大学物理学教程（第二版）上册：4-2 力矩 转动定律 转动惯量

1、第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作 用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力力 的作用点的位置对物体的运动有影响吗的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ 0,0 ii MF 圆盘静止不动圆盘静止不动 0,0 ii MF 圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动 F F F F 力矩力矩可以反映力的作用点的

2、位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响. 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 P z * O FdFrMsin M F r d : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转, 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P, 且且 在转动平面内在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的矢径的矢径 . F r FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩

3、转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 z O k F r 讨论讨论 FFF z FrkM z sin z rFM z F F ( (1) ) 若力若力 不在转动平面内，可把力分解为平行于不在转动平面内，可把力分解为平行于 和垂直于转轴方向的两个分量和垂直于转轴方向的两个分量 F ( (2) ) 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 321 MMMM 其中其中 对转轴的力矩为对转轴的力矩为 零，故力对转轴的力矩零，故力对转轴的力矩 z F 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 ( (3) )

4、刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消 jiij MM j r i r i j ij F ji F d O ij M ji M 结论结论：刚体内各质点间的：刚体内各质点间的 作用力对转轴的合内力矩为零作用力对转轴的合内力矩为零. 0 ij MM 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 z 二二 转动定律转动定律 iii mramF tt )( 2 )( iii rmM iiiii ramFrM tt )( i m i r O it F ra t 22 )()( iiiii

5、rmrmMM 转动定律转动定律 JM 2 ii rmJ 转动惯量转动惯量 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 mrrmJ i i i d 22 质量元质量元:md 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正 比比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律 JM 2 iir mJ 转动惯量的大小取决于刚体的密度

6、、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置形状及转轴的位置. 注意注意 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 l O O rd r 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 r 处的处的 质量元质量元 rmddrrmrJddd 22 讨论：讨论： 一一质量为质量为 m 、长为、长为 l 的的均匀细长棒，与棒均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . rd 2l2l O O 2 0 2 3 1 dmlrrJ l

7、转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒 2 2/ 0 2 12 1 d2mlrrJ l 转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 解解 ( (1) ) 分析受力分析受力 R O m m y y RO T m P T F m (

8、(2) )选取坐标系选取坐标系 注意：注意：转动和平转动和平 动的坐标取向要一致动的坐标取向要一致. 例例1 1 如图所示如图所示, , 有一半径为有一半径为 R R 质量为质量为 的匀质的匀质 圆盘圆盘, , 可绕通过盘心可绕通过盘心 O O 垂直盘面的水平轴转动垂直盘面的水平轴转动. . 转轴与转轴与 圆盘之间的摩擦略去不计圆盘之间的摩擦略去不计. . 圆盘上绕有轻而细的绳索圆盘上绕有轻而细的绳索, , 绳的一端固定在圆盘上绳的一端固定在圆盘上, , 另一端系质量为另一端系质量为 m 的物体的物体. . 试试 求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度求物体下落时的加速度、绳中的张力

9、和圆盘的角加速度. . m 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 ) 2(2mmmgay ) 2/( T mmmgmF ) 2(2Rmmmg （3）列方程（用文字式）列方程（用文字式） y maFmg T 牛顿第二定律（质点）牛顿第二定律（质点） JRF T 转动定律（刚体）转动定律（刚体） 2/ 2 RmJ 转动惯量转动惯量 先先文字计算求解，文字计算求解， 后后代入数据求值代入数据求值. Ra y 约束条件约束条件 TT FF R O m m y y RO T m P T F m 第四章第四章 刚体转

10、动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为m匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压 力力F FN N 均匀地作用在盘面上 均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正 压力压力F FN N 和刹车片与圆盘间的摩擦因数均已被实验测出和

11、刹车片与圆盘间的摩擦因数均已被实验测出. .试试 问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩 大小大小 rl R F rFrdd d 2 N f 0 r l d rd f dF 刹车片刹车片 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩 rl R F rFrdd d 2 N f 圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩 2 2 N 2 0 2 N f d2 d

12、d dd R rrF l R rrF FrM r 圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩 RF R rrF MM R N 0 2 2 N 3 2d2 d 圆盘角加速度圆盘角加速度 mR F J M N 3 4 N 00 4 3 F mR t 停止转动需时停止转动需时 0 r l d rd f dF R 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例3 一长为一长为 l 质量为质量为 m 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由

13、于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动. 试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角 速度速度. 解解 细杆受重力和细杆受重力和 铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得 N F Jmglsin 2 1 m l 2l OP N F 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 式

14、中式中 2 3 1 mlJ d d d d d d d d tt 得得sin 2 3 l g 由角加速度的定义由角加速度的定义 dsin 2 3 d l g 代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 ( 3 l g Jmglsin 2 1 m l 2l OP N F 第四章第四章 刚体转动刚体转动 物理学教程物理学教程 （第二版）（第二版）4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 C gm f F C a N F x y 解解 物体由斜面物体由斜面 顶端滚下顶端滚下, 可视为质可视为质 心的平动和相对质心心的平动和相对质心 的滚动两种运动合成的滚动两种运动合成. * *例例4 如图一斜面长如图一斜面长 l =1.5 m, 与水平面的夹角与水平面的夹角 = 5 . 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿然后由顶端沿 斜面向下滚动斜面向下滚动, 一个物体是质量一个物体是质量 m1 = 0.65 kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心圆柱体, 另一物体是质量为另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间面底部各经历多长时间? 第四章