2020年考研数学二试题及答案

1、精品WORD可修改欢迎下载全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：【8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 7Y 4- Y(1) 曲线y渐近线的条数()-1(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：(i) 当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果H到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条 直线称为这条曲线的渐近线。(ii) 渐近线分为水平渐近线(lim/(x)=b,方为常数)、垂直渐近线(lim/(x) = s)和斜渐近线(li

2、m/(x)-(ax+jh) = O, 上为常数)。.V-X(iii) 注意：如果(1) lim2L2 不存在：YY X(2) lim竺 =s 但hmf(x)-ax不存在，可断定/(“)不存在斜渐近线。v2 + x在本题中，函数y = l上的间断点只有X = lJC 一1由于limy = s,故x=l是垂直渐近线.YTl (而lim y = lim十=丄，故兀=一1不是渐近线)心 +1)(兀一1) 21+丄又lim y = lim=1，故y = l是水平渐近线.(无斜渐近线)XT8XII 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2)设函数/(X)= & 一 1)(0 一2)(严一心其中川为正整数，

3、则f (0)=()稱品WORD可修改欢迎下载(A)(B) (一1)”(“一1)!(C) (-l)n_,M!(D) (一1)5!【答案】A【考点】导数的概念【难易度】【详解一】本题涉及到的主要知识点： 广(如)=1曲竺=恤心+小7(如).在本题中，按定义r(0) = linJW(叽恤 3一1)(八一2)(严 j)xt()X 0丫宀X= (-l)x(-2)xX-(n-1) = (-1),_1 (”-1)!.故选 A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：fx) = M(x)v(x)r = ux)v(x)+u(x)vXx).在本题中，用乘积求导公式.含因子，-1项在兀=0为0,故只留下一项.于是广(0)

4、 = ex (戶 _ 2)(严力仁=(-l)x (-2) X.X -(n 一 1) = (_ 1)”“ (“ _ 1)!故选(A).(3) 设0( = 12)，S“=+“2+3+- + “，则数列二有界是数列“”收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】【详解】因0( = 1,2,.),所以 S” =5 +“2+“3+ + 单调上升.若数列有界，则limS”存在，于是noclima” = lim(S“ 一Sn_) = limS” 一limSn_t = 0“f 3CTOCTOO反之，若数列收敛，则数列不一定有

5、界例如，取勺=1( = 1,2,)，则Sn=n是无界的.精品WORD可修改欢迎下载因此，数列S”有界是数列%收敛的充分非必要条件.故选(B).k 2 设耳= e亍 sinxdx(k = 1,2,3)则有()(A) /,Z2/3(B) /3/2Z,(0 /2/3Z,(D) /2 /, /3【答案】D【考点】泄积分的基本性质【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设 a v c v /?,则 = f(xlx +f(xlx.在本题中，人= ex sin xdx , /、= ex sin xdx, L = JK sin xdx2zr 2I? 一 I、= j ex sin xdx /2 A则使不等式=

6、J e,r sin(r _ 7rlt + J*：。 sin xdx = J, R -ex sin xdx 0 = /因此I2I0,彳丄 x2 y, x2 , y y2(C)x2,y2(D) 旳【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点： 函数单调性的判左法 设函数y = /(x)在ab上连续，在(“)内可导.如果在(恥)内f(X) 0 ,那么函数)=/(对在。上上单调增加;如果在(M)内f(x) 0,当y固左时对X单调上升，故当xx?时/Cs”)v/(x”yJ dx又因of 0,当x固泄时对y单调下降，故当时/(1)/(禺小)因此当儿时/(X，

7、X)/(兀2，儿)/(疋2) 故选D.(6)设区域 )由曲线 y = sinx, x = 3, y = 11 l;l 成，则(入y=() 2D(A) n(B) 2(C) -2(D) 一龙【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：jf /(x. yWy D0,/(如刃对乳或)，为奇函数，1/(x, ylxdy /(x, y)对x 或y 为偶函数三 I11在本题中，f(x5y- )clxdy =匚 Jx(Fy - l)Jy = ;T(-xsy2 一 y) dxD*T亍/sinx(1 一 sinxM兀=一龙其中(1-sin2 a), sinx均为奇函数，所以X IMJ

8、-x5(l-sin2A)Jx = O, jsinxJA=O故选(D)(7)设 ,=0、0,=1，a严 1、一 1,4 =1,其中也心心为任意常数,则下列向量1- J0丿组线性相关的为()(A)(B)(0(D)色，色，巾【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：n个维向量相关0囱,| =0在本题中，显然0 1 -1alta3ta4= 0 -11 =0,q (2 C3所以乞,色.勺必线性相关故选c.10 0、设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且p-lAP= 0 1 0 .若P二(勺，勺心人a = (a)+,0 0 2丿0 0 1 /【答案】B【考点】矩阵

9、的初等变换；初等矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个加x “矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的川阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的”阶初等矩阵.在本题中，由于P经列变换为Q,有I00Q = P110= PE 门,001那么 QAQ = PEI2(1)F，API2(1) = 100_j1001 一11011101001.2.001. 2.故选B 二 填空题：9 14小题,每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9)设y = y(x)是由方程x2-y + = ey所确定的隐函数，则丁亍 =.故x=0【答案】1【考点

10、】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指左的自变量求偏导数(或导数)，此时一左要注意 谁是自变疑，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程 组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变虽的地位是平等的，然 后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些， 若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。在本题中，令x = 0,得y(

11、0) = 0.等式两边同时对x求导，得2x_y=e、y(*)令 x = 0, y = 0 得y(0) = y(0),于是/(0) = 0再将(勺是对x求导得2-/=y2+y精品WORD可修改欢迎下载精品WORD可修改欢迎下载令x = 0, y = 0, y = 0得 2-/(0) = /(0)于是 y(0) = 11 1 1 )(10) linv? -_ +_ + + _ =x 1 + 矿 2 + rrtr + ir )【答案】-4【考点】左积分的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用宦积分加义求某些和式的极限(先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就 是一个左积分)特

12、别是对于项和数列的极限，应该注意到:lindy /(丄)=C f(x)dx E n n Jo在本题中，由积分立义，lim n(-)2 + in(-T+1nTC4=r dx = arctan xJol + x2(11)设z = f (lnx +丄)，其中函数/(“)可微，则X + r =ydx dy【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点: 二元函数z = fu(x. y)(是一元函数/(“)与二元函数u = h(x, y)的复合函数)，在变量替换u=u(x.y)下，得到z对I y的偏导数为=/V) =.所以备瓚=。dxdx dydy在本题中，根据题中条件可

13、知， = /(/)-, = f(u) 一丄 dxx dyy(12)微分方程ydx + (x-3y2)dy = 0满足条件=1的解为7=【答案】x = y2 (或y = 7T)【考点】一阶线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：方程弓+ P(x)y = Q(x)叫做一阶线性微分方程，其通解为y =门冯2(a)J，AV5/x + C).fix 1在本题中，方程可整理为+ -x = 3y,将X看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为 心yx = e j 3 ye dy + C =(y*+C)丄.又 y=1,得 C = 0,故 x = y2 (或=石)为所求解.(13)曲线 y = x

14、2+x(ry = 0故坐标为(-1,0).(14)设A为3阶矩阵，|4| = 3, A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵3,贝iJ|ba=【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个加x “矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的川阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.0 1 0、在本题中，设e12= 1 0 0、0 o L则 B = El2A ,从而 | | = Ei2AA = 一0=-27.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写

15、出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)已知函数/(x) =(I) 求a的值:(II)当xtO时，f(x)-a与十是同阶无穷小，求常数R的值.【考点】无穷小量的比较【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：当时，sinx = x-x3 +o(x3) =sinxx，x-sinx1 2X/T、r/ 1- x-+x-sin工 x+x-smx5(1 ) a = lim / (x) = Inn= lim；= 1 + lim- = 1 ) ursinx 2 x-2 x-(II) a = 精品WORD可修改欢迎下载精品WORD可修改欢迎下载方法一：利用泰勒公式/(刃-1. X2 +x-sinx-xsinx=

16、limz 右sin xHO解得 = 1方法二：利用等价无穷小量代换八 X2 +x-sinx-xsinx)亠xsinx=(x+l)(x-sinx)xsinx9 I当xtO时，/(x)-l- = -x,所以k = .(16)求函数fx.y) = xe 的极值.【考点】函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设z = /(x,y)在点(心,儿)的某邻域有连续的二阶偏导数，又(兀,) = 0, (xo,yo) = O.令/(A-0,y0) = A,几(心仇)=，厂划(冷,旳)=C , 则(1) 当AC-B2m, f(x.y)在(心儿)取极值，且当40时取极小值，

17、A0时取极大值:(2) 当AC-B20, A0. A0,所以/(x,y)在(亠0)取得极小值，极小值为-二(17)过点(0, 1)作曲线L.y = nx的切线，切点为A，又乙与x轴交于B点，区域D由厶与 直线AB及x轴困成，求区域D的而积及D绕大轴旋转一周所得旋转体的体积.【考点】导数的几何意义、泄积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：(i)函数)，=/在点处的导数广(无)是曲线y = /(x)在点(兀,/(无)处的切线的斜率.函数：(ii) 函数 f(y) , g(y)在“,b连续，则由曲线x = f(y) , x = g(y)及直线 y = a, y = b(a b) 所囤区

18、域的面积S = |/O) - g(刃0 :(iii) 曲线y = f(x)(ax的而积S = In xdx-(2 -1) 2 = xIn x|* x- -Lzv-(2 -1) = 2e2 -(e2 -1)-(2 -1) = 2. 2D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V = -j In2 az/x-22 -(e2 -V)= TtxXn1 一町 21n az/x- -1).?42= 4/re2 -2xlnx +2龙(/ 一1)一；龙(/ -1)=二兀(云-1)(18)计算二重积分JJ-vydb,英中区域D由曲线r = l + cosW y = rsin,则D的极坐标表示是 0, 0r4(1-)6 =

19、 (32存(l+叽广J：(l +心(19)已知函数 /(x)满足方程+ fx) - 2 f(x) = 0 及 fx) + /(%) = 2ex()求JX)的表达式;稱品WORD可修改欢迎下载(II)求曲线 y = f(x2)f(-t2)dt 的拐点.【考点】二阶常系数齐次线性微分方程：函数图形的拐点【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：(i) 二阶常系数齐次线性微分方程+ = 0的特征方程r2 + pr + q = 0有两个不同的实根，微分方程的通解形式为 = C0 + C2C .(ii) 拐点的充分判别泄理：设/(x)在(Q,b)内二阶可导，心丘(“小)，则/*(x) = 0,若在心两

20、侧附近/(勺)异号，则点(,/(%)为曲线的拐点.(I)因/(力满足r(x) + fx)-2f(x) = 0fx) + f(x) = 2ex由得fix) = 2e -f(x),代入得广 3/(x) = -2ex ,两边乘e亠得尸丁(X) = 2e亠积分得 e3xf(x) = e 亠 + c ,即 /(X)= K + Ce3x代入式得/ +9Ce3x + 0 + Ceix =2ex =C = 0,于是fx) = e代入式自然成立.因此求得fM = ex(II)曲线方程为y = exle,：dt为求拐点，先求岀y.y1 = 2xex e dt +1 ,y = 2ex erdt +r J() , 0

21、, x (X由于 y(x)卜 o, =o,0, 1 + -, (-1 x0,那么函数)，=/(X)在“，切上单调增加； 如果在上)内fx) 0 (xe(-lj)因fM = /(-x),即/(x)为偶函数,故只需考察xno的情形.用单调性方法.1+XTx1+X1+ 1-x1-x-sinx-xPM =丄+丄+亠+亠一 cosx1 + x 1-x(1-x)2(1 + X)2rw=1 1 2 2(l + x)2 + (l-x)2 + (l-x)3(l + x)3+ sinx 0(xe (0J),其中(1劝2_( +羽20,2 一 0 , sinx0(xe(0J)(1-x)3 (1 + 窃因 xe(OJ

22、)时/(x)0,又 fx)在0,1)连续= fx)在0,1)/, fx) 广(0) = 2 0(0,1),同理 fx)在0,1)/, f(x) 广(0) = 0(x e (0,1) =/(x)在0,1)/,f(x) /(0) = 0(xe(0J).X因/(兀)为偶函数=/(x)0(xe(-l,l),x0), /(0) = 0.即原不等式成立.精品WORD可修改欢迎下载(21)(I) 证明：方程Z+Z1+. + %= 1(71为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根:2丿(II) 记(【)中的实根为证明lim兀存在，并求此极限.noc【考点】闭区间上连续函数的性质【难易度】【证明】本题涉及到的主

23、要知识点：零点定理:设函数/(%)在闭区间S，切上连续,且/(“)与/(方)异号(即f(a)- /(/7)0,f (丄)=丄 + A + + -1 0(丄 v x v 1),2所以/(X)在/(X)在(丄,1)的零点唯一，即y,4-y,-,+.+x=i在G，i)内只有一个2 2 2 根.(II )记(兀)=0 +*“ + . + X 1 ,它的唯一零点记为兀( e (丄,1).现证 .由于2显然九G）vO,几（兀）=坍 =几心）在（，兀）有唯一零点，此零点必然是和，且17 v 兀因此单调下降且有界，故必存在极限lim暫e 丄,1）“T82r _严I因+ 耳=1,即 77=1,1 一俎c_0(=

24、1l-d1= a =2即塑0冷.1 a 00、01 a 0-1,0=001 G0 0 0 1 ；W丿(22)设人=（I）计算行列式同：（II）当实数取何值时，方程组Ax = 0有无穷多解，并求英通解.【考点】行列式按行（列）展开迩理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）行列式按行（列）展开龙理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 乘积之和9即D = “訂A】+ 2A2 +。加4” （i = 1,2,w） 9或 =切亀 + a2jA2j + + anjAnJ (J = 1,2,料)（ii）设人是/nxh矩阵，方程组Ax = b,则方程组有无穷多解04）=厂（习）”（I）按第一列展开，即得00 =1一/1 a同=10 10 0（II）因为A=0时，方程组山=0有可能有无穷多解由（I）知a = a = -可修改欢迎下载精品WORD当“=1时，(內0)=110 01110 01 0 110-10 110-10 0 1100 0 11010 0 100 0 0 02.心)= 4,由于心)= 3,故方程组无解因此，当a = 忖不合题意，应舍去.当“ =一1时,(