上海市上宝中学数学三角形解答题章末训练(Word版含解析

1、上海市上宝中学数学三角形解答题章末训练（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1.如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，Z1与Z2互补.（1）试判断直线AB与直线CD的位宜关系，并说明理由.如图2, ZBEF与ZEFD的角平分线交于点P, EP与CD交于点G,点H是MN上 一点，且GH丄EG,求证：PF/GH.如图3,在（2）的条件下，连接PH, K是GH上一点使ZPHK = AHPK,作平分【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角ZAEF、ZCFE互补，即可证明：（2）利用（2）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和左理可得ZEPF=90 ,

2、 即EG丄PF,再结合GH丄EG,即可证明；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得ZA=90 -Z3=90a -2Z2：然后由邻补 角的左义、角平分线的左义推知ZQPK-丄ZEPK二45。+/2,最后根据角与角间的和差关系2即可求解.【详解】 AB/CD，理由如下：如图4Z1与Z2互补， Zl + Z2 = 180, 又Z1 = ZAEF Z2 = ZCFE， ZAEF+ ZCF = 180。， AB/CD；(2)如图2,由知,AB/CD,:.ZBEF + ZEFD = 180。.又T ZBEF与ZEFD的角平分线交于点P，:.ZFEP + AEFP = | (ZBEF + ZEFD)

3、 = 90 ,ZEPF = 90,即EG丄PF.V GH 丄 EG,:.PF/GH；如图3,T APHK = AHPK，:.APKG = 2AHPK.又T GH丄EG, ZKPG = 90 - ZPKG = 90 - 2乙HPK . ZEPK = 180 - AKPG = 90 + 2乙HPK .PQ 平分 ZEPK，:.ZQPK = + ZEPK = 45: + ZHPK .ZHPQ = ZQPK - ZHPK = 45?.【点睛】本题主要考査了平行线的判疋与性质、角平分线的性质、三角形内角和左理等知识.解题过 程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.2. 在一个三角形中，如果一个角是另一

4、个角的3倍，这样的三角形我们称之为灵动三角 形”.如，三个内角分别为120。, 40。，20。的三角形是“灵动三角形”.如图，ZMO/V=60 ,在射线OM上找一点过点人作丄OM交0/V于点B,以人为 端点作射线&D，交线段OB于点C （规定0 Z0AC Z E+ Z F= Z HGK+ ZGKH tZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2 (ZGKH+ZGHK+ZHGK) =2xl80=360 ,故答案为: 360；(2) 如图,连结BC,(2) ZE+ZG=ZGCB+ZEBC, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=五边形 FABCD 的内角和, 即ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+Z

5、G= (5-2) 180=540%故答案为：540。：（3）图中共有6个“8字型”：故答案为：6.：TCF平分ZBCD, EF平分ZBEDAZDEG=ZAEG, ZACH=ZBCH,在ZDGE 和ZkFGC 中，ZDGE=ZFGC ZD+ZDEG=ZF+ZACH在 BHC 和FHE 中，ZBHC=ZFHE:.ZB+ZBCH=ZF+ZAEGAZD+ZDEG+ZB+ZBCH=ZF+ZACH+ZF+ZAEGAZD+ZB=2ZF：VZB： ZD： ZF=4： 6： x, ZD+ZB=2ZF,点睛：考査了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别 图形是解题的关键.7.数学活动课

6、上，老师提岀了一个问题：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与 它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？(1) 独立思考，请你完成老师提岀的问题：如图所示,已知ZDBC和ZBCE分别为ZkABC的两个外角，试探究ZA和ZDBC z Z BCE之 间的数量关系.解：合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角ZCBD和ZBCE的平分线BF和 CF,交于点F (如图所示)，那么ZA与ZF之间有何数量关系？请写岀解答过程.答案】(1) Z DBC+Z BCE - Z A=180e ( 2 ) -Z A+Z F=902【解析】【分析】(1) 根据三角形的

7、一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和左理计算即可.(2) 根据角平分线可知ZFBC+ZFCB=i ( ZDBC+ZBCE,)再根据三角形内角和泄理，结 合(2)即可解答.【详解】(DZDBC+ZBCE - ZA=180ZDBC+ZBCE= ZABC+ZA+ZACB+ZA=180+ZA即ZDBC+ZBCE - ZA二 1802(2 ) - ZA+ZF=902VBF和CF分别平分ZCBD和ZBCE ,1 1AZCBF=- ZCBD , ZBCF=- ZBCE.2 2.ZCBF+ZBCF=g (ZCBD+ZBCE).VZCBF+ZBCF=1805 - ZF , ZDBC+ZBCE=18

8、05+ZA.A180 - ZF = - ( ZCBD+ZBCE ) =- (180+ZA)2 21- ZA+ZF=9022【点睛】本题考查了三角形外角性质及三角形内角和是理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.8.已知ZkABC, (1)如图1,若D点是AABC内任一点.求证:ZD=ZA+ZABD+ZACD.(2) 若D点是 ABC外一点，位置如图2所示.猜想ZD. ZA、ZABD. ZACD有怎 样的关系？请直接写出所满足的关系式.(不需要证明)(3) 若D点是AABC外一点，位置如图3所示、猜想ZD、ZA、ZABD. ZACDZ间 有怎样的关系，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析：(

9、2) ZD+ZA+ZABD+ZACD二360 :(3)ZD+ZACD=ZA+ZABD,证明见解析.【解析】试题分析：(1)由ZBDC二Z2+ZCED, ZCED二ZA+Z1,可以得出 ZD=ZA+ZABD+ZACD.(2) 由ZD+ZA+ZABD+ZACD二ZA+ZABC+ZACB+ZD+ZDBC+DCB,ZA+ZABC+ZACB二 180 , ZD+ZDBC+DCB=180 ,可以得出ZD+ZA+ZABD-ZACD二360 (3) 根据三角形的外角性质沱理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可 知ZAED二Zl+ZA, ZAED二ZD+Z2,所以可知ZA+Z1 二ZD+Z2 即Z

10、D+ZACD二ZA+ZABD. 试题解析：(1)证明：延长BD交AC于点E.V ZBDC 是ZkCDE 的外角， ZBDC二Z2+ZCED,V ZCED 是AABE 的外角，ZCED二ZA+Z1. ZBDC二ZA+Z1+Z2.即 ZD二ZA+ZABD+ZACD(2) I ZD+ZA+ZABD+ZACD二ZA+ZABC+ZACB+ZD+ZDBC+DCB,ZA+ZABC+ZACB二 180 , ZD+ZDBC+ZDCB二 180 , ZD+ZA+ZABD+ZACD二360 (3) 证明：令BD、AC交于点E,V ZAED是 ABE的外角， ZAED=Z1+ZA, ZAED是ACDE的外角， ZAE

11、D=ZD+Z2. ZA+Z1=ZD+Z2 即ZD+ZACD二ZA+ZABD点睛：本题主要考査三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三 角形的外角性质左理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.9.已知.在厶ABC中，ZA=60(1) 如图，ZABC和ZACB的角平分线交于点6则ZBOC=；(2) 如图，ZABC和ZACB的三等分线分别对应交于点0】，02,则ZBO =:（3）如图，ZABC和ZACB的n等分线分别对应交于点6, 02,O_,（内部有 八一1个点），则上BOS _；（4）如图，ZABC和ZACB的门等分线分别对应交于点6, 02,，O“ 若ZBOn_1

12、C = 90,求门的值.【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和左理即可求出ZABC+ZABC,然后根据角平分线的泄义即可求 出ZOBC+ZOCB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和左理即可求出ZABC + ZABC,然后根据三等分线的泄义即可求 出ZO2BC+ZO2CB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论：（3）根据三角形的内角和左理即可求出ZABC+ZABC,然后根据门等分线的左义即可求 岀ZOn iBC+ZOn iCB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论：（4）根据（3）的结论列岀方程即可求岀结论.【详解】解：（1） 在 ABC 中，ZA=60 ZABC+

13、 ZABC=180 ZA=120J ZABC和ZACB的角平分线交于点O,11AZOBC=- ZABC, ZOCB二一 ZACB2211 ZOBC+ZOCB二一 ZABC+ - ZACB22=-(ZABC+ZACB)2=60AZBOC=180- (ZOBC+ZOCB) =120 故答案为：120.(2) 在 ABC 中，Z4=60,I ZABC+ ZABC=180-ZA=120o ZABC和ZACB的三等分线分別对应交于点O- O2,22 ZO2BC= - ZABC, ZO2CB二 一 ZACB3 322 ZO2BC+ZO2CB二一 ZABC+ 一 ZACB332=-(ZABC+ZACB)3=

14、80 ZBO?C = 180 (ZO2BC+ZO2CB) =100厶故答案为：100.(3) 在 ABC 中，ZA二60, ZABC+ ZABC=180-ZA=120V ZABC和ZACB的n等分线分别对应交于点6, 02ZOn 1BC二匚！ZABC. ZOn 1CB=-!- ZACBnnAZOn iBC+Z0n-2CB= ZABC+ ZACBnn” 一1=(ZABC+ZACB)60 +120120 一120A ZBOn_1C = 180- (ZO2BC+ZO2CB)=故答案为:60+ 120n（4）由（3）知:ZBO-C =60舁+ 120 n6O + 12O=9o解得：n=4经检验：n=4

15、是原方程的解.【点睛】本题考查了 n等分线的定义和三角形的内角和泄理，掌握n等分线的定义和三角形的内角 和定理是解决此题的关键.10（1）如图Z1+Z2与ZB+ZC有什么关系？为什么？（2）把图AABC沿DE折叠，得到图，填空：Z1 + Z2ZB+ZC（填当ZA二 40时,ZB+ ZC+=（3 ）如图，是由图的ZkABC沿DE折叠得到的，如果ZA = 30,则x + y = 360- （ ZB+ZC+Z1+Z2 ） =360= 想 ZBDA+ZCEA 与 ZA 的关系團【答案】见解析.【解析】【分析】试题分析：(1)根据三角形内角是180度可得出，Z 1+Z 2=Z B+Z C： (2) ABC沿DE 折叠，Z 1+Z 2=Z B+Z C,从而求出当Z A=40时，Z B+Z C+Z 1+Z 2=140x2=280,(3)根据以上计算可归纳出一般规律：Z BDA+Z CEA=2Z A.试题解析：解：(1) Z 1+Z 2 = Z B+Z C,理由如下：在 ADE 中，Z 1+Z 2 = 180- Z A在厶 ABC 中，Z B+Z C = 180- Z A Z 1+Z