理论力学-静力学：4-4 虚位移与虚功

1、 虚位移原理是静力学的普遍原理，它虚位移原理是静力学的普遍原理，它 给出了质点系平衡的充分和必要条件。给出了质点系平衡的充分和必要条件。 什么是虚位移什么是虚位移 什么是虚功什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件什么是虚位移原理的适用条件 由由 伯伯 努努 利利（Bornoulli，1717)提出的提出的 由由 拉格朗日拉格朗日（Lagrange，1764)完善的完善的 虚位移原理 2021-5-41 4-4 4-4 虚位移与虚功虚位移与虚功 A B O A B 0 90 O 一、虚位移一、虚位移 1 1、不同瞬时或位置，虚位移不同、不同瞬时或位置，虚位移不同 2 2、必须满足约束条件、必须满

2、足约束条件 虚位移虚位移（virtual displacement)：在在给定瞬时给定瞬时 质点质点(系系)为为 约束容许约束容许 的的 任何任何 微小微小位移。位移。r 虚虚 位位 移移 特特 点点 , BA rr, BA rr ABBABA rr 3 3、是无限小的，不是有限位移是无限小的，不是有限位移 4 4、虚位移不只有一个或一组、虚位移不只有一个或一组 A r B r A r B r A r B rB r A r 2021-5-42 A B 0 90 O F 4-4 4-4 虚位移与虚功虚位移与虚功 二、虚功二、虚功 虚功虚功（virtual work)： 作用于质点作用于质点( (

3、系系) )上的力在虚位移上所作的功。上的力在虚位移上所作的功。 rF W kjir kjiF zyx FFF zyx zFyFxFW zyx B r 例：例：若若OA杆的虚位移为杆的虚位移为 ， OAR ，求力，求力F 的虚功。的虚功。 B WrF A rF FR AB rr A r 2021-5-43 4-5 4-5 理想约束理想约束 理想约束理想约束(ideal constraint)： 质点系中质点系中所有约束力所有约束力 在在任何虚位移任何虚位移上所作上所作虚功之和虚功之和为零的约束。为零的约束。 0 1 N n i ii rF 5、刚体在固定面上纯滚动、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻

4、力偶不计滚阻力偶) 讨论：讨论： 哪些约束是理想约束哪些约束是理想约束? 1、光滑固定面和可动铰链支座、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索、二力杆和不可伸长的柔索 A B O A r B r N F ox F oy F A F A F 2021-5-44 4-5 4-5 理想约束理想约束 例题：例题：若斜块若斜块A A和滑块和滑块B B之间之间 （1 1）：）：有摩擦；有摩擦； （2 2）：无摩擦。）：无摩擦。 则则该系统是否是理想约束该系统是否是理想约束 A B 地面光滑地面光滑 ?0

5、1 N n i ii rF （1）：有摩擦：有摩擦 是非理想约束是非理想约束 0 1 rF SB （2）：无摩擦：无摩擦 是理想约束是理想约束 0 1 N n i ii rF )()( 21 rrFF SBNB 21 )()(rFFrFF SBNBSBNB 1 )(rFF SBNB 212 )(rFrFF NSANA 212 )(rFrFF NSANA NB F SB F NA F SA F 1N F 2 r 1 r 2021-5-45 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 一、虚位移原理一、虚位移原理(virtual work principle) 虚位移原理：虚位移原理：具有双面、完整、具

6、有双面、完整、 定常、定常、理想约束理想约束的静止的的静止的 质点系，质点系， 在给定位置保持在给定位置保持平衡平衡的充要条件是：的充要条件是：该质点系所该质点系所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 0 1 n i ii rF 证明必要性：证明必要性： 平衡平衡 0 1 n i ii rF ), 1(0 N ni ii FF0)( N iii rFF n i 1 0 1 N 1 n i ii n i ii rFrF | 0 i F iN F i i r 0 1 n i ii rF 充分性的证明自学教材充分性的证明自学教材 202

7、1-5-46 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 例：例：已知已知 OA=L，求，求 系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡 时，力偶矩时，力偶矩M与力与力F 的关系（不计摩擦）的关系（不计摩擦） g 1 m A B g 2 m F M O 1 C 2 C 0 90 g 3 m 基本步骤：基本步骤： 1. 确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 0 1 n i ii rF 2021-5-47 g 1 m B g 2 m F M O g 3 m 4-6 4-6 虚位移原理虚位

8、移原理 BA rr LFM B r 2 C r 0W0 MrF B MFL0)( MFL0 ABBABA rr Lrr BA 0 MLF A A r 1 C r 2021-5-48 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 g 1 m A M O 1 C Ox F Oy F x FA Ay F 研究研究OA杆杆 0 O M ) 1 (0 MLFAx 研究研究AB 杆和滑块杆和滑块B 0 x F )2(0 FFAx ) 1 ()()2( L 0 MFL g 1 m A B g 2 m F M O 1 C 2 C 0 90 g 3 m x FA Ay F NB F A B g 2 m F 2 C g

9、3 m 平衡方程的求解方法平衡方程的求解方法 2021-5-49 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 aaa 1 F 2 F AB C M D D 例：例：结构及其受结构及其受 力如图所示，求力如图所示，求A 端的约束力偶。端的约束力偶。 0 1 n i ii rF 问题：问题：A端约束力偶与作用端约束力偶与作用 在在BC 杆上的主动力偶杆上的主动力偶 M是是 否有关？否有关？ 2021-5-410 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 aaa 1 F 2 F AB C M D D A M 2 r C r 1 r 解：解：固定端固定端A变成固定铰链变成固定铰链 约束力偶视为主动力偶约束力偶视

10、为主动力偶 a2 2 r 2 rr C C rr 3 1 1 0 2211 A MrFrF 0)2 3 2 ( 21 A MaF a F 0 ) 3 1 (2 21 FFaM A BC杆的虚位移为平移杆的虚位移为平移 2021-5-411 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 0 11 n i ii n i i WrF jir jiF iii iyixi yx FF 0)( 1 n i iiyiix yFxF jir iii yx W2W2 W2W2 F x y 1234 5 问题问题: : 已知各长为已知各长为L，重为，重为W，平衡位置如图，杆与铅垂线的，平衡位置如图，杆与铅垂线的 夹角为夹

11、角为。如何求维持平衡时所需水平力如何求维持平衡时所需水平力F F 的大小。的大小。 困难：困难：用矢量法不易求解用矢量法不易求解 q系统的广义坐标：系统的广义坐标：0Q qQ ？ 0 Q0q（平衡的充分必要条件）（平衡的充分必要条件） 2021-5-412 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 )4 , 3 , 2 , 1(,cos 2 i L yi 0)cos4sin4( FLWL0qQ 0)( iiyiix yFxF解解： W2W2 W2W2 F x y 1234 5 0 Q sin 2 L yi WFF iyix 2, 0 sin4 5 Lx cos4 5 Lx 0q tanWF 0 ,

12、 5 5 y x F FF 主动力的作用点：主动力的作用点：1-41-4 主动力的作用点：主动力的作用点：5 5 0)( 1 n i iiyiix yFxF 0cos4sin4FLWLQ 2021-5-413 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 压杆结构的失稳演示装置压杆结构的失稳演示装置 2021-5-414 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 0 11 n i ii n i i WrF kjirkjiF iiiiiziyixi zyxFFF , 0)( 1 n i iiziiyiix zFyFxF ),( ),( ),( 1 1 1 kii kii kii qqzz qqyy qqxx

13、 i i i z y x 若质点系有若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：个自由度，力的作用点的坐标可以表示为： 如何求如何求 kjir iiii zyx 2021-5-415 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 ),( ),( ),( 1 1 1 kii kii kii qqzz qqyy qqxx k j j j i i q q x x 1 k j j j i i q q y y 1 k j j j i i q q z z 1 y x 1 l 2 l g 1 m g 2 m F O 例如：例如： sinsin sin 212 11 llx lx coscos cos 212

14、11 llx lx coscos cos 212 11 lly ly sinsin sin 212 11 lly ly 是独立的是独立的、 1 2 q q 2021-5-416 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 k j jj qQW 1 n ij i iz j i iy j i ixj q z F q y F q x FQ 1 )( j Q 其中：其中： 称为对应于称为对应于 的广义力的广义力j q A y B A x y l o 例题：例题：套筒套筒A和小球和小球B的重力分别为的重力分别为W1和和W2 ， 求系统对应于坐标求系统对应于坐标yA的广义力。的广义力。 21 1 QyQqQW

15、A k j jj A yQW 1 0, 0 A y AA yWyWW 21 211 WWQ A yWW)( 21 1 W 2 W A y 问题：问题：广义力的物理含义是什么？广义力的物理含义是什么？ 2021-5-417 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 广义坐标形式的虚位移原理：广义坐标形式的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理具有双面、定常、完整、理 想约束的静止质点系，想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：在给定位置保持平衡的充要条件是： 该质点系所有的广义力均为零。该质点系所有的广义力均为零。 0 1 k j jj qQW ), 2 , 1(kiq j 是相互独立的是

16、相互独立的 ), 1( , 0kjQ j 0 1 k j jj qQW 二、虚位移原理的广义坐标形式二、虚位移原理的广义坐标形式 0 11 n i ii n i i WrF 2021-5-418 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 例：例：求系统的平衡位置。求系统的平衡位置。若已知：若已知： mgFmmmlll , 2121 y x 1 l 2 l g 1 m g 2 m F O coscos cos 212 11 llx lx sinsin sin 212 11 lly ly mgF mgF mgF F y x y x 2 2 1 1 0 0 2 1 2 1 j jjiiyiix i qQyFxF 0)cossin()cossin2( mglmglmglmgl 0cossin 0cossin2 mglmgl mglmgl 1tan 2 1 tan 解：方法一解：方法一 、根据 独立性 2021-5-419 4-6 4-6 虚位移原理虚位移原理 y x 1 l 2 l g 1 m g 2 m F O 0, 0 1 r 0 22211 rFrgrgmm 0)cossin2(mglmgl 2 1 tan, 0 解：方法二解：方法二 )2 , 1( , 0jQ j 0 2