概率论与数理统计：第一章第一节 随机事件与样本空间

1、 自然界的所有现象可分为两类自然界的所有现象可分为两类: : 一一: : 确定性现象确定性现象: : 在一定条件下在一定条件下, ,某种结果是否发生某种结果是否发生, ,事先事先 完全可以预言完全可以预言; ; 二二: :不确定现象不确定现象( (随机现象随机现象):): 在一定条件下在一定条件下, ,某种结果是否发生某种结果是否发生, ,事先事先 是不可能预言的是不可能预言的. . 随机现象举例随机现象举例: : 明天早上是否下雨明天早上是否下雨; ; 国庆节或春运期间去火车站买去上海的某国庆节或春运期间去火车站买去上海的某 一趟火车票能否买到一趟火车票能否买到; ; 明天的股市行情明天的股

2、市行情; ; 某一航班是否出事故某一航班是否出事故; ; 某地某日是否出现恐怖事件某地某日是否出现恐怖事件, ,等等等等. . 揭示随机现象规律揭示随机现象规律, ,预测事物各种变化规预测事物各种变化规 律律, ,合理利用合理利用, ,防范灾害防范灾害. . 本课程的研究对象本课程的研究对象: : 研究随机现象的数量规律研究随机现象的数量规律. . 本课程的用处本课程的用处: : 1: 1: 气象、地震等统计分析预报；气象、地震等统计分析预报； 2: 2: 人口统计、人口理论人口统计、人口理论; ;金融经济、金融经济、 保险理论分析决策、股票期货分析；保险理论分析决策、股票期货分析； 3: 3

3、: 可靠性、可靠性、 随机服务系统。随机服务系统。 4 4：信号通讯、信号处理、统计物理；：信号通讯、信号处理、统计物理； 进一步，其思想方法和工具知识已渗进一步，其思想方法和工具知识已渗 透到许多学科部门透到许多学科部门 。 一些具体应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有 科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个 部门中部门中. 例如例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预气象、水文、地震预报、人口控制及预 测都与测都与 概率论概率论 紧密相关；紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样

4、验收，新研制的药品能否在 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行 实验设计实验设计 和和 数据处理；数据处理； 临床中应用，均需要用到临床中应用，均需要用到 假设检验；假设检验； 5. 探讨太阳黑子的规律时，探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析时间序列分析 7. 在生物学中研究群体的增长问题时在生物学中研究群体的增长问题时 提出提出 了了生灭型随机模型生灭型随机模型，传染病流行问题要用到，传染病流行问题要用到多多 过程过程 来描述来描述; 6. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫马尔可夫 方法非常有用方法非常有用; 变量非线性生灭过程；变量非线性生灭过程；

5、 4. 电子系统的设计离不开电子系统的设计离不开 可靠性估计可靠性估计; 8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、 机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购 物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型 来描述，其涉及到来描述，其涉及到 的知识就是的知识就是 排队论排队论. 目前，概率统计理论目前，概率统计理论 进入其他科学领域的进入其他科学领域的 趋势还在不断发展趋势还在不断发展. 在社会科学领域在社会科学领域 ，特别是，特别是 经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问经济学

6、中研究最优决策和经济的稳定增长等问 题，都大量采用题，都大量采用 概率统计方法概率统计方法. 正如正如 拉普拉斯拉普拉斯 所说所说 : “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 ，其中绝大多数，其中绝大多数 在实质上只是概率的问题在实质上只是概率的问题.” 本课程的学习本课程的学习, , 只学习基本的问题只学习基本的问题, ,基本的思想方法基本的思想方法, , 基本的知识基本的知识, ,基本的技巧基本的技巧. . 基本要求：基本要求： (1)(1)要求我每次上课至少提前五分钟到达教室要求我每次上课至少提前五分钟到达教室, ,准备好上课准备好上课; ; (2)(2)要求同学们按时来上课、听课要求

7、同学们按时来上课、听课, , 遵守课堂纪律遵守课堂纪律, , 保持安静保持安静, ,不影响大家听讲不影响大家听讲; ; (3)(3)课前适当预习课前适当预习, ,上课时认真听课上课时认真听课, ,课后及时复习课后及时复习, ,必要时必要时, , 要经常复习用到的高等数学有关知识原理要经常复习用到的高等数学有关知识原理; ; (4)(4)要及时完成作业要及时完成作业, ,保证数量质量保证数量质量, ,按时交作业按时交作业; ;作业要求作业要求 独立完成独立完成, ,交作业的数量和质量算平时成绩交作业的数量和质量算平时成绩, ,占总成绩的占总成绩的10%.10%. (6)(6)答疑时间答疑时间:

8、:待定待定 （5 5）周五收作业）周五收作业. . 1.1 随机事件与样本空间 第一章 随机事件的概率 各种各样的科学试验 和对某一事物 特征进行观察,统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验试验, 用E表示 q 可在相同的条件下重复进行 q 试验的可能结果不止一个，但能明确所有 可能的结果 q 试验前不能预知出现哪种结果 基本术语基本术语 样本空间 随机试验E 所有可能的结果 样本空间的元素，即E 的直接结果，称为 随机事件 样本空间的子集,常记为 A ,B , 它是满足某些条件的样本点所组成的集合. 组成的集合称为样本空间，记为（S） 样本点(or基本事件)，常记为 ， = 例例1 给出

9、一组随机试验及相应的样本空间 : 1 E投一枚硬币，观察正面反面出现的情况 : 2 E投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 情况 : 3 E 投一枚硬币3次，观察正面反面出现的 次数 TH, 1 TTTTTH,THT,HTT, THH,HTH,HHT,HHH, 2 3 , 2 , 1 , 0 3 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 4 , 3 , 2 , 1 , 0 5 N ),( 216 TyxTyx 其中T1,T2分别是该地区的最低温度 与最高温度 : 6 E观察某地区每天的最高温度与最低温度 : 5 E观察电话总机每天9:0010:00接到的电话 次数 : 4 E投一颗骰子，观察向

10、上一面出现的点数 有限样本空间 无限样本空间 基本事件 仅由一个样本点所组成的子集 它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生 且只可能发生一个基本事件. 必然事件所有样本点所组成的事件， （S）每次试验必定发生的事件 随机事件是在随机试验中可能发生也可能不发 生的事情 不可能事件 每次试验必定不发生的事情 不包含任何样本点的事件 , Venn图 A 随机事件的关系和运算雷同于 集合的关系和运算 随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算 q A 包含于BBA 组成 A 的样本点也 是组成 B 的样本点 事件 A 发生必导致 事件 B 发生 A B BA BAAB 且 特别地:AA有, q BA

11、或BA BA A B 由组成 A 与组成B 的所有的样本点所 组成的事件 事件 A与事件B 至 少有一个发生 BA发生 n AAA, 21 的和事件 n i i A 1 , 21n AAA的和事件 1i i A 事件A 与事件B 的和事件 ABAAB 易知 AAA A AA q BA 或AB 由同时属于 A 与B 的样本点所组成的 事件 事件 A与事件B 同时 发生 BA发生 n AAA, 21 的积事件 n i i A 1 , 21n AAA的积事件 事件A 与事件B 的积事件 1i i A BA B A BABAB 易知 AAA AA A q 事件A 与事件B互不相容 (互斥) AB A、

12、 B不能同时发生 A B n AAA, 21 两两互不相容 , 21n AAA两两互不相容 njijiAA ji , 2 , 1, , 2 , 1,jijiAA ji 注:不可能事件与任何事件 互不相容,即 成立对 AA, q 事件A 与事件B 互相对立(互逆) BA AB 每次试验 A、 B中 必有一个也只有一 个发生 A AB AB 称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为 注意： “A 与B 互逆”与“A 与B 互斥” 是两个不同的概念 ,AA q BA 差事件 由属于 A 但不属于 B 的样本点所组成 的事件 BA发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 BA B A BAABABABA有, 易知 AA AA AA 事件的关系与运算完全对应着集合的关系 和运算，有着下列的运算律： n 吸收律 AABA AA A )( ABAA A AA )( q 幂等律AAAAAA q 差化积)(ABABABA 运算律运算律 n 重余律 AA p 交换律ABBABAAB p 结合律)()(CBACBA )()(BCACAB p 分配律