矩和协方差矩阵VIP

1、.1 第四节 矩和协方差矩阵 在数学期望一讲中，我们已经介绍了在数学期望一讲中，我们已经介绍了 矩和中心矩的概念矩和中心矩的概念. 这里再给出混合矩、混合中心矩的概念这里再给出混合矩、混合中心矩的概念. .2 协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的 二阶混合中心矩二阶混合中心矩. 称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩. 若若 )()( Lk YEYXEXE存在，存在， 称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合中心矩阶混合中心矩. )( LkY XE 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2, 存在，存在， 可见，可见， .3 协方差矩阵的定义协方差矩

2、阵的定义 将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩 )( 2 1111 XEXEc )()( 221112 XEXXEXEc 排成矩阵的形式排成矩阵的形式: )()( 112221 XEXXEXEc )( 2 2222 XEXEc 称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵. 2221 1211 cc cc 这是一个这是一个 对称矩阵对称矩阵 .4 类似定义类似定义n维随机变量维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵. 下面给出下面给出n元正态分布的概率密度的定义元正态分布的概率密度的定义. 为为(X1,X2, ,X

3、n) 的的 协方差矩阵协方差矩阵 nnnn n n ccc ccc ccc C 21 22221 11211 称矩阵称矩阵都存在都存在, i, j=1,2,n ),( jiji XXCovc若若 )()( jjii XEXXEXE .5 )()( 2 1 exp |)2( 1 1 212 XCX C n f (x1,x2, ,xn) 则称则称X服从服从n元正态分布元正态分布. 其中其中C是是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵. |C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵， 1 C X和和 是是n维列向量，维列向量， 表示表示X的转置的转置. X 设设 =(

4、X1,X2, ,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量, 若它的概率密度为若它的概率密度为 X .6 n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布 a1X1+ a2 X2+ + an Xn均服从正态分布均服从正态分布. 对一切不全为对一切不全为0的实数的实数a1,a2,an， .7 n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质 2. 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数，）的线性函数， 则则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正

5、态分布也服从多元正态分布. 这一性质称为正态变量的线性变换不变性这一性质称为正态变量的线性变换不变性. .8 n元正态分布的几条重要性质元正态分布的几条重要性质 3. 设设(X1,X2, ,Xn)服从服从n元正态分布，则元正态分布，则 “X1,X2, ,Xn相互独立相互独立” 等价于等价于 “X1,X2, ,Xn两两不相关两两不相关” .9 例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度. 故故X和和Y的联合分布为正态分布，的联合分布为正态分布，X和和Y的的 任意线性组合是正态分布任意线性组合是正态分布. 解解: XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立, Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), Var(Z) ZN(5, 32) .10 故故Z的概率密度是的概率密度是 , 23 1 )( 18 )5( 2 z Z ezf z ZN(5, 32) .11 这一讲我们介绍了协方差和相关系数这一讲我们介绍了协方差和相关系数 相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度 的一个重要的数字