半经典激光的自洽场方程

1、6.3 激光场的振荡方程 研究谐振腔内场与物质相互作用所产生的激研究谐振腔内场与物质相互作用所产生的激 光放大及振荡现象。光放大及振荡现象。 假设谐振腔内假设谐振腔内,均匀地充满了已经形成粒子数均匀地充满了已经形成粒子数 反转的激活介质反转的激活介质. 6.3.1 激光振荡条件 自洽场 往复影响，在适当的条件下最终就会形往复影响，在适当的条件下最终就会形 成稳定的电磁场。成稳定的电磁场。elo=eli 稳定振荡时产生感生电偶极子的场就是稳定振荡时产生感生电偶极子的场就是 各个偶极子所产生的场各个偶极子所产生的场 pl elo(r,t)pl(r,t) eli(r,t) 推导激光的电磁场方程，又称

2、兰姆自洽场推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场 方程方程 求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化 强度。强度。 由于工作物质是由大量的、处于不同运动由于工作物质是由大量的、处于不同运动 状态前粒子所组成所以在求宏观极化强状态前粒子所组成所以在求宏观极化强 度时，要采用量子统计中的密度矩阵方法。度时，要采用量子统计中的密度矩阵方法。 l rrln l g 211 2 1 (6.3.20) 6.3.2激光振荡的自恰场方程 22 2 0000 22 eep e ttt 腔损耗而引入的一个唯象阻尼因子腔损耗而引入的一个唯象阻尼因子场源场源 (6.3.24) 设激光场是

3、线偏振的设激光场是线偏振的,谐振腔内的电磁场主谐振腔内的电磁场主 要沿要沿z轴方向传播轴方向传播,而且在垂直于腔轴线的方向上而且在垂直于腔轴线的方向上 变化不大变化不大,即即 00 2 2 2 2 y e x e (6.3.25) 则则 设激光谐振腔为平行平面腔，腔长为设激光谐振腔为平行平面腔，腔长为l，腔，腔 的轴线为的轴线为z抽。由于谐振腔的存在，只有沿抽。由于谐振腔的存在，只有沿z轴轴 并且满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定并且满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定 模式。模式。 2 n nl l cn l n k n n (6.3.34) 2 2 0 2 2 000 2 2 t p t

4、 e t e z e (6.3.26) (6.3.32) 于是第于是第n个模可写成下述驻波形式：个模可写成下述驻波形式： )sin()(zkta nn 在无源无损腔在无源无损腔(p=0， 0)情形下情形下 zksin)tcos(e)t , z(e nnnnn 0 在有源腔在有源腔(p 0，0)情形下，情形下， （1)、由于阻尼和场源的存在，腔内场可能被放、由于阻尼和场源的存在，腔内场可能被放 大或衰减，场的振幅将随时间变化；大或衰减，场的振幅将随时间变化； （2）、由于激活媒质的色散，有源腔模式谐振频）、由于激活媒质的色散，有源腔模式谐振频 率与无源腔本征谐振频率稍有偏移率与无源腔本征谐振频率

5、稍有偏移(即频率牵引与频率即频率牵引与频率 推斥推斥)， (6.3.31) （3）、在一个光频周期内，）、在一个光频周期内，e0n(t)和和 n(t)为时间为时间t的的 慢变函数。慢变函数。 n是有源腔的频率。将是有源腔的频率。将(6.3.36)代入代入(6.3.26)标量方程标量方程, 两端同乘两端同乘sin(kmz)，并对并对0l积分，考虑到：积分，考虑到： 因此有源腔的辐射场表示为：因此有源腔的辐射场表示为： n nnnn )ttcos()zksin(te)t , z(e 0 (6.3.36) (6.3.39) tptete)t (ek mmmmmm 0000 2 l mnmn dzzk

6、zk l 0 )sin()sin( 2 (6.3.38) 得到得到: 由于介质的色散由于介质的色散, 一般为复数一般为复数 (4)、在各向同性的均匀介质中、在各向同性的均匀介质中z点的极化强度与该点的极化强度与该 点的电场强度成正比。又根据自洽场的概念，产生点的电场强度成正比。又根据自洽场的概念，产生 极化强度的场就是极化强度产生的场，所以令：极化强度的场就是极化强度产生的场，所以令： (6.3.42) n tt i nn . c . ce )zksin(tp )t , z(p nn 2 1 有有 l mm dz)zksin()t , z(p l )t (p 0 2 (6.3.40) pm(t

7、)为极化强度的空间傅里叶分量为极化强度的空间傅里叶分量 tistctp nnn (6.3.43) (5)、 cm(t)与与sm(t)也是时间的缓变化函数，也是时间的缓变化函数，忽忽 略略cm(t)、sm(t)以及以及m(t)一阶和二阶导数。一阶和二阶导数。因因 此有此有, ttsintsttcostctp mmmmmmm tptp mmm 2 式式(6.3.39)变为有变为有 (6.3.44) (6.3.46) qm为谐振腔对频率为谐振腔对频率 为为m的模式的品质的模式的品质 因数因数 (6.3.45) tp)t (ete q te m m mmm m m m 0 2 m m m q 0 并比

8、较方程两端正弦项和余弦项，可得：并比较方程两端正弦项和余弦项，可得： 将将(6.3.37)em(t)和和(6.3.44)pm(t)代入代入 tettt q te q te mm m m m m m m000 、 （6）、忽略）、忽略 tp)t (ete q te m m mmm m m m 0 2 m m m m qc c k 0 00 1 tctet m m mmmm 0 2 0 2 2 考虑到激活腔模的频率与无源腔模的频率相考虑到激活腔模的频率与无源腔模的频率相 差很小差很小)( mmmmmmm 2 2 2 tste q te m m m m m m 0 00 2 1 2 1 )tc e

9、m m m mmm 00 2 1 (6.3.47) (6.3.47) 方程组就是半经典理论中激光场所满足的自洽方程。方程组就是半经典理论中激光场所满足的自洽方程。 )tp re(tet )tp im(te q te m m mmmm m m m m m m 0 0 0 00 2 1 2 1 2 1 频率方程频率方程 振幅方程振幅方程 (6.3.48) 自洽方程的物理意义 (1) 当不存在激活媒质时，当不存在激活媒质时， ，辐射场的模，辐射场的模 强度强度im e0m2，即：，即： )t q exp()(i)t (i m m mm 0 随时间指数衰减随时间指数衰减 0tp m (2) 当存在激活

10、媒质时，当存在激活媒质时， 当当 m0时，时，媒质对媒质对 场具有场具有“增益增益”作作 用用 teitetp mmmmmm0000 自洽方程自洽方程 mmmmm mmmm m m m tete q te 2 1 2 1 2 1 000 而 mmmm m m m ii q i 激活腔振荡激活腔振荡 模频率模频率 激活媒质将使激光振荡频率激活媒质将使激光振荡频率 偏离非激活腔偏离非激活腔 的本征频率的本征频率 m，即发生频率牵引或频率排斥现象，即发生频率牵引或频率排斥现象 mm 0tp m 从而激活媒质的折射率为从而激活媒质的折射率为 激活腔模的波矢仍由腔的驻波条件所决定激活腔模的波矢仍由腔的驻

11、波条件所决定 cl m k mmm m m v mmm m mm m m m c 2 1 v mmmm m m m ii q i mm m m m m m m qdt dz dzi di i i 定义净增定义净增 益系数益系数 m mm m mmm m e ccqdz di i g 1 自洽方程说明，激光振荡特性与媒质极化自洽方程说明，激光振荡特性与媒质极化 强度之间存在着简单的关系，只要能确定强度之间存在着简单的关系，只要能确定 媒质的极化状态，利用自洽方程就可求出媒质的极化状态，利用自洽方程就可求出 场模的振幅及频率的特性。场模的振幅及频率的特性。 m mm m mmm m e ccqdz

12、 di i g 1 mm g 基本步骤 1、利用、利用(6.2.18)，求出，求出ab及及ba(一阶、三一阶、三 阶阶) 2、利用、利用(5.6.5)，p=d(ab+ba)，得到极化，得到极化 强度强度p(z,t)的一阶以及三阶近似。的一阶以及三阶近似。 3、将、将p(z,t)代入代入(6.3.40) l mm dz)zksin()t , z(p l )t (p 0 2 得得p(1)m(t)以及以及p(3)m(t)，将，将p(1)m(t)以及以及p(3)m(t) 表示为表示为(6.3.44)的标准形式的标准形式 ttsintsttcostctp mmmmmmm 4、在一阶近似下，将、在一阶近似下，将c(1)m(t)以及以及s(1)