直角三角形的判定和性质

1、直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1:已知：如图 ABC中，BD丄AC , CE丄AB , BD、CE交于0点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2 :已知：Rt ABC中，/ ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的 垂线交AC于E,求证：CD丄BE例3:已知 ABC中，CD丄AB于D，过D作DE丄AC , F为BC中点，过 F作FG丄 DC 求证：DG=EG。【随堂练习】1 .选择：（1 ）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个 数是（）个这两

2、个三角形全等；相等的角为锐角时全等相等的角为钝角对全等；相等的角为直角时全等A . 0 B. 1 C. 2 D . 3（2）在下列定理中假命题是（）A .一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B 一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D 两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，Rt ABC 中，/ B=90。，/ ACB=60 ，延长 BC 至U D,使 CD=AC 贝U AC :BD=()A 1: 1 B 3: 1C. 4: 1(4)如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CD、CE，分别是斜边 AB上的高与中线， CF 是/

3、ACB的平分线。则/ 1与/ 2的关系是()A . Z 1 / 2D .不能确定(5)在直角三角形ABC中，若/ C=90 , D是BC边上的一点，且 AD=2CD，则/ ADB的度数是()A. 30B . 60 C. 120D. 150 2 解答:(1 已知：如图 AB 丄BD , CD 丄 BD , AB=DC 求证：AD/BC.BC(2)如图，AC丄BC , AD丄BD , AD=BC , CE丄AB , DF丄AB ,垂足分别是 E、F 求证：CE=DF./kCB【课后习题】一、填空题:（每题5分,共20分）1. 有和一条对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为

4、“”.2. 如图, ABC中,/ C=90 ,AM平分/ CAB,CM=20cm,那么 M至U AB的距离是 cm.3. 已知 ABC 和厶 A B C , / C=Z C =90 ,AC=A C ,要判定 ABCA A B C ,必须添加条件为 或或或.4. 如图,B、E、F、C在同一直线上,AF丄BC于F,DE丄BC于E,AB=DC,BE=CF,若要说明 AB/ CD,理由如下：/ AF丄 BC于 F,DE丄 BC于 E（已知） ABF,A DCE是直角三角形/ BE=CF已知） BE+=CF+等式性质）即=（已证） Rt ABF Rt DCE（）二、选择题:（每题5分,共25分）5. 两

5、个直角三角形全等的条件是（）A. 一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；C.一条边对应相等；D.两条边对应相等6. 要判定两个直角三角形全等，需要满足下列条件中的（）有两条直角边对应相等；有两个锐角对应相等；有斜边和一条直角边对应相等有一条直角边和一个锐角相等；有斜边和一个锐角对应相等；有两条边相等A.6个 B.5 个 C.4 个 D.3 个7.如图,AB/ EF/ DC,/ ABC=90 ,AB=DC,那么图中有全等三角形 （）A.5 对；B.4 对；C.3 对；D.2 对8. 已知在 ABC和厶DEF中，/ A=/ D=90 ,则下列条件中 不能判定厶ABC和 DEF全等的是（）A.AB=D

6、E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD./ C=/ F,BC=EF9. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是（）A.AAS B.SAS C.HL D.SSS三、解答题:（共55分）10. 如图， ABC中，/ C=90 ,AB=2AC,M是 AB 的中点，点 N在 BC上,MN丄 AB.求证:AN平分/ BAC.（7分）11 已知：如图,AB=AE,BC=ED,/ B=Z E,AF丄 CD,F 为垂足,求证:CF=DF.（8 分）A12知如图，AB=AC, / BAC=90 ,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧，BD丄A

7、E于D,CE 丄 AE于 E,求证:BD=DE+CE.（8 分）13已知如图,在厶ABC中,/ BAC=2/ B,AB=2AC,求证： ABC是直角三角形 ?（ 8 分）14已知如图，在厶ABC中，以AB AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE ACF,连结EF,过点A作AD BC,垂足为D,反向延长 DA交EF于点M.（1）用圆规比较 EM与 FM的大小.（2）你能说明由（1）中所得结论的道理吗？（8分）直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论： 直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，则它所

8、对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 则这条直角边所对的角为 30【典型例题讲解】例 1:已知，Rt ABC 中，/ ACB=90 , AB=8cm D 为 AB 中点，DEL AC 于 E,Z A=30, 求BC, CD和DE的长例2 :已知： ABC中,DEI AC于 E.求证：CE -AC .4例 3 :已知：如图 AD/ BC,且 BDL CD BD=CD AC=BC. 求证：AB=BO.A n【随堂练习】1. ABC中，/ BAC=2/ B , AB=2AC AE平分/ CAB 求证：AE=2CE2.已知，Rt ABC中，/ ACB=90 ,

9、 CDL AB, CE为 AB边上的中线，且/ BCD=N DCA 求证：DE=DC3.如图：BE的长。AB=AC ADL BC于 D, AF=FD AE/ BC且交 BF 的延长线于 E,4.在厶ABC中，/ ACB=90 , D是AB边的中点，点 F在AC边上，DE与 CF平行且相等。 求证：AE=DFE1c5.已知，如图，在 ABC中，/ B=Z C, ADL BC于D, E为AC的中点，AB=6,求DE的长。【课后习题】1直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。如在Rt ABC中CD是斜边AB的中线，则1CDAB,你能说明这个结论吗？212、 ABC中，CD是中线，且CD -AB，求证 ABC是直角三角形。23、如图，在 Rt ABC中，/ ACB= 90,/ BAC的平分线 AD交 BC于点 D, DE AC, DE交 AB角形是AC的位置关系（提示：连结 AE、CE）EF与C于点E，M为BE的中点，连结DM 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三5、A ABC中，BE、CD分别是三角形的高， M N分别是BG DE的中点，试说明 MN垂直平分DE6、如图，已知 AD与 BC相交于 E,/ 仁/ 2=/ 3, BD=CD / ADB=90 , CHLAB 于 H, CH交 AD于 F.(1) 求证：CD/ AB(2) 求证： BDEA ACE7、如图，在