最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_汽车行驶的路程

1、最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 教学目标教学目标 理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近， 感受在其过程中渗透的思想方法。 教学重难点 重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取 极限）。 难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思 想 的理解 。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 如何求下列图形面积？如何求下列图形面积？ t y 0 t y 0 t y o 直线直线 几条

2、线段连成的折线几条线段连成的折线 曲线？曲线？ 由直线由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线 y=f(x)所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形. 曲曲 边边 梯梯 形形 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 t v o 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 特例分析特例分析 直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三所围成的图形（曲边三 角形）面积角形）面积S是多少？是多少？ x y O1 思考？曲边梯形与我们熟悉的思考？曲边梯形与我们熟悉的“直边图形直边图形”的主要区别的主要区别 是什么？能否将求这

3、个曲边梯形面积是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求的问题转化为求 “直边图形直边图形”面积的问题？面积的问题？ y=x2 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附 近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内作直线（即在很小范围内“以直代曲以直代曲” ） P 放大放大 再放大再放大 P P “以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 ”的数学思想的数学思想 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 y = f(x) b

4、ax y O A1 A A1. 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形 的面积的面积A A，得，得 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 A A1+ A2 用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形 的面积的面积A，得，得 y = f(x) bax y O A1A2 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 A A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形 的面积的面积A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 最新1.5

5、.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 y = f(x) bax y O A A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩 形的面积代替小曲边梯形的面积，形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯于是曲边梯 形的面积形的面积A A近似为近似为 A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 图中的图形可看图中的图形可看 成成:x=0,x=1,y=0:x=0,x=1,y=0和和 y=xy=x2 2所围成的曲边所围成的曲边 梯形梯形, ,它的面积如何它的面积如

6、何 计算呢计算呢? ? 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间个小区间： , n n , n 1n , n i , n 1i , n 2 , n 1 , n 1 , 0 每个区间的长度为 i ii i- -1 11 1 x x = =- -= = n nn nn n 过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小 曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作 .S,S,S,S ni21 1 1 n n 2 2 n n k n n n x O y 2 yx 最新1.5.1-1.5.2曲

7、边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 i-1i ff nn i-1 n i n i f n i-1 f n 如图，当如图，当n n很很 大时，即大时，即x x很小很小 时，在区间时，在区间 上可以认为函数上可以认为函数 的值变化很小的值变化很小. . i - 1i , nn 2 y = x 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 把曲边梯形分成把曲边梯形分成n 个小曲边梯形面积记个小曲边梯形面积记 做做 .用小矩形的面用小矩形的面 积积 近似地替代近似地替代 即局部小范围内即局部小范围内“以以 直代曲直代曲”. 2 ii 2 i-1i-1 SS = fx =x nn i-11 =

8、i =1,2,n . nn i s i i s s i s 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 则阴影部分面积则阴影部分面积 n s 2 nn i = 1i = 1 n ni i = 1 22 2 22 3 3 S= S= 111n - 11 = 0+ nnnnn 1 =1+ 2+n - 1 n n - 1n2 n - 11 = n6 111 =1 - i - 1i - 11 f x = 1 - 3n2 nnn n n 111 SS =1-1- 3n2n 得到得到S S（曲边梯形面积）（曲边梯形面积） 的近似值的近似值： 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车

9、行驶的路程 当当分分割割的的份份数数无无限限增增多多, , 即即n n, ,x x0 0时时 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时， 趋向于趋向于S.从而有从而有 xx n 111 S =1-1- 3n2n n n i = 1 n n n S = lim S= 1111 = lim1 -1 1 -= 3n2 i - 1 limf nn n3 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 在在“近似代替近似代替”中，如果认为函数中，如果认为函数 在区间在区间 上的值近似地等于上的值近似地等于 右端点

10、右端点 处的函数值处的函数值 ，用这种方法能求，用这种方法能求 出出S的值吗？若能求出，这个值也是的值吗？若能求出，这个值也是 吗？吗？ 取任意取任意 处的函数值处的函数值 作为近似作为近似 值，情况又怎样？值，情况又怎样？ i - 1i ,i = 1, 2, n nn 2 f x =x i n i f n i i -1i , nn i f 1 3 探究！探究！ 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_

11、 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以

12、下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时

13、，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分

14、割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 小结小结 求由连续曲线求由连续曲线y f(x)围成的围成的曲边梯形曲边梯形 面

15、积的方法面积的方法 （1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取极限取极限 n （3 3）求和求和 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B. C. D. 2 )(xxf n i n i , 1 C ) 1 ( n f) 2 ( n f )( n i f 0f 练 习 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ） A.只能是左端点

16、的函数值只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确以上答案均不正确 )( i xf )( 1i xf ),)( 1 iiii xxf C 1 , ii xx 练 习 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 巩固提高巩固提高 1 1 x =x = n n 解解:(1):(1)分割分割: :将区间将区间1,2n1,2n等分等分, ,则则 每个区间每个区间 i i- -1 1i i 1 1+ +, ,1 1+ + n nn n 的长度为的长度为 过每个分点作过每个分点作x

17、x轴的垂轴的垂 线线, ,将原曲边梯形分割为将原曲边梯形分割为n n个小个小 曲边梯形曲边梯形; ; 求直线求直线x=1,x=2,y=0 x=1,x=2,y=0与曲线与曲线y=xy=x2 2所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形 的面积的面积 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 (2)(2)近似替代近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作以每个区间的左端点的函数值为高作n n个小矩形个小矩形, , 当当n n很大时很大时, ,用这用这n n个小矩形的面积和近似替代曲边梯个小矩形的面积和近似替代曲边梯 形的面积形的面积S;S; (3)(3)求和求和 1 2 1 2 1 111

18、 (1)(1)() 11 1 nn n iii n i n ii Sfx nnnn 22222 2222 2222 3 2 123(21 1(1)(2 ) )(21) () 12 1 ()()13() nnnn n nnnn n nn 111 (2)(7) 6nn 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 (4)取极限取极限 1117 limlim (2)(7) 63 n nn SS nn 即即直线直线x=1,x=2,y=0与曲线与曲线y=xy=x2 2所围成的曲边所围成的曲边 梯形的面积梯形的面积为为 7 3 练习：练习：p42 变式：求直线变式：求直线x=0 x=0,x=

19、2,y=0,x=2,y=0与曲线与曲线y=xy=x2 2所围成的曲所围成的曲 边梯形的面积边梯形的面积 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 一般地，如果物体做变速直线运动，速一般地，如果物体做变速直线运动，速 度函数为度函数为v vv v( (t t) )，那么我们可以采用分，那么我们可以采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，割、近似代替、求和、取极限的方法， 求出它在求出它在a at tb b内所走的位移内所走的位移s s. . 事实上，类似于求曲边梯形面积的过程，事实上，类似于求曲边梯形面积的过程， 汽车行驶的路程汽车行驶的路程s s就是由直线就是由直线t ta

20、 a，t tb b， v v0 0和曲线和曲线v vv v( (t t) )所围成的曲边梯形的所围成的曲边梯形的 面积面积 二二. .求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为的速度为 (t的单位：的单位：h，v的的 单位：单位：km/h)，那么它在，那么它在 这段时这段时 间内行驶的路程间内行驶的路程s（单位：（单位：km）是多少？）是多少？ 2 v(t)=-t +2 0t1 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 在时间区间在时间区间0,1

21、上等间隔地插入上等间隔地插入 n-1个分点，将它等分成个分点，将它等分成n个小区间：个小区间： 112n - 1 0 , 1 nnnn 记第记第i i个区间为个区间为 ， 其长度为：其长度为： i-1 i ,i =1,2,n nn ii-11 t =-= nnn 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 2 2 v v= = - -t t + +2 2 xo y a . . . 把汽车在时间段把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：上行驶的路程分别记作： 112n - 1 0,1 nnnn 12n S ,S ,S 显然有显然有 n i i=1 S =S 最新1.5.1-1.5.

22、2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，的变化值很小， 近似地等于一个常数近似地等于一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在从物理意义上看，就是汽车在 时间段时间段 上的速度上的速度 变化很小，不妨认为它近似地以时变化很小，不妨认为它近似地以时 刻刻 处的速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶. i - 1i , nn t 2 v(t)=-t +2 i - 1 n i -1i ,i = 1,2,n nn 最新1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积_ 汽车行驶的路程 2 ii 2 i-1i-11 s = s = vt = -+2 nnn i-112 = -+i =1,2,n nnn 在区间在区间 上，近似地认为速度为上，近似地认为速度为 即在局