理论力学-动力学：d-ch6 刚体动力学(二)C

1、作业：作业：6-116-11、思考题、思考题6-76-7 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 欧拉动力学方程是研究刚体欧拉动力学方程是研究刚体定点运动定点运动和和一般运动一般运动的基本方程的基本方程 2021-5-41 问题的引出问题的引出 应用背景应用背景 2021-5-42 问题的引出问题的引出 问题问题1 1：已知二自由度陀螺的运动，如何求轴承已知二自由度陀螺的运动，如何求轴承C、D的约束力？的约束力？ 问题问题2 2：硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？ 2021-5-43 问题的引出问题的引出 笔记本电脑笔记本电脑 硬盘的振动

2、保护硬盘的振动保护 2021-5-44 问题的引出问题的引出 计算机硬盘结构示意图计算机硬盘结构示意图 定点运动刚体动力学问题：定点运动刚体动力学问题：研究力与运动间的关系。研究力与运动间的关系。 问题：问题：用什么方法建立力与运动的关系？用什么方法建立力与运动的关系？ 2021-5-45 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 一、刚体定点运动的动量矩一、刚体定点运动的动量矩 Oxyz 为惯性参考系为惯性参考系Oxyz为随体参考系为随体参考系 刚体对刚体对O点的动量矩：点的动量矩： M MM o m mm d)()( d)(d rrrr rrvrL y x y z x z o r 上述

3、矢量在不同参考系中可分别表示为：上述矢量在不同参考系中可分别表示为： 若在若在 Oxyz 参考系中：参考系中： zyxiii izyx,);, 2 , 1(,是随时间是随时间t变化的量变化的量 若在若在 Oxyz 参考系中：参考系中： ,; , , zyx kji是随时间是随时间t变化的量变化的量 orkjirkjirzyxzyx or kjikji zyxzyx 2021-5-46 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 )( iiiiiioi mmrrvrL y x y z x z o r )( iii mrr )()( iiiii mrrrr )( 222 iiiiOi zyxmL

4、 )( )( )( 22 22 22 k j iL ziiyiixiii ziiyiixiii ziiyiixiiiOi yxzyzxm zyzxyxm zxyxzym Oi LLO , kjirkji iiiizyx zyx )( iiziyix zyxr 用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点O 的动量矩的动量矩 设：设：mi 是定点运动刚体上的一个质点，其对是定点运动刚体上的一个质点，其对O 点的动量矩：点的动量矩： 整个刚体对整个刚体对O 点的动量矩：点的动量矩： 2021-5-47 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 )( )( )( 22

5、 22 22 k j iL ziiyiixiii ziiyiixiii ziiyiixiiiOi yxzyzxm zyzxyxm zxyxzym )( )( )( 22 22 22 k j i ziiyiixiii ziiyiixiii ziiyiixiii yxzyzxm zyzxyxm zxyxzym OiO LL iL zzxyyxxxO JJJ kj zyyzyxzxzzyyyxyx JJJJJJ kji OzOyOx LLL讨论：讨论：定点运动刚体动量矩的最简表达式定点运动刚体动量矩的最简表达式 2021-5-48 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 kjiL OzOyOx

6、O LLL oz oy ox L L L kji z y x zzyzx zyyyx zxyxx oz oy ox JJJ JJJ JJJ L L L 刚体对刚体对O点的动量矩：点的动量矩： zzxyyxxxOx JJJL zyyzyxzxOz zzyyyxyxOy JJJL JJJL (*) z y x zzyzx zyyyx zxyxx oz oy ox JJJ JJJ JJJ L L L kjikjiLO 问题：问题：式（式（*）能否进一步简化？）能否进一步简化？ 方法：方法：对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。 2021-5-49 6-2 6-2

7、 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 如果如果x y z是刚体的惯量主轴是刚体的惯量主轴 kjiLo zzyyxx JJJ 00 00 00 z y x z y x J J J kji 0 yxyxzx JJJ z y x zzyzx zyyyx zxyxx JJJ JJJ JJJ kjiL O 问题：问题：L LO O与与 是否共线，在什么情况下共线？是否共线，在什么情况下共线？ 结论：结论：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与与 共线。共线。 2021-5-410 xC A B 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 例：例：已知：已知： ，质心在，质心在AB

8、轴的中点，长边为轴的中点，长边为a，短边为，短边为b, AB=2L， 求图示瞬时均质板对求图示瞬时均质板对C点和点和AB轴的动量矩。若板的角轴的动量矩。若板的角 速度为常量，求板对速度为常量，求板对质心质心C和对和对x轴轴的动量矩及其对时间的导数的动量矩及其对时间的导数 ,bam x y y x y kjiL zzyyxxC JJJ kji zyx o L 2 2 12 1 , 12 1 maJmbJ yx 0 z sin,cos yx ) sincos( 12 1 22 jiLabm C ) sincos(ji 1、求板对质心、求板对质心C的动量矩的动量矩 2021-5-411 6-2 6-

9、2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 )cossin( 12 1 2222 bam问题：问题：如何求板对如何求板对AB轴的转动惯量？轴的转动惯量？ xC A B x y y x y xxx JL o L ) sincos( 12 1 22 jiLabm C i 2 2、求板对、求板对 x 轴的动量矩轴的动量矩 iL Cx L ) ( d d ii t 3 3、求板对质心、求板对质心C C的动量矩对时间的导数的动量矩对时间的导数 )( d d sin) ( d d cos 12 1 22 jiL t a t bm C sin k ) ( d d jj t cos ksincos 12 1 222 k

10、Lbam C 2021-5-412 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 xC A B x y y x y o L ) sincos( 12 1 22 jiLabm C ) sincos(ji 0)(cossin 22 ba若上式成立，有： 0L C 验证验证：当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，当且仅当刚体绕惯量主轴转动时，Lo与与 共线共线 若若Lo与与 共线共线 0)(cossin 12sincos sincos 12 22 2222 ba mabm 则：则：x 轴为惯量主轴轴为惯量主轴 0)( 12 cossin 22 ba m Jx xy 件：轴为惯量主轴的充要条 2021-5-4

11、13 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 思考题思考题 : 若定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心若定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心 的动量矩：的动量矩： 。 A： 一定守恒；一定守恒； B：一定不守恒；：一定不守恒； C：不一定守恒。：不一定守恒。 xC A B x y y x y o L ) sincos( 12 1 22 jiLabm C ) sincos(ji 2021-5-414 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 例：例：求质量为求质量为m半径为半径为R的均质圆盘对的均质圆盘对O点的动量矩点的动量矩 。 21, kjiLo zzyyxx JJJ

12、kji zyx 2 2 4 1 , 2 1 mRJJmRJ yxz z x y 2 1 1 z cos,sin 22 yx ) 2cossin( 4 1 122 2 kjiLomR ) 2( 4 1 12 2 kkLmR O 另一种计算方法：另一种计算方法： iiiO m a vrL iiiiiiO mm re vrvrL 2021-5-415 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 二、刚体定点运动的欧拉动力学方程二、刚体定点运动的欧拉动力学方程 kjiL zzyyxxO JJJ )( d d e)( FM L O O t )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzx

13、x MJJJ MJJJ MJJJ x y z x o z y 注：随体轴为惯量主轴注：随体轴为惯量主轴 2021-5-416 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 例：例：已知：已知： ，质心，质心C在在AB轴的中点，长边为轴的中点，长边为a，短边，短边 为为b, AB=2L， 求图示瞬时求图示瞬时轴承轴承A、B的约束力的约束力。 ,bam x y x y C A B Ay FBy F gm a b Az F Bz F 问题问题1：如果板不转动，如何求约束力？如果板不转动，如何求约束力？ CC m ML FaC r mgFF ByAy 2 1 0 BzAz FF0 0 C M F 问题

14、问题2：如果板转动，如何求约束力？如果板转动，如何求约束力？ 0 C a CC ML F r 0 问题：问题：有几个独立的方程？有几个独立的方程？ 2021-5-417 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ 0,sin,cos zyx x y x y C A B Ay F By F gm a b Az F Bz F x y 0sinsin LFLF BzAz 0coscos LFLF BzAz LFLFabm AyBy 2sin)( 24 1 222 0 0 0 z y x F F F 0

15、0 00 BzAz ByAy FF mgFF 0, 0, 0 zyx AC=CB=L 2021-5-418 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 用动量矩定理解释附加动反力产生的原因用动量矩定理解释附加动反力产生的原因 )(FLC C M x y x y C A B x y C L sin 12 1 cos 12 1 2 2 j iLC ma mb 对对C点的动量矩点的动量矩 矢量的大小不变，矢量的大小不变， 并且始终位于板内并且始终位于板内 C L 的方向垂直于屏幕向内的方向垂直于屏幕向内 Ay F By F A、B处约束力对处约束力对C点之矩点之矩 也应垂直于屏幕向内。也应垂直于屏

16、幕向内。0 2sin)( 482 1 2sin)( 482 1 222 222 BzAz By Ay FF ba L m mgF ba L m mgF 2021-5-419 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 例：例：求支架求支架C, D的约束力的约束力 。已知：。已知：m，R ，CD=2L 21, 问题问题1：如果圆盘不转动，如何求约束力？如果圆盘不转动，如何求约束力？ mgFF DzCz 2 1 0 DyCy FF0 0 O M FCz F Dz F OO m ML FaC 问题问题2：如果圆盘转动，如何求约束力？如果圆盘转动，如何求约束力？ 0 C a OO ML F 0 大小

17、为常量 21, 2021-5-420 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 2 2 4 1 , 2 1 mRJJmRJ yxz 1 z cos,sin 22 yx z x y 2 1 )( )( )( zyxxyzz yzxzxyy xzyyzxx MJJJ MJJJ MJJJ sin,cos 1212 yx 0 z 00 sin 4 1 cos 4 1 21 2 21 2 LFLFmR LFLFmR CxDx CyDy 2021-5-421 6-2 6-2 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 z x y 2 1 0, C maFaC F0 0cos 0sin mgFFF mgFFF CyDyy CxDxx LFLFmR LFLFmR CxDx CyDy 21 2 21 2 sin 4 1 cos 4 1 sin) 42 1 ( sin) 42 1 ( cos) 42 1 ( cos) 42 1 (