.58649167820372 0.93679487573894 1.59370092S05S33 2.62711637359616 4.33063F14709992 7.1387S467217252 0.59105220630233 0. 974430M462489 1. 60664647206225 2.64891221298435 4. 36731790976464 7.20043993373859 (2)dv/dt=Mg-cv2 x 0 0.10000000000000 0.20000000000000 2.40000000000000 2.50000000000000

10、 4.30000000000000 4.40000000000000 5.70000000000000 5.80000000000000 6.80000000000000 6.90000000000000 7.90000000000000 8.00000000000000 9.30000000000000 9.40000000000000 11.10000000000000 11.20000000000000 R-K 0 0.99987144716508 1.99897206046570 22.36755004004259 23.16756935550245 35.04076235589000

11、 35.56007546772376 41.10978904603041 41.45244872371784 44.32804778430844 44.56602894632287 46.54050880231677 46.70212238522891 48.34520236041540 48.44187323789263 49.63263059496644 49.68152055067889 准确解 0 0.99987144840507 1.99897206295078 22.36755008131588 23.16756939922576 35.04076244476733 35.5600

12、7555873195 41.10978915610126 41.45244883451885 44.32804789677157 44.56602905843579 46.54050890691594 46.70212248874960 48.34520244684039 48.44187332286382 49.63263065545255 49.68152060981489 13.20000000000000 13.30000000000000 15.60000000000000 15.70000000000000 17.80000000000000 17.90000000000000 5

13、0.35033313621035 50.37206243693384 50.69579744120519 50.70431935408661 50.82395836975145 50.82755850156396 50.35033317222925 50.37206247200511 50.69579745953047 50.70431937187844 50.82395837913675 50.82755851066043 19.90000000000000 50.87648436202023 50.87648436682914 20.00000000000000 50.8780638792

14、5920 50.87806388391471 部分结果省略 四阶经R-K法解常撒分方程 0246810121416 1B 20 在最终得出的图形中，星号和红线拟合，即说明我们所编辑的程序和方法可行。 教师签名 年 月曰 出师表 两汉：诸葛亮 先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣 不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光 先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。 宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其 刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。 侍

15、中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚 以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。 将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督： 愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。 亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也； 亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。 先帝在时, 每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣， 愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也 PF 臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顾臣于草庐之中，咨

16、臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于 败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。 先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之 明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝， 攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽 忠言，则攸之、祎、允之任也。 愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责 攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。 臣不胜受恩感激。 今当远离，临表涕零，不知所言。 出师表 两汉：

17、诸葛亮 先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣 不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光 先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。 宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其 刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。 侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚 以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。 腹有诗书气自华 将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督： 愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。 亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也； 亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。 先帝在时, 每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣， 愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。 臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂