抽样估计案例(1)

1、2 2 2 1 )( x ex .11 抽样推断抽样推断是按随机原则从全部研是按随机原则从全部研 究对象中抽取部分单位进行观察，并根据究对象中抽取部分单位进行观察，并根据 样本的实际数据对总体的数量特征作出具样本的实际数据对总体的数量特征作出具 有一定可靠程度的估计和判断有一定可靠程度的估计和判断。 抽样推断的特点：抽样推断的特点： n它是由部分推断整体的一种认识方法它是由部分推断整体的一种认识方法 n抽样推断建立在随机取样的基础上抽样推断建立在随机取样的基础上 n抽样推断运用概率估计的方法抽样推断运用概率估计的方法。 n抽样推断的误差可以事先计算并加以控制抽样推断的误差可以事先计算并加以控制

2、 .12 参数估计参数估计 参数估计是依据所获得的参数估计是依据所获得的 样本观察资料，对所研究现象总体的水平、样本观察资料，对所研究现象总体的水平、 结构、规模等数量特征进行估计。结构、规模等数量特征进行估计。 假设检验假设检验 假设检验是利用样本的实假设检验是利用样本的实 际资料来检验事先对总体某些数量特征所际资料来检验事先对总体某些数量特征所 作的假设是否可信的一种统计分析方法。作的假设是否可信的一种统计分析方法。 抽样推断的内容抽样推断的内容 一、总体、样本、抽样框 二、随机抽样与随机样本 三、抽样方法 四、抽样组织方式 五、总体指标与样本指标 六、常用的总体指标与样本指标 七、抽样误

3、差 )( 2 _ P X )( 2 _ ss p x随 机 性 确 定 性 p n n nn nn x 1 01 01 _ 01 )1( )1()1()1( )1(2 2 01 22 232 2 0 2 111 01 0 2 1 2 2 pp pppppp PPppp n pnpnpnn nn npnp s _ Xx x Pp p PpXx, _ 一、样本平均数的分布 二、抽样平均误差的计算公式 ,( )xXx n x _ x _ x _ x 频 数 1 1 2345 6 0 3 2 _ x 2 1 3 2 4 3 5 2 6 1 1 2 3 2 1 36 4 9 246 4 3 _ x 15

4、. 1 12321 1) 46 (2) 45 (3) 44( 2) 43 (1) 42( 222 22 222 (24 )4464 1 .6 3 3 （）（） 1.63 1.15 2 x _ x _ x _ x 246 4 3 4 222 252423 _ x 222 245244243 222 )()()( 222 (24 )4464 1 .6 3 3 （）（） 1.63 1.15 2 81650. 1 N nN 1 N nN n xuXx )(, ,()xXx n 2 () xXf x f n s n 1 )( 2_ N nN n x n x 2_ )( 重复抽样重复抽样 不重复抽样不重复

5、抽样 1 )1 ( )( _ N nN n PP p n PP p )( )( _ 1 重复重复 抽样抽样 不重复不重复 抽样抽样 1 2 N nN n n 2 1 1 N nN n PP)( n PP)( 1 2 s 2 _ _ _ 222 _ _ _ 1 0 0 0 0 ,5 0 ,2 ,4 9 2 0 .2 8 2 8 5 0 Nnsx s x nn 22 _ _ _ 2 11 21 0 0 0 05 0 0 .2 8 2 1() 5 01 0 0 0 01 NnsNn x nNnN 根 02179.0 100 %5%95 )1()1( _ n pp n PP p _ 0.950.051

6、0000100 100100001 0.021686 p )(21.21 200 300 300,200 2 22_ 小时 n s n x sn 008080 300 0209801 9899300 21 . .)( %, _ n PP p PPn 一、点估计 二、区间估计 三、样本容量的确定 _ x _ X p P 一位同学和一位训练有素的射击运动员一起一位同学和一位训练有素的射击运动员一起 进行射击练习，法令声响后，两人同时进行射击，进行射击练习，法令声响后，两人同时进行射击， 结果有一人命中十环。结果有一人命中十环。 )(E 无偏估计量无偏估计量 比较方差大小比较方差大小 一个方差较小的

7、无偏估计量称为一个更 有效的估计量。如，与其他估计量相比 ，样本均值是一个更有效的估计量 件优质品数量 优质品率 1700%852000 %85 .74 (一一)抽样极限误差抽样极限误差 (,) xx xx (,) pp pp Xx x Pp p 抽样极限误差的概率度抽样极限误差的概率度 l x p x p x p xx t pp t _ _ _ _ xp xx pp XxtPpt x tXx t p tXp t ； _ _ _ _ xp xx pp XxtPpt x tXx t p tXp t ； _ _ xx xtXxttt 概率度t 极限误差x 96. 196. 1 _ xXx 5 .

8、05 . 0 _ xXx _ xXx 5 . 15 . 1 _ xXx 22 _ xXx 33 _ xXx .81 l总体参数区间的基本特点：是根据给定的概率保证总体参数区间的基本特点：是根据给定的概率保证 程度的要求，利用实际抽样资料，指出总体被估计程度的要求，利用实际抽样资料，指出总体被估计 值的上限和下限，即指出总体参数可能存在的区间值的上限和下限，即指出总体参数可能存在的区间 范围。范围。 l换句话说，对于总体的被估计指标换句话说，对于总体的被估计指标X X，找出样本的两，找出样本的两 个估计量个估计量x x1 1和和x x2 2，使被估计指标，使被估计指标X X落在区间（落在区间（x

9、 x1 1，x x2 2） 内的概率内的概率1-1-，（，（0101），为已知的。），为已知的。 l 即即P P（x x1 1XxXx2 2)=1)=1一一是给定的。我们称区间是给定的。我们称区间 l（ x x1 1，x x2 2 ）为总体指标）为总体指标X X的置信区间，称的置信区间，称1-1-为估计为估计 置信度，称置信度，称为显著性水平，为显著性水平，x x1 1是置信下限，是置信下限，x x2 2是置是置 信上限。信上限。 例例11 对某型号的电子元件进行耐用性能检查对某型号的电子元件进行耐用性能检查 ，抽查的资料分组列表如下，要求耐用时数的，抽查的资料分组列表如下，要求耐用时数的 允

10、许误差范围允许误差范围x=10.5x=10.5小时，试估计该批电子小时，试估计该批电子 元件的平均耐用时数。元件的平均耐用时数。 已知抽样误差范围已知抽样误差范围, 求概率保证度求概率保证度(应用）应用） .84 1 1、计算抽样平均数和标准差、计算抽样平均数和标准差 2 2、根据给定的、根据给定的=10.5=10.5小时，计算总体平均数的上小时，计算总体平均数的上 下限，下限， 下限下限= = 上限上限= = 3 3、根据、根据t= t= ，查概率表得置信度，查概率表得置信度 F(t)=0.9545F(t)=0.9545 我们可以作如下估计，即可以概率我们可以作如下估计，即可以概率95.45

11、%95.45%的保证程的保证程 度，估计该批电子元件的耐用时数在度，估计该批电子元件的耐用时数在1045-10661045-1066小小 时之间。时之间。 1055.5 xf x f 2 () 51.91 xxf S f 51.91 5.191 100 x n 1055.5 10.51045 x x 1055.5 10.51066 x x 10.5 2 5.191 x x l首先抽取样本，计算抽样指标，作为相应总体指标首先抽取样本，计算抽样指标，作为相应总体指标 的估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差。的估计值，并计算样本标准差以推算抽样平均误差。 l其次，根据给定的置信度其次，根据给定

12、的置信度F F(t)(t)要求要求, ,查表求得概率查表求得概率 度度t t值。值。 l最后，根据概率度最后，根据概率度t t和抽样平均误差来推算抽样极和抽样平均误差来推算抽样极 限误差的可能范围，再根据抽样极差求出被估计总限误差的可能范围，再根据抽样极差求出被估计总 体措标的上下限，对总体参数作区间估计。体措标的上下限，对总体参数作区间估计。 例：某纱厂某时期内生产了例：某纱厂某时期内生产了1010万个单位的纱，以不重复万个单位的纱，以不重复 抽样方法总随机抽取抽样方法总随机抽取20002000个单位检验，检验结果合格率个单位检验，检验结果合格率 为为95%95%，废品率为，废品率为5%5%

13、，试以，试以95%95%的把握程度，估计全部的把握程度，估计全部 纱合格品率的区间范围及合格品数量的区间范围？纱合格品率的区间范围及合格品数量的区间范围？ 已知：已知： 100000N2000n %95p%51 p 95.0tF 96.1t N n n pp p 1 1 %48.0 100000 2000 1 2000 05.095.0 %94.0%48.096.1 pp t 区间下限：区间下限： %06.940094.095.0 p p 区间上限：区间上限： %94.950094.095.0 p p 56.4943.48 2828. 02492828. 0249 _ _ _ X X txXt

14、x %27.99%729.90 99270. 090729. 0 02179. 096. 195. 002179. 096. 195. 0 _ _ _ _ X X X tpXtp 合适作法是：合适作法是： 根据抽样工作性质的要求根据抽样工作性质的要求.,.,所允许的极限误差所允许的极限误差, ,以及以及 所要求的把握程度所要求的把握程度, ,来确定必要地样本容量来确定必要地样本容量 因此因此, ,样本容量可以根据极限误差的公式来确定样本容量可以根据极限误差的公式来确定. . 从导出的公式中可以看出：从导出的公式中可以看出： 第一第一. .总体的方差越大总体的方差越大, ,所需样本容量越大所需样

15、本容量越大. . 第二第二. .要求的把握程度要求的把握程度( (概率概率) )越高越高, ,所需样本容量越大所需样本容量越大. . 第三第三. .允许误差越大允许误差越大, ,所需样本容量越小。所需样本容量越小。 因此，样本容量可以根据极限误差因此，样本容量可以根据极限误差 的公式来确定的公式来确定。 2 xx tt n 2 22 x t n 22 2 x t n 22 1 1 Nnn ttt nNnN 222 222 1 n tt nNnN 222 2 tnN 2222 2 Nt nt N 22 222 tN n Nt 2 22 t n 2 2 1 PPt n 222 22 tN Nt n PPtN PNPt n 1 1 22 2 10000 ,25 ,2(95.45%), 5 Nt 袋克概 率 为 克 )(99 252100005 10000252 222 22 222 22 袋 tN Nt n 2222 22 225 100() 5 t n 袋 )(651 03. 0 07. 093. 03)1 ( %3 %),73.99( 3%,93,5000 2 2 2 2 件 概率为件 pPt n tPN )(576 07. 0