理论力学-动力学：d-ch5 Lagrange方程A

1、本学期讲授的主要内容本学期讲授的主要内容 第五章第五章 Lagrange方程方程 第六章第六章 刚体的定点运动与一般运动刚体的定点运动与一般运动 第七章第七章 机械振动基础机械振动基础 作业：作业：5-15-1、5-25-2、5-5- 3 3 2021-5-41 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 一、车辆中的力学问题一、车辆中的力学问题 设：车轮、车身作平面运动设：车轮、车身作平面运动 车身和车轮的运动车身和车轮的运动 不仅仅是平面运动不仅仅是平面运动 车身作什么运动？车身作什么运动？ 车轮作什么运动？车轮作什么运动？ 2021-5-42 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 汽车的减振测

2、试与疲劳测试汽车的减振测试与疲劳测试 越野赛车越野赛车 问题的研究是：问题的研究是： 从简单到复杂；从简单到复杂； 从特殊到一般；从特殊到一般； 从单一到综合。从单一到综合。 2021-5-43 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 1893年生产的轿车年生产的轿车 车轴与车体之间无减振器车轴与车体之间无减振器 1904年生产的轿车年生产的轿车 车轴与车体之间有减振器车轴与车体之间有减振器 汽车发展的要求：汽车发展的要求： 便捷、舒适、安全、环保便捷、舒适、安全、环保 研究对象：研究对象： 多个物体组成，结构更加复杂多个物体组成，结构更加复杂 减振结构：独立悬架减振结构：独立悬架 2021-5

3、-44 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 现代研制的轿车、吉普车减振结构：现代研制的轿车、吉普车减振结构：独立悬架独立悬架 独立悬架独立悬架共轴式悬架共轴式悬架 2021-5-45 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 研制方法：研制方法：计算机的引入计算机的引入 2021-5-46 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 模拟实验和物理实验对比模拟实验和物理实验对比车辆碰撞的计算机模拟实验车辆碰撞的计算机模拟实验 2021-5-47 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 2021-5-48 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 汽车驾驶模拟器汽车驾驶模拟器 2021-5-49 工程中的动力

4、学问题工程中的动力学问题 2021-5-410 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 机器人骑自行车机器人骑自行车 2021-5-411 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 摩托车行驶失稳的现象摩托车行驶失稳的现象 2021-5-412 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 航天器对接航天器对接 二、飞行器的动力学问题二、飞行器的动力学问题 2021-5-413 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 飞机起落架的飞机起落架的 动力学仿真动力学仿真 2021-5-414 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 卫星太阳翻版展开的动力学仿真卫星太阳翻版展开的动力学仿真 问题问题1： 用什么方法建立

5、系用什么方法建立系 统的动力学方程便统的动力学方程便 于编程计算？于编程计算？ 2021-5-415 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 问题问题2：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？ 2021-5-416 工程中的动力学问题工程中的动力学问题 A B O 问题问题3：在铅垂面内运动的曲柄在铅垂面内运动的曲柄-滑块机滑块机 构，仅在自身重力作用下由图示位置从构，仅在自身重力作用下由图示位置从 静止开始运动，静止开始运动，忽略空气阻力和所有摩忽略空气阻力和所有摩 擦擦。下面的计算机仿真结果是否正确？。下面的计算机仿真结果是否正确？ 2021

6、-5-417 上述动力学问题的特点上述动力学问题的特点 结构特点结构特点 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体），研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 结构复杂结构复杂 运动的特点运动的特点 刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动 实验手段的特点实验手段的特点 不仅有物理实验还有计算机仿真实验不仅有物理实验还有计算机仿真实验 研究方法的特点研究方法的特点 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）多学科交叉（数学、物理、力学、计算机） 2021-5-418 学习上应注意的问题学习上应注意的问题 问题（现象）的提出问题（现象）的提出 问题是怎样产生的；原有的方法

7、为什么不能（不易）问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 解决该问题；解决该问题的途径是什么。解决该问题；解决该问题的途径是什么。 理论（方法）的形成理论（方法）的形成 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么，适力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么，适 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。 理论（方法）的应用理论（方法）的应用 该方法的特点（利与弊）是什么；哪类问题能用该方该方法的特点（利与弊）是什么；哪类问题能用该方 法解决。法解决。 已学知识的综合应用已学知识的综合应用 在应用的过程中加深理解，逐步达到灵活应用的水平在应用的

8、过程中加深理解，逐步达到灵活应用的水平 2021-5-419 本学期要用到的基础知识本学期要用到的基础知识 力学方面的知识：力学方面的知识： 点的速度加速度合成定理、刚体平面运动基础知识。点的速度加速度合成定理、刚体平面运动基础知识。 质点系的动量、动量矩和动能定理。质点系的动量、动量矩和动能定理。 虚位移原理、达朗贝尔原理、惯性力系的简化虚位移原理、达朗贝尔原理、惯性力系的简化 。 数学方面的知识：数学方面的知识： 高等代数（线性代数）的基础知识高等代数（线性代数）的基础知识 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、二次齐函数矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、二次齐函数 数学分析（高等数学）的

9、基础知识数学分析（高等数学）的基础知识 多元函数的偏导数、复合函数的导数、线性常微分方程的特解多元函数的偏导数、复合函数的导数、线性常微分方程的特解 和通解和通解 2021-5-420 第五章第五章 Lagrange方程方程 动力学普遍方程动力学普遍方程 第二类第二类Lagrange方程方程 第二类第二类Lagrange方程的首次积分方程的首次积分 第一类第一类Lagrange方程方程 Hamilton方程（简介）方程（简介） 2021-5-421 第五章第五章 Lagrange方程方程 1736年年1月月25日生于意大利的都灵日生于意大利的都灵, 1813年年4月月10日在法国巴黎去世，日在

10、法国巴黎去世， 19岁当数学教授，岁当数学教授， 为变分法奠定了理论基础，为变分法奠定了理论基础， 是当时欧洲公认的第一流的数学家。是当时欧洲公认的第一流的数学家。 他写的他写的分析力学分析力学（1788出版）一书运用出版）一书运用变分原理变分原理和和 分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化。分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化。 2021-5-422 第五章第五章 Lagrange方程方程 问题：问题：两个相同的乒乓球由同一高度沿不同轨道无初速下两个相同的乒乓球由同一高度沿不同轨道无初速下 滑，谁先抵达红线？滑，谁先抵达红线？ A：沿直线下滑的小球；沿直线下滑的小球

11、； B：沿曲线下滑的小球沿曲线下滑的小球 2021-5-423 第五章第五章 Lagrange方程方程 2021-5-424 第五章第五章 Lagrange方程方程 1697年，年，J、伯努利提出了著名的最速落线问题、伯努利提出了著名的最速落线问题 问题：问题：在铅垂面内，质点沿什么曲线，在铅垂面内，质点沿什么曲线， 由由O点下落到点下落到P点，点， 所用的时间最短？所用的时间最短？ （不计空气阻力和摩擦力，）（不计空气阻力和摩擦力，） t s v d d v s t d d gyv2 x y o ),( 00 yxP g xysd1d 2 x gy y t x d 2 1 0 0 2 )co

12、s1 ()sin(cycx曲线方程为：曲线方程为： 2021-5-425 第五章第五章 Lagrange方程方程 最速下降线：最速下降线：旋轮线旋轮线 2021-5-426 第五章第五章 Lagrange方程方程 天坛祈年殿：建于天坛祈年殿：建于1420年年 2021-5-427 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 1769年蒸汽机车的模型年蒸汽机车的模型 问题的引出问题的引出 2021-5-428 问题的引出问题的引出 问题：问题：在不计摩擦的情况下，用什么方法建在不计摩擦的情况下，用什么方法建 立系统的运动与主动力的关系立系统的运动与主动力的关系? ? 质点系或刚体系的动力学问题

13、质点系或刚体系的动力学问题 2021-5-429 问题的引出问题的引出 g 1 m A B g 2 m M O g 3 m F g 1 m A B g 2 m M O g 3 m 问题问题1：系统在图示位置系统在图示位置 平衡，用什么方法求平衡，用什么方法求F 与与 M 的关系？不计摩擦的关系？不计摩擦 问题问题2：系统中系统中OA杆匀角杆匀角 速转动，用什么方法求图速转动，用什么方法求图 示瞬时，力偶示瞬时，力偶M的大小？的大小？ 不计摩擦不计摩擦 应用虚位移原理：主动力的虚功之和为零应用虚位移原理：主动力的虚功之和为零 应用达朗贝尔原理：主动力、应用达朗贝尔原理：主动力、约束力约束力和惯性

14、力构成平衡力系和惯性力构成平衡力系 2021-5-430 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 设：设：质点系中第质点系中第 i 个质点的质量为个质点的质量为 ;作用在其上的有主动力作用在其上的有主动力 ; 约束力约束力 . 质点的惯性力为质点的惯性力为 i m i F iN F i I F 应用达朗贝尔原理：应用达朗贝尔原理： ), 1( , IN ni iii 0FFF 0)( 1 IN n i iiii WrFFF 应用虚位移原理：应用虚位移原理： 若质点系所受的若质点系所受的 约束为理想约束约束为理想约束 0 1 N n i ii rF 0)( 1 N 1 I n i ii n

15、 i iii rFrFF 其中：其中： iii m aF I), 1( , 0)( IN ni iiii rFFF 0)( 1 I n i iii rFF动力学普遍方程动力学普遍方程 2021-5-431 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 0)( 1 I n i iii rFF拉格朗日形式的达朗贝尔原理拉格朗日形式的达朗贝尔原理 0)()()( 111 n i iiiiz n i iiiiy n i iiiix zzmFyymFxxmF iixiyiz Iiiii iiii FFF mxmymz xyz Fijk Fijk rijk 受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主

16、动力受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。 动力学普遍方程动力学普遍方程 的直角坐标形式的直角坐标形式 2021-5-432 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 运动分析运动分析 系统的自由度分析、加速度和角加速度分析与计算系统的自由度分析、加速度和角加速度分析与计算 受力分析受力分析 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化）与主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化）与 计算计算 虚功计算虚功计算 虚位移分析、主动力和惯性力元功的计算虚位移分析、主动力和惯性力元

17、功的计算 0)( 1 I n i iii rFF动力学普遍方程动力学普遍方程 用动力学普遍定理求解问题的基本步骤用动力学普遍定理求解问题的基本步骤 2021-5-433 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 例：例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为，圆盘的半径为R， 圆盘在地面上纯滚动，若板上作用有一个主动力圆盘在地面上纯滚动，若板上作用有一个主动力F。求板的加速度。求板的加速度。 F I F a C M I I F C M I I F 应用动力学普遍方程应用动力学普遍方程 0)( 1 I n i iii rFF Ra

18、 xF 解：解：运动分析运动分析 系统自由度系统自由度k=1 受力分析受力分析maF I 2 I 2 1 mRM C Rx x 虚位移分析虚位移分析 xF I 3 由动力学普遍方程得：由动力学普遍方程得： 02 I C M 03xmaxmaxF 04, 0maFx 0)4(xmaF 2021-5-434 AB x C 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 AB C 例：例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为，圆盘的半径为R， 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角

19、加速度。的角加速度。 A a C a B C 受力分析受力分析 gm gm gm AI F BI M CI M CI F R aA B Raa CAC 解：解：运动分析运动分析 应用动力学普遍方程应用动力学普遍方程 0)( 1 I n i iii rFF AA maF I BBB JM I CC maF I CCC JM I CA mRma 自由度自由度k=2 2021-5-435 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 AB x C x C r 系统的虚位移系统的虚位移 R x Rxr C 0 IIII CCCCBA rmgMrFMxF 动力学普遍方程：动力学普遍方程： 0 2 3 2

20、 5 mRgRaxmgRa CACA 0 2 5 gRa CA 0 2 3 gRa CA C A a 0 0 x AB C gm gm gm AI F BI M CI M CI F 2021-5-436 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 例：例：已知已知 OA=L绕绕O轴以匀角速轴以匀角速转动，转动，AB=2L。求系统在图求系统在图 示位置时，力偶矩示位置时，力偶矩M 的大小和转向（不计摩擦）的大小和转向（不计摩擦） g 1 m A B g 2 m M O 1 C 2 C 00 30,90 g 3 m 2021-5-437 A B O 2 C 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普

21、遍方程 A a B a AB P 0 90 解：解：运动分析运动分析 2 C a 受力分析受力分析 g 1 m A B g 2 m M O 1 C 2 C g 3 m 1 IC F 2 C FI B FI IAB M 分析各刚体质心的加速度分析各刚体质心的加速度 LaA 2 Laa ABCB 2 L AP aA AB 2 3 3 2 2 1 L aC 11 1ICC amF ABCAB JM 2 I 22 2ICC amF BB amF 3I 1C a 2021-5-438 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 g 1 m B g 2 m M O g 3 m B r 2 C r ABBABA rr A A r 1 C r 1 IC F 2 C FI B FI IAB M BA rr ( )00M 0W060cos 0 2 2 MrFrF C IC B IB 060cos 0 23 2 MLamLam CB 0) 6 3 3 3 ( 22 2 22 3 MLmLm0 Lrrr CBA 2 虚位移分析虚位移分析 2021-5-439 5-1 5-1 动力学普遍方程动力学普遍方程 思考题：思考题：两个质量相同的均质圆盘和均质杆用铰链连接并由两个质量相同的均质圆盘和均质杆用铰链连接并由 绳索绳索AB悬挂于