概率论与数理统计：8.4 正态分布总体均值和方差的区间估计

1、8.4 正态分布总体均值和方差的区间估计正态分布总体均值和方差的区间估计 主要研究内容: 均值的区间估计 对区间估计的合理要求 21 P (1)尽可能大(可靠性) (2) 12 尽可能小(精度) 二者同时小不可能,在保证可靠性的条件 下,尽量提高精度. 方差的区间估计 一：均值一：均值EX的区间估计的区间估计 (1) 方差DX已知,对EX进行区间估计 设总体 ),( 2 NX 其中 2 已知. n xxx, 21 为来自于总体的样本。 ),()( 1 2 1 n Nxx n x n ) 1 , 0( / N n x U ,对于给定的可以找到一个数, 2 1 z 使 1| 2 1 zUP 1 /

2、2 1 z n x P 即 1 2 1 2 1 n zx n zxP n zx n zx 2 1 2 1 , 1 落在区间 内的概率为 n zx n zx 2 1 2 1 , 区间 为的置信区间置信区间, , 2 1 z 1 为在置信度 下的临界值临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。双侧分位点。 查标准正态分布表 05. 0 96. 1 975. 0 2 1 zz 的置信区间是 n x n x 96. 1,96. 1 01. 0 58. 2 995. 0 2 1 zz n x n x 58. 2,58. 2 的置信区间是 时， 时， 比较可知 10. 0,01. 0,05. 0 1越大,则

3、越小,置信区间越小, 因此,在实际应用中,要适当选取 落在区间内的把握也就越小。 常取值: 例例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布,且 方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随 机地抽取6只,测得直径的数据（单位mm）为 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95置信区间。 解 当05. 0时，95. 01 查表得 96. 1 975. 0 2 1 zz 95.14) 1 .152 .158 .149 .141 .156 .14( 6 1 x 06. 0,06. 0 2 96. 195.1496. 1 n x 75.14 6 06. 0 96. 1

4、95.1496. 1 n x 15.15 6 06. 0 故所求置信区间为15.15,75.14 n nDX EXX Y 注 对于不是服从正态分布的总体，只要 足够大，则由中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布，因此仍然可以用 n DX zx n DX zx 2 1 2 1 , 作为 EX的置信区间，但此时仍然又多了 一次误差。 (2) 方差DX未知,对EX进行区间估计 设总体 ),( 2 NX 其中 2 未知. n xxx, 21 为来自于总体的样本。 2 s 2 用样本方差来代替总体方差 ),()( 1 2 21 n Nxxx n x n ) 1 , 0( N n x U 2 1

5、2 )( 1 1 xx n s n i i ) 1( ) 1( 22 2 ns n V ,独立与VU 统计量 ) 1( ) 1( / nt n V U ns x T ,对于给定的查t分布表可得临界值 ),1( 2 1 nt 2 1) 1( 2 1 ntTP 使得 1) 1( 2 1 ntTP 1) 1( /2 1 nt ns x P 1) 1() 1( 2 1 2 1 n s ntx n s ntxP 得均值的置信区间为 n s ntx n s ntx) 1(,) 1( 2 1 2 1 的置信区间是 306. 2)8() 1( 975. 0 2 1 tnt 在方差 未知的情况下， 当 9,05

6、. 0n 时,查t分布表得临界值 2 9 306. 2, 9 306. 2 s x s x 例例2 设有某种产品，其长度服从正态分布， 现从该种产品中随机抽取9件，得样本均值 ),(28. 9cmx 样本标准差)(36. 0cms 试求该产品平均长度的90置信区间. 当9,10. 0n时, ) 1( 2 1 nt 86. 1)8( 95. 0 t 06. 9 3 36. 0 86. 128. 9) 1( 2 1 n s ntx 50. 9) 1( 2 1 n s ntx 解 置信区间为9.06，9.50 查t分布表得 例例3 设灯泡的寿命服从正态分布,现从一批灯 泡中随机地抽取6只,测得寿命的

7、数值(单位:h) 为1020, 1010, 1050, 1040, 1050，1030 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置 信下限. ) 1( / nt ns x T 解 由于总体方差未知，故统计量 ,对给定的) 1( 1 nt 查t分布表可得临界值 1) 1( 1 ntTP 使得 由此得到 1) 1( / 1 nt ns x P 1) 1( 1 n s ntxP 即 1 ,) 1( 1 n s ntx 的置信度为 的单侧置信区间 1 9 .10170150. 2 6 69.18 3 .1033 代入得单侧置信下限为 1的置信度为 的单侧置信下限为 n s ntx) 1( 11 6,9

8、5. 01n ) 1( 1 nt ,1050. 2)5( 95. 0 t ,69.18, 3 .1033 sx 总结解决此问题的一般步骤: (1) 找一个的点估计 ),( 1n xx (2) 选取适当的统计量)(, (已知U (3) 选取适当的常数a,b,),10(对于给定的 使得 1), (bUaP (4) 将bUa), (变形 nn xxxx, , 1211 , 21 就是所求置信区间。 例例4 随机从一批零件中抽取16件测其长度(cm): 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.14, 2.11 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14

9、, 2.10, 2.13, 2.11, 设该零件长度服从正态分布. 试求总体均值的90置信区间. (1) 已知01. 0 (2)未知 解: (1) n zx n zx 2 1 2 1 , 1 的置信度为的置信区间为 10. 0 645. 1 95. 0 2 1 zz 125. 2,01. 0 x 因为所以 将 n=16, 代入得 121. 2 2 1 z n x 129. 2 2 1 z n x 所以,所求置信区间为2.121,2.129 (2) 未知,1的置信度为的置信区间为 n s ntx n s ntx) 1(,) 1( 2 1 2 1 017. 0,125. 2sx代入得 ) 1( 2

10、 1 nt 7513. 1)16( 95. 0 t当 n=16时, ,10. 0 所求置信区间为2.1175,2.1325 二二. .方差DX的区间估计 设总体 ),( 2 NX n xxx, 21 为来自于总体的样本. 考虑统计量 2 2 ) 1( sn Y ) 1( 2 n ,对于给定的查 2 ) 1( 2 2 n ),1( 2 2 1 n 分布表，可得临界值 及使得 2 1) 1( 2 2 1 nYP 2 ) 1( 2 2 nYP 1) 1() 1( 2 2 1 2 2 nYnP 即 1) 1( ) 1( ) 1( 2 2 1 2 2 2 2 n sn nP 则 1 ) 1( ) 1(

11、) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 1 2 n sn n sn P ),( 2 N 2 因此，当总体中的参数 为未知的情况下，方差 的置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 1 2 n sn n sn 注),1( 2 2 n ) 1( 2 2 1 n 临界值 不是唯一的。 ) 1(),1( 2 3 2 1 2 3 nn 可以选取 例例5：某自动车床生产的零件，其长度X服从 正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单 位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.08, 12.01, 12.0

12、3, 12.01, 12.06, 12.06 , 12.13, 12.07, 12.11, 12.03 DX的置信度为95%的置信区间。 试求 00244. 0,075.12 2 sx 解：经计算可得 2 查分布表得,26. 6)15() 1( 2 025. 0 2 2/ n ,45.27)15() 1( 2 975. 0 2 2/1 n 0058. 0 26. 6 00244. 015 ) 1( ) 1( 2 2 2 n sn 0013. 0 45.27 00244. 015 ) 1( ) 1( 2 2 1 2 n sn 0058. 0 ,0013. 0 DX的置信度为95%的置信区间 8.

13、4 8.4 二正态总体均值差和方差比的区间估计 m xx, 1 n yy, 1 设和 分别来自于 正态总体 ),( 2 11 N ),( 2 22 N和的两独立样本, 2 , m sx 2 , n sy 相应的样本均值和样本方差分别记为 和 21 求的置信区间 二正态总体均值差的区间估计 2 1 2 2 1：方差和都已知 m Nx 2 1 1, n Ny 2 2 2 , ),( 2 2 2 1 21 nm Nyx ) 1 , 0( )()( 2 2 2 1 21 N nm yx 21 nm zyx nm zyx 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 , 如同上节一样讨论，可得 的置信

14、区间为 2 1 2 2 2：方差和都未知 22 , nm ss , 2 2 2 1 n s m s zyx n s m s zyx nmnm 22 2 1 22 2 1 , 只要m,n足够大，就以分别代替 并用 21 作为 的近似置信区间。 2 2 1 2 1 3: 方差 且为未知 nm nmmn SnSm yx nm )2( ) 1() 1( )()( 22 21 统计量 21 )2( ) 1() 1()2( 22 2 1 nmmn nm snsmnmtyx nm 可得的置信区间为 )2( nmt 二正态总体方差比的区间估计 ),( 2 11 N),( 2 22 N设二正态总体和 参数均为未知。 其中 2 2 2 1 ,ss是分别来自于两总体 且容量各为m和n的独立样本的方差。 2 2 2 1 2 2 2 1 / / ss 考虑统计量 ) 1( ) 1( 2 2 1 2 1 m sm ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 n sn 由于 ) 1/( ) 1( ) 1/( ) 1( 2 2 2 2 2 1 2 1 n sn m sm 2 2 2 1 2