（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第二十二章 选修4系列 22.1 矩阵与变换课件

1、第二十二章选修4系列 22.1矩阵与变换 高考数学高考数学 1.矩阵的概念 在数学中,我们把形如,这样的矩形数字(或字母)阵列称 为矩阵(matrix). 记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,或(aij)(其 中i,j分别为元素aij所在的行和列). 矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件: (1)A与B的行数与列数分别相等; 341 233 2 32 t 1 3 知识清单 (2)A与B对应位置的元素也分别相等. 则称A与B相等并记为A=B. 说明:如果A=(aij)mn中行数与列数相等,即m=n,比如,则称A为m阶方 矩阵或m阶方阵.方阵在矩阵理论中占有重要

2、的地位. 2.矩阵乘法定义 一般地,我们规定行矩阵a11,a12与列矩阵的乘法规则为a11,a12 =a11b11+a12b21,二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为= . 2 32 t 11 21 b b 11 21 b b ab cd x y ab cd x y axby cxdy 说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN 后TM)的复合变换. 一般地,对于平面上的任意一个向量P=,若按照对应法则T,总能对应 唯一的一个向量P= ,则称T为一个变换(transformation),简记为: T:(x,y)(x,y)或T:. 3.几种常见的平面变换 恒等变换:对平面上任何一

3、点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都 把自己变成自己.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单 位矩阵,所实施的对应变换称作恒等变换. x y x y x y x y 10 01 伸压变换:像,(m,n0,|m|,|n|1),这种将平面图形作沿y轴 方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称作沿y 轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压 变换. 反射变换:像,这样将一个平面图形F变为关于定直 线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称为反射变换矩阵,相应的变换 称为反射变换.,对应于轴反射,对应于中心反射. 旋转变换:矩阵通常叫做旋转变换矩阵,对应的

4、变换称作旋 转变换,其中的角叫做旋转角. 10 0n m0 01 10 01 10 01 10 01 10 01 10 01 10 01 cossin sincos 投影变换:像,这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点) 上的变换矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称作投影变换. 切变变换:矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移|ky|个单位;当 ky0时,沿x轴正方向移动;当ky0),或者方向相反(0),特别地,当=0时,特征向 量就被变成了0. (3)特征多项式 设是二阶矩阵A=的一个特征值,它的一个特征向量为=,则A =,即满足二元一次方程组 故(*) 由特征向量的定义知0,因

5、此x,y不全为0,若要上述二元一次方程组有 ab cd x y x y x y x y axbyx, cxdyy, (a)xby0, cx(d)y0. 不全为0的解,则必须有D=0,即=0. 定义:设A=是一个二阶矩阵,R,我们把多项式 f()=2-(a+d)+ad-bc称为A的特征多项式. (4)求矩阵的特征值与特征向量 如果是二阶矩阵A的特征值,则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一 个根,它满足f()=0.此时,将代入二元一次方程组(*),就可以得到一组非 零解,于是,非零向量即为A的属于的一个特征向量. ab cd ab cd ab cd 0 0 x y 0 0 x y 求解逆矩阵求解逆矩

6、阵 求逆矩阵常用的三种方法: (1)待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵,则AA-1=A-1A=E(E为单位 矩阵). (2)公式法:=ad-bc,记为det A,有A-1=(当且仅当det A=ad -bc0时可用). (3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵. ab cd ab cd db detA detA ca detA detA 方法技巧 方法1 例1 (2017江苏南通中学期中)设矩阵A=的逆矩阵为A-1,矩阵B满 足AB=,求A-1,B. 3 1 12 37 解析因为A=,所以|A|=-7+6=-1. 由逆矩阵公式得,A-1=. 因为AB=,所以B=A-1AB=. 12 37 12 37 72 31 3 1 72 31 3 1 19 8 矩阵变换的应用矩阵变换的应用 利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标,再利用曲线或图形的性质 求解相关问题. 例2 (2017江苏苏北四市摸底考试)求椭圆C:+=1在矩阵A= 对应的变换作用下所得的曲线的方程. 2 x 9 2 y 4 1 0 3 1 0 2 方法2 解析设椭圆C上的点(x1,y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x,y). 则=, 则代入椭