全等三角形培优竞赛训练题

1、全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点， 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为DF 中点，连接 EG，CG （ 1）直接写出线段 EG 与CG 的数量关系； （2）将图 1中 BEF 绕B点逆时针旋转 45o，如图 2所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG 你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1中 BEF 绕B 点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线段，问（ 1） 中的结论是否仍然成立？ 图1 图 2 图3 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，

2、点 E 是边 BC 的中 点 AEF 90 ，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路： 取AB的中点 M，连接 ME，则 AM=EC， 易证 AME ECF ，所以 AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （ 1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC的中点”改为“点 E 是边 BC上（除 B， C外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的 观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （ 2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上

3、（除 C点外）的任意一点，其他条 件不变，结论“ AE=EF ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过 程；如果不正确，请说明理由 图1 图2 图3 3、已知 Rt ABC中， AC BC，C 90，D为 AB边的中点， EDF 90， EDF 绕D点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB（或它们的延长线）于 E、 F 1 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于 E 时（如图 1），易证 S DEF SCEFS ABC 2 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE和AC不垂直时，在图 2 和图 3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF 、 SCEF

4、 、 SABC 又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图1 图2 4、在ABC中， AB BC 2， ABC 120，将ABC绕点 B顺时针旋转角 （090）得 A1BC1，A1B交AC于点 E， A1C1分别交 AC、BC 于 D、 F 两点 （ 1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？并证 明你的结论； 2）如图 2，当30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由； 3）在（ 2）的情况下，求 ED 的长 5、如图 9，若ABC和ADE为等边三角形， M，N分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE ， AMN 是等边三角形

5、（1）当把 ADE绕A点旋转到图 10的位置时， CD=BE 是否仍然成立？若成立请证 明，若不成立请说明理由； （4 分） 2）当 ADE绕A 点旋转到图 11的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是， 请给出证明，并求出当 AB =2AD 时， ADE与ABC及AMN 的面积之比；若不是，请 说明理由（6 分） 图 11 N N 6、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等 边三角形， 线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点 F。 求证： 1） AN=MB. 2） CEF 为等边三角形。 3）将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变， （

6、1）中的结论是否 依然成立？ （只回答不证明 ）， （ 4） AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化， （只回答不证明 ）。 7、问题： 已知 ABC中， BAC 2 ACB，点 D 是ABC内的一点，且 AD CD， BD BA探究 DBC 与 ABC度数的比值 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 （ 1）当 BAC 90 时，依问题中的条件补全右图 观察图形， AB与 AC得数量关系为 ； 当退出 DAC 15 时，可进一步推出D B C的度数为 可得到 DBC 与 ABC 度数的比值为 2）当 BAC 90 时，请你画出图形，研究 中的结论

7、相同，写出你的猜想并加以证明 DBC 与 ABC 度数的比值是否与（ 1） 8、直线 CD 经过 BCA的顶点 C ， CA=CB E、F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC CFA （ 1）若直线 CD经过 BCA的内部，且 E、F在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若 BCA 90 , 90 ，则 EF BE AF （填“ ”，“ ” 或“ ”号）； 如图 2，若 0 BCA 180 ，若使中的结论仍然成立，则 与 BCA 应满足 的关系是 ； （2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA的外部， BCA，请探究 EF 、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明 图 1

8、 图 2 图3 第 23 题图 1 9、(1) 如图 1,在正方形 ABCD 中 ,点 E,F 分别在边 BC, CD 上,AE ,BF 交于点 O, AOF 90. 求证： BE CF. (2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H ,F ,G 分别在边 AB, BC,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O,FOH 90, EF 4.求 GH 的长 . (3) 已知点 E,H ,F ,G分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD ,DA上， EF ,GH 交于点 O, FOH 90,EF 4. 直接写出下列两题的答案： 如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成 ,求

9、 GH 的长； 10 、 如 图 ， 直 角 梯 形 ABCD 中 ， ADBC ， BCD 90 ， 且 CD 2AD，tan ABC 2 ，过点 D 作 DE AB ，交 BCD 的平分线于点 E，连接 BE （ 1）求证： BC CD ； （2）将BCE绕点 C，顺时针旋转 90得到DCG ，连接 EG.求证： CD 垂直平分 EG. （3）延长 BE交CD于点 P求证： P是CD的中点 A D G 11、已知：如图， AF 平分 BAC， BCAF ， 垂足为 E，点 D 与点 A关于点 E 对称， B PB 分别与线段 CF ，AF 相交于 P，M （1）求证： AB=CD ； （2）若 BAC=2MPC ，请你判断 F 与MCD 的数量关系，并说明理由 10