2019-2020学年北京市首师大附中高二(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）1.2)抛物线 ? = 4?的焦点坐标为 (A. (1,0)B. (-1,0)C.(0,1)D. (0, -1)2.“ ?= 2 ”是“直线 2?+ ?-1 = 0与直线 ?+ 3?-2 = 0垂直”( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件22E?，?，点P在双曲线E上，且|? = 33. 若双曲线：9 -16 =1 的左、右焦点分别为?2，11则 |?2等于 ( )A. 11B.9C.5D. 34.直线 l ：?+ ?+3 = 0被

2、圆 C：?=-1+ 4?)?=2 +(?为参数 ) 截得的弦长为 (4?A. 22B. 42C. 43D. 8225.如图，在平面直角坐标系?= 1(? 0) 的右焦点，直线xOy 中， F 是椭圆2 +2?B，C两点，且?=90?= 2 与椭圆交于，则该椭圆的离心率为 ()A. 36B. 2331D. 22C. 26. 设 ?，?为两个不同的平面， m，n 为两条不同的直线，则下列命题中正确的为( )A. 若 ?/?， ?，则 ?/?B. 若 ?/?， ? ?，则 ?/?C. 若 ?， ? ? ?，则 ?D. 若 ? ?，? ? ?，则 ?7.28?的焦点为F，准线与 x 轴的交点为 K，点

3、 A 在 C 上且 |?|=已知抛物线 C：? =，则 ?的面积为 ( )2|?|A. 4B.8C. 16D. 32， ?是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且?8.已知1?=，?1 223则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.43B.23C. 3D. 233二、填空题（本大题共6小题，共 18.0 分）1?= 1+ 2?9.已知直线的参数方程为3 (?为参数 ) ，则其倾斜角为 _?= 1+2 ?第1页，共 11页10.2222若圆 O：? + ? =1 与圆 C：? + ? + 6?+ 8?+ ? = 0相切，则实数 ? = _22xk_11.?1 表示的是焦点在

4、轴上的椭圆，则的取值范围是若方程 ?-2 + 5-? =12.直线l与双曲线224 相交于A、B两点，若点?(4,1)AB的中点，则? -4? =为线段直线 l 的方程是 _13.已知圆：(?+ 2)22与圆 ?关于直线 ?= ?+ 1 对称，则圆 ?的+ (?-1)= 1，圆 ?12?21标准方程是 _22G?和 ?，短轴的两个端点14.已知椭圆+= 1(0 ? ? 0) 的离心率为，点222?(2,1) 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)22相切，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求证： ?是设直线 l 与圆 O：? + ? = 2定值22?18.设 A、B 分别为椭圆4 +

5、3 = 1 的左右顶点， 设点 P 为直线 ?= 4上不同于点 (4,0) 的任意一点，若直线AP、 BP 分别与椭圆相交于异于A、 B 的点 M、 N(1) 判断 B 与以 MN 为直径的圆的位置关系(内、外、上 )并证明(2) 记直线 ?= 4与轴的交点为H，在直线 ?= 4 上，求点P，使得 ?= ? ? ?第3页，共 11页答案和解析1.【答案】 C【解析】 【分析】?本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线2? = 2?的焦点坐标为(0, 2 ) ，属基础题先根据标准方程求出p 值，判断抛物线2? = 4?的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标【解答】2?= 12，2

6、，焦点在 y 轴上，开口向上， 焦点坐标为 (0,1 )，解： 抛物线 ? = 4?中，?=故选 C2.【答案】 D【解析】 【分析】先求出直线 2?+ ?- 1 = 0与直线 ?+ 3?-2 = 0 垂直时， a 满足的条件，即可判断本题主要考查充分、必要条件的判断以及直线垂直的等价条件应用，属于基础题【解答】解：当直线 2?+ ?- 1 = 0与直线 ?+ 3?- 2 = 0 垂直时， 2?+ 3?= 0即 ?= 0，所以“ ?= 2 ”是“直线 2?+ ?- 1 = 0与直线 ?+ 3?- 2 = 0 垂直”的既不充分又不必要条件故选 D3.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查双曲线的

7、标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题确定 P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论【解答】2-2= 1中 ?= 3解：由题意，双曲线E：?916|?1 = 3 ， ?在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|?2- |?1 = 6 ，|? = 9 2故选 B4.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离结论公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题利用平方关系把圆C 的参数方程化为标准方程，求出圆心C 到直线 l 的距离 d，利用直线 l 被圆 C 截得的弦长 = 2?2- ?2 即可得出【解答】?= -1+ 4?2+ (?-2)2 = 16，解：

8、圆 C： (?为参数 ) 化为： (?+ 1)?= 2 + 4?可得：圆心 ?(-1,2)，半径 ?= 4第4页，共 11页?=|-1+2+3|2圆心 C 到直线 l 的距离= 22 直线 l 被圆 C 截得的弦长222= 2 ?- ? = 2 16 - (22) = 42故选： B5.【答案】 A【解析】 【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为 -1 ，考查化简整理的运算能力，属于中档题设右焦点 ?(?,0) ，将 ?=?B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜2代入椭圆方程求得率之积为 -1 ，结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设右焦点?(?,

9、0) ，将 ?=?23，代入椭圆方程可得?= ?2?= ?1- 224?3?3?可得 ?(-2?, ) ，?(2?,)，22由 ?= 90，可得?= -1 ，?即有2?2= -1，33- 2 ?-?2 ?-?222，化简为 ?=3?-4?22222，由 ?= ?-?，即有 3? =2?22由 ?=2?，2 =，可得 ? =3?可得 ?= 6，3故选： A6.【答案】 D【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题在 A 中，m 与 ?相交、平行或 ? ? ?；在 B 中，m 与 n 平行或异面； 在

10、C 中，m 与 ?相交、平行或 ? ?；由面面垂直的判定定理得 ?【解答】解：由 ?，?为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，得：在 A 中，若 ?/?， ? ?，则 m 与 ?相交、平行或 ? ? ?，故 A 错误；在 B 中，若 ?/?， ? ?，则 m 与 n 平行或异面，故B 错误；在 C 中，若 ?， ? ? ?，则 m 与?相交、平行或 ? ? ?，故 C 错误；在 D 中，若 ? ?， ? ? ?，则由面面垂直的判定定理得?，故 D 正确故选： D7.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在 ?中集中条件求出?是关键；0

11、第5页，共 11页根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设 ?(?，过 A0,?)0点向准线作垂线AB，则 ?(-2, ?) ，根据及 ?= ?= ? - (-2)=?+ 2，0|?|= 2|?|00进而可求得 A 点坐标，进而求得?的面积【解答】28?的焦点为 ?(2,0)，准线为 ?=-2解： 抛物线 C：? =?(-2,0)设 ?(?，过A 点向准线作垂线AB，则 ?(-2, ?)00,?)0，又 ?=?=? -(-2) = ?+ 2|?|= 2|?|0022222，即 8?2，解得 ?(2,4)得 ?= (?0 + 2)+ 2)由 ? = ? - ?00 = (?

12、0?的面积为1|?|?|?| =144= 8220故选 B8.【答案】 A【解析】 【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和配方法是解决本题的关键，属于较难题根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴长为?，双曲线的实半轴长为?， (? ?)2 ，半焦距为 c，121设|?1，|?2 =， |?2| = 2?，椭圆和双曲线的离心率分别为，?2,= ?1?21?1? ?=，1232(?)2+ (?)2- 2?cos?由余弦定理可得4? =12123= (?)12 + (?)22 -?12，不妨设 ?，由椭圆和双曲线的定义可知?+ ?= 2

13、?，1211 ?2?- ?= 2?122得 ?1 = ?1 + ?2，?2 = ?1 - ?211?1 +?2?1? +? =?= ?，1222?=4?令?= 12221?+? -?1 ?212=41 + (?2)2 -?2?1?1=4?13(?2 -2 )2+4 ，1?116 ，当?2=2时， ?=13?14 3，()=? ?31143，即?+?的最大值为123故选 A第6页，共 11页?9.【答案】 3【解析】 【分析】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小【解答】1?= 1+2 ?解：直线的参数方程为3 (?为参数

14、) ，?= 1+2 ?消去参数 t ，化为普通方程是?-1 = 3(?- 1)，?则该直线的斜率为3，倾斜角为 3故答案为： ?310.【答案】 -11或 9【解析】 【分析】本题主要考查圆的标准方程的特征，两点间的距离公式，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得m 的值【解答】222+ (?- 4)2= 25- ?，解：圆 ? +? + 6?- 8?+ ? = 0即 (?+ 3)表示以 (-3,4)为圆心，半径等于的圆25 - ?由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，

15、可得 5 = |25 -?- 1|，解得 ?= -11 两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得 5 = 25 - ?+ 1 ，解得 ?= 9，故答案为： -11 或 9711.【答案】 (2 ,5)【解析】 【分析】本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的性质，利用焦点在y 轴上的椭圆，满足2?的20，是解题的关键分母大于 ?的分母并且大于焦点在 x 轴上的椭圆，满足220，建立不等式可求k 的取?的分母大于 ?的分母并且大于值范围【解答】22解：由题意方程?+= 1 表示的是焦点在 x 轴上的椭圆，?-25-?- 2 5-? 0，7 ? 527故答案为： ( 2 , 5)第7页，共 11

16、页12.【答案】 ?- ?- 3 = 0【解析】 【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，“点差法”的应用，属于基础题设出 A，B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知的值，进而求得直线 AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程【解答】解：设 ?(?, ?) ， ?(?,?) ，则 ? + ? = 8 ， ? + ? = 2 ，112212122222? -4? = 4，? -4? = 4，1122两式相减可得(?1 + ?)(?21 - ?)2-4(?1 + ?)(?21 -?)2 = 0，8(?1 - ?)2- 8(?1 -?)2 = 0，直线 AB 的斜率 ?= 1 ，直线

17、 l 的方程为 ?-1 =?- 4 ，即 ?- ?-3= 0故答案为 ?-?- 3= 013.【答案】22= 1? + (?+ 1)【解析】 【分析】本题考查了圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题求出圆 ?的圆心坐标，又圆?和圆 ?的半径相等，即可得到其方程212? + ?和?+ ?1212【解答】解：依题意，设圆?的圆心坐标为(?,?)，2因为圆 ?：(?+ 2) 2 + (?- 1) 2 = 1 的圆心为 (-2,1)，1?+1-2+?所以 2 =2+ 1,?= 0，?-1解得 ?= -1?+2 = -1,所以圆 ?的标准方程是：22?+ (?+ 1) = 1，2故答案

18、为：22= 1? + (?+ 1)14.【答案】 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算22能力，属于中档题运用椭圆的定义可得P 也在椭圆?6+6-?2 = 1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断 正确；通过 b 的变化，可得 不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时， |?|的值取得最小，即可判断 【解答】22解：椭圆 G：?=1(0? 2?1222即有 P 在椭圆?6+ 6-?2 = 1上对于 ，将 x 换为 -?方程不变，则点 P 的轨迹关于 y 轴对称，故 正确；对于 ，由图象可得轨迹关于x， y 轴对称，且 0 ?

19、 6 ，第8页，共 11页则椭圆 G 上满足条件的点P 有 4个，不存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点P 仅有两个，故 不正确；对于 ，由图象可得，当P 满足2222时，?= ?，即有6- ?=?，即 ?= 3|?|22|?|2取得最小值，可得 ? = ? = 2 ，即有的最小值为，故 正确故答案为 15.【答案】 解： (1)由 |?|=2 |?|+ |?|= 22 ，根据椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且 2?=2 2，即 ?= 2，?=1，222?2?= ，则动点P 的轨迹方程 C 为；?- ?= 12+?=1(2) 将直线 l ：?=22?+ 1 代入椭圆方

20、程 ? + 2? = 2，22可得 (1 + 2?)? + 4?= 0，解得 ?= 0，?2 = -4?，11+2?2可得 ?(0,1) ， ?(-4?,1-2? 222 ) ，1+2?1+2?由题意可得 |?|=16?21-2? 21)2 =422)2 + (2 -，(1+2?1+2?3解得 ?=1，即有直线 l 的方程为 ?=?+ 1【解析】 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的第一定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题(1) 由椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以AB为焦点的椭圆，求得a b c，即可你， ，到底所求轨迹方程；(2) 将直线方程代入椭

21、圆方程，解方程可得M， N 的坐标，再由两点的距离公式解方程可得斜率 k，进而得到直线方程16.【答案】证明： ( ) 过点 F 作 ?/?，交 PA 于 H ，连接 BH，11因为 ?= ?，所以 ?=?= ?33又 ?/?， ?/?，所以 ?/?所以 BCFH 为平行四边形，所以 ?/?又 ? 平面 PAB，? 平面 PAB，所以 ?/平面 PAB解： ( ) 因为梯形ABCD 中， ?/?，?，所以 ?.平面 ABCD ，如图，以B 为原点， BC， BA， BP 所在直线为x， y， z 轴建立空间直角坐标系，第9页，共 11页所以 ?(1,0， 0) ， ?(3,3， 0) ， ?(

22、0,3， 0) ， ?(0,0， 3) 设平面 BPD 的一个法向量为?= (?,y， ?)，平面 APD 的一个法向量为? = (?,b， ?)，因为?3-3)?03)(3,，= (0,，=所以 ?=3?+ 3?- 3?= 0，?3?=0?=取 ?= 1得到 ?= (1, -1,0) ，同理可得 ? = (0, 1，1) ，所以 cos =?1= -，|? |?|?2因为二面角 ?-?- ?为锐角，?所以二面角 ?-?- ?为 3 【解析】 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力( )过点 F 作 ?/?，交 PA 于 H，连接 BH ，证明 ?/?，?/?，然后证明 ?/ 平面 PAB( )说明 ?. ?， ?，以 B 为原点， BC， BA， BP 所在直线为x， y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD 的一个法向量，平面APD 的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角?- ?- ?的大小?221 221 217.【答案】 解： (1) 由题得 ?= ?=2，所以? = 2 ?，则?= 2?，4122再将点 (2,1) 带入方程得2+ 1 2= 1，解得 ?= 6，所以 ? =3，?2 ?22则椭圆 C 的方程为： ?；6+3 =1(2) 当直线 PQ 斜率