高中数学题型全面归纳数列的通项公式与求和24(修

1、第二节数列的通项公式与求和考纲解读掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.能在具体的问题情境中，识别数列的等差和等比关系，抽象出模型，并能用有关知识解决相应的问题 .命题趋势探究从内容上主要考查：等差和等比数列与其他知识点的综合运用，用数列知识解决实际问题；从递推公式中构造等差或等比数列，并求出其通项公式.从考查形式和能力上看，有选择题、填空题、解答题.其中以解答题为主，且难度较大.在解题过程中往往要用到函数与方程思想、化归思想与分类讨论思想.从命题趋势上看，主要有数列与方程、不等式、函数、解析几何的综合题，以概率为背景结合计数原理考查数列知识及数列建模的应用题.知识点精讲基本概念（ 1）

2、若已知数列的第1 项（或前项），且从第 2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.（ 2）数列的第 n 项 a与项数 n 之间的函数关系，可以用一个公式af (n) 来表示，那nn么 an 就是数列的通项公式 .注：并非所有的数列都有通项公式；有的数列可能有不同形式的通项公式；数列的通项就是一种特殊的函数关系式；注意区别数列的通项公式和递推公式.题型归纳及思路提示题型 85 数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用Sn 与 an 的关系求解 .观

3、察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.利用递推公式求通项公式叠加法：形如an 1an f (n) 的解析式，可利用递推多式相加法求得an叠乘法：形如anf (n)an 1 ( an 0) (n2,n N* ) 的解析式，可用递推多式相乘求得 an构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式 .常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法 .利用 Sn 与 an 的关系求解形如 f (Sn ,Sn 1 )g(an ) 的关系，求其通项公式，可依据anS1(n1)SS(n，求出 an2, n N * )nn 1观察法

4、观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有( 1)n 或者( 1)n 1 部分 .考虑各项的变化规律与序号的关系 .应特别注意自然数列、正奇数列、 正偶数列、自然数的平方n2、 2n 与 ( 1)n 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.例 6.20 写出下列数列的一个通项公式：（ 1）3,2,5 ,3,7,4, ;7 513 819 11（ 2） 2,22,222 ， 222 ；（ 3）数列 an中各项为： 12,1122,111222， 11122 2，n个n个变式 1将全体

5、正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n 行（ n3）从左到右的第3 个数为 _12345678910变式 2观察下列等式：nn1 n2ii 12n1i 2n3i 13n1i3n4i 14n1i 4n5i 15n1i5n6i 16n1n7i 6i 171 n ，21 n221 n321 n421 n521 n621 n61 n241n31n33 05n41n21 21 21n51 n3 1 n264 2i ki 1ak1ak 1nk 1aknkak 1nk 1a1n a0， 可 以 推 测 ， 当 k 2(kN*)时，1， ak1， ak 1_ ， ak 2_k12利用递推公式求通项公式叠加

6、法数列有形如 an 1 anf (n) 的递推公式，且f (1)f (2)f (n) 的和可求，则变形为 an 1anf (n) ，利用叠加法求和例 6.21已知数列an满足 an 1 an 3n2 ( nN * ) ，且 a12 ，求数列an 的通项公式 .变式 1已知数列an 中， a12 ， an 1 an2n (n N * ) ，求数列an 的通项公式变式 2已知数列n中， a1 2 ， an 1 anln(11) (nN * ) ，则 an _anA、 2 ln nB、 2 (n 1)ln nC 、 2 n ln nD、 1 n ln n变式 3已知数列an 中， a11， a22

7、，且 an 1(1q)anqan 1 ，（ n 2 ， q 0 ）（ 1）设 bnan 1an (nN * ) ，证明：bn 是等比数列 .（ 2）求数列an 的通项公式变式 4数列 an中， a12 ， an 1a cn（ c 为常数） (nN * ) ，且 a1 , a2 , a3成公n比不为 1 的等比数列 .（ 1）求 c 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式2、叠乘法数列有形如 anf ( n) an 1 的递推公式，且f (1)f (2)f ( n) 的积可求，则将递推公式变形为anf ( n) ，利用叠乘法求出通项公式anan 1例 6.22已知数列 an中， a11 ， 2n

8、an 1(n1)an ，则数列 an 的通项公式为（）nnC 、 2nnn 1A、 2nB、 2n 11D、 2n变式 1已知数列an 中， a1an 1n 2an 的通项公式1，求数列ann3、构造辅助数列法（ 1）待定系数法形如an 1panqp,q为常数， pq0且 p1）的递推式，可构造an 1p(an)，（转化为等比数列求解.也可以与类比式anpan 1q 作差，由 an 1an p(anan 1 ) ，构造 an 1an 为等比数列，然后利用叠加法求通项.例 6.23已知数列an中， a1 1 ， an 111 an ，求 an 的通项公式 .2分析：式子 an 111 an 形如

9、 an 1panq （ p, q 为常数， pq0 且 p1），故利用构2造法转化 .变式 1已知 a11， an3an 12（ n2 ， nN * ），求an 的通项公式 .例 6.24 在数列an 中， a12 ， an 14an3n1 （ nN * ），求数列an的通项公式 .2、同除以指数形如 an 1pand n( p 0且 p1 ， d1）的递推式，当p d 时，两边同除以d n 1转化为关于an的等差数列；当p d 时，两边人可以同除以dn 1an 1p an1d n得d d n，d n 1d转化为 bn 1p bn1，同类型（1） .dd例 6.25 已知数列an中， a11，

10、 an3an 1 2n 1 （ n2 ， nN * ），求数列an 的通项公式 .评注：一般地，对于形如an 1 pan d n ( p0且 p 1 ， d 1）的数列求通项公式，两边同除以 d n 1 转化为待定系数法求解；两边同除以pn 1 转化为叠加法求解 .变式 1 在数列 an中， a1 1， an 12an 2n（ 1）设 bnan，试证明：数列 bn是等差数列 .2n 1（ 2）求数列an 的前 n 项的和 Sn取倒数法aan( ac1bcanb 1c对于 an 10) ，取倒数得aana an.b canan 1a当 ab 时，数列1是等差数列；an当 ab 时，令1bc，则

11、bn 1a bna ，可用待定系数法求解 .bnan例 6.26在数列an2an，求数列a的通项公式 .1n中， a1 1， an2an变式 1an 中首项 a133an（ nN*an 的通项公式 .已知数列， an 11 2an），求数列5变式 2 已知数列an中首项 a1 1，前 n 项的和为 Sn，且满足 SnSn 1（ n2 ，2Sn 11n N * ），求数列an的通项公式 .取对数法形如 an 1cank (c 0,an0) 的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.例 6.27已 知 数 列 an中 首 项 a1 3 ， 且 an 1 an3（ n N *），则数列的通项a

12、n_变式 1已知数列an 中首项 a110，且 an 110 an2 （ nN * ），求数列的通项an已知通项公式 an 与前 n 项的和 Sn 关系求通项问题对于给出关于 an 与 Sn 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择 .一个方向是转化 Sn为 an 的形式，手段是使用类比作差法，使SnSn 1 = an （ n2 ，n N * ），故得到数列an的相关结论，这种方法适用于数列的前n 项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将an 转化为 Sn Sn 1 （ n 2 ， nN * ），先考虑 Sn 与 Sn 1的关系式，继而得到数列Sn的相关结论，然后使用代入

13、法或者其他方法求解an 的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前n 项和的形式不够独立的情况 .简而言之，求解 an 与 Sn 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化Sn 的形式为 an 的形式，适用于Sn 的形式独立的情形，如已知Sn4an12（ n2 ， nN *）；其二称为转化法，实质是转化an 的形式为 Sn 的形式，适用于 Sn 的形式不够独立的情形，2Sn2（ n2 ，n*nnN ）；不管使用什么方法， 都应该注意解题过程中对如已知 a2Sn1的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注n 的范围 .例 6.28 已知正项数列a中，前n项的和Sn，且满足

14、nn1，求数列a的n2 San通项公式 .评注：本题是关于an 与Sn 的关系式问题中第一个方向的典型题目，本题的闪光点是未给出 Sn 的直接形式，需要考生稍加变形，转化为4Sn(an1)2后，才可使求解方向变得更为明朗.变式 1已知数列an 的前 n 项的和 S， a1， S4a 2 （ nN * ）n1n 1n（ 1）设 bnan 12an ，求 bn ；（ 2）设 cn1，求数列 cn的前 n 项和 Tn ；an 12an（ 3）设 dnan，求 d2010n2例 6.29已知数列aan0nn1n1n中，且对于任意正整数有 S2(a) ，求数列anan 的通项公式变式1已知数列an 中，

15、 an0 (n 1)， a11，前 n 项和 Sn满足 an2Sn222Sn1（ n2， n N *）1（ 1）求证：数列是等差数列；Sn（ 2）求数列an 的通项公式变式2 设数列 an 是正数组成的数列，且有 an2 2 2 S (n N *) ，求数列 an 的通项公n式 .例 6.30 设数列 an 的前 n 项的和为 Sn ，已知 a1 1,Sn 1 4an 2 .（ 1）设 bn an 12an ，证明：数列 bn 是等比数列 .（ 2）求数列 an 的通项公式 .变式 1 已知数列 an 的前 n 项之和为 Sn ，且 Sn n5an 85(n N* ) .（ 1）证明：数列 a

16、n 1 是等比数列；（ 2）求数列 n的通项公式，请指出n 为何值时，n取得最小值，并说明理由 .SS变式 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn 2an n24n(n N * ) .（ 1）写出数列 an 的前 3 项 a1 , a2 , a 3 ；（ 2）求证：数列 an 2n 1 为等比数列；（ 3）求 Sn .变式 3 设数列 an 的前 n 项和为 Sn .已知 a 11, 2Snan 11 n 2n2 (n N * ) .n33（ 1）求 a2 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式 .题型 86 数列的求和思路提示求数列前 n 项和的常见方法如下：（ 1）通项

17、分析法.（ 2）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n 项和公式.（ 3）错位相减法：数列的通项公式为anbn 或anbn的形式，其中 an 为等差数列， bn 为等比数列.（ 4）分组求和法：数列的通项公式为anbn 的形式，其中 an 和 bn 满足不同的求和公式.常见于 an 为等差数列， bn 为等比数列或者 an 与 bn 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.（ 5）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.（ 6）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.一、通项分析法例 6.31 求数列 1,12,1222 ,122 22n 1

18、,的前 n 项的和 .评注 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前意识 .n 项和问题应该强化的变式1求数列9， 99， 999， 999 的前n 项和 .n二、公式法利用等差、等比数列的前n 项和公式求和 .例 6.32 已知等差数列 an 中， a2 9,a5 21,bn2an ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .评注 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解 .变式 1 如图 6-4 所示， 从点 1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex 于点Q1 (0,1)，曲线在点Q1处P的切线与 x 轴交于点 P2 .再从 P2作

19、 x 轴的垂线交曲线于点Q2 ，依次重复上述过程得到一系列点： P1 ,Q1 ; P2 , Q2 ; ; Pn , Qn ，记点 Pk 的坐标为 ( xk ,0) (k1,2, n) .（ 1）试求 xk与 xk 1 的关系 (2 kn) ；（ 2）求1 12 2|n n| .| PQ| |PQ| P Q三、错位相减法求数列 ann和 annnbbn的前 n 项和， 数列 a ， b 分别为等差与等比数列 .求和时， 在已知求和式的两边乘以等比数列公比q后，与原数列的和作差，即 SnqSn ，然后求 Sn 即可 .例6.33（ 1 ）（ 2018全国新课标2 卷文）记Sn 为等差数列an 的前

20、 n 项和，已知a17, S315 （ 1）求 an 的通项公式；（ 2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值（ 2）已知数列 an 的前n 项和为Sn ，且Sn2an2(nN* ) ，数列 bn 中，b11 ，点P(bn ,bn 1)在直线xy20 上 .（ 1）求数列 an ， bn 的通项公式；（ 2）设cnanbn ，数列 cn 的前n 项和为Tn ，求 Tn .评注由于结果的复杂性，自己可以通过代入n1,2 等验证， T1a1b1, T2a2 b2 等以确保所求结果的准确性.变式 1（ 2017 天津理 18）已知 an 为等差数列，前n 项和为 Snn N ， bn 是首项为 2的等比

21、数列，且公比大于0， b2 b3 12 ， b3 a42a1 ， S1111b4 .（ 1）求 an 和 bn 的通项公式；（ 2）求数列a2n b2 n 1 的前 n 项和nN.变式 2（ 2016 山东理18）已知数列 an 的前 n项和 Sn3n28n ， bn 是等差数列，且an bnbn 1.（ 1）求数列 bn 的通项公式；（ 2）令 cn(an1)n1(bn2)n. 求数列 Cn 的前 n项和 Tn .四、分组求和法对于既非等差又非等比数列的一类数列，若将数列的项进行适当地拆分，可分成等差、等比或常数列，然后求和 .例 6.34 在数列 an 中 a1 1, an 1 (11 )

22、annn1.n2（ 1）设 bnan ，证明 bn 1bn 为等比数列；（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn .n变式 1 已知数列 an 中的相邻两项a2k 1 , a2k 是关于 x 的方程 x2(3k 2k )x 3k 2k0 的两个根，且 a2k 1 a2k (k 1,2,3, ) .（ 1）求 a1 , a3 , a5 , a7 ；（ 2）求数列 an 的前 2n 项和 S2n .变式 2 等比数列 n 中，a1,a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中a的任何两个数不在下表6-1 的同一列 .表 6-1第 1列第 2列第 3 列第 1 行3210

23、第 2 行6414第 3 行9818(1) 求 数列 an 的通项公式；(2) 若数列 bn 满足： bnn 的前 2n 项和 S2n .an ( 1) ln an ，求数列 bn五、裂项相消法将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.常用的裂项相消变换有：1.分式裂项1111；n(np )(nn)pp1111 .n(n1)(n 2)n(n1)(n1)(n22)2.根式裂项n1p1 (n pn ) .np3.对数式裂项lgnplg( np)lg n .n4.指数式裂项aqnann11) ；1(qq)( qqqn111)( q 1) .(qn1)(qn 1(qn1n 11) q

24、1q1使用裂项法， 要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项； 应注意到， 由于数列 an中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样的多，切不可漏写未被消去的项.未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有 “对称剩项 ”的特征 .另外从实质上看，正负项相消是裂项法的根源和目的.例 6.35 求数列11,1, ,1,5, 的前 n 项和 Sn .1 3 24 3n( n 2)评注 如果数列的通项公式可以写成f (n p ) f ( n) 的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如 1 是等差数列时，可尝试使用此法. ，其中 an

25、anan 1变式 1已知数列 1, 1,1, ,121, ，求它的前 n 项和 Sn .12 1233n例 6.36 已知等差数列 an 满足 a3 7,a5a7 26 ， an 的前 n 项和 Sn .（ 1）求 an 及 Sn ；（ 2）令 bn21(n N*) ，求数列 n n.1b的前 n 项和 Tan评注 采用裂项相消法求解数列的前 n 项和，消项时要注意相消的规律， 可将前几项和表示出来，归纳规律 .一般来说，先注意项数，如果是每两项作为一组相消，则最终剩余项数为偶数项；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干项，则最后必会保留分母最大的若干项 .变式 1设正项数列 an 前 n 项

26、和 Sn 满足 Sn1 (an 1)2 .4（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设 bn1 的前 n 项和 Tn .an，求数列 bnan 1变式2在数1 和100 之间插入n 个实数，使得这n2 个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn ，再令anlg Tn , n1 .（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设bntan antan an 1 求数列 bn 的前n 项和Sn.六、倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）.例 6.37设 f ( x)1，求 f

27、( 7) f ( 6) f ( 5)f (0)f (8) 的值 .2x2变式 1 函数 f ( x)1( m 0), x1 , x2R ，当 x1x2 1 时， f (x1 )f (x2 )1 .4xm2（ 1）求 m 的值；（ 2）已知数列 an 满足 an f (0) f (1 )f ( 2)f ( n 1) f (1)，求 an ；nnn（ 3）若 Sn a1 a2an ，求 Sn .变式 2已知函数 f ( x) 对任意 xR 都有 f ( x) f (1 x)1 .2（ 1）求 f ( 1) 的值；2（ 2）若数列 an 满足 af (0)12n1nf ( )f ( )f ()f ( )( n N*) ，数列 an 是等nnnnn差数列吗？试证明之；4bn bn1 ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .（ 3）设 bn(n N *) ， cn4an1变 式 3已 知 数 列 an 是首项为 1，公差为 2的等差数列，求012nSn Cn a1Cna2Cn a3Cn an 1 .最有效训练题24（限时 45 分钟）1.已知数列3,