（新课标）2020版高考数学总复习 第九章 第九节 第1课时 圆锥曲线中的范围、最值问题课件 文 新人教A版

1、第第1 1课时课时 圆锥曲线中的范围、圆锥曲线中的范围、 最值问题最值问题 考点一 最值问题 考点二 范围问题 考考 点点 突突 破破 最值问题最值问题 命题方向一数形结合命题方向一数形结合,利用几何性质求最值利用几何性质求最值 考点突破 典例典例1(1)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点,定点 A(2,4),则|PA|-|PF|的最小值为. (2)已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4), 则|PF|+|PA|的最小值是. 2 4 x 2 3 y 2 4 x 2 12 y 答案答案(1)1(2)9 解析解析(1)如图,设椭圆的左焦点为F,则|PF|

2、+|PF|=4,所以|PF|=4-|PF|,所 以|PA|-|PF|=|PA|+|PF|-4.当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|取到最小 值,|AF|=5,所以|PA|-|PF|的最小值为1. 2 (21)16 (2)设双曲线的右焦点为F,则F(4,0),由双曲线的定义知|PF|-|PF|=2a=4, 所以|PF|+|PA|=|PF|+4+|PA|AF|+4=9,当且仅当A,P,F三点共线时,等 号成立.故|PF|+|PA|的最小值是9. 命题方向二构建目标函数求最值命题方向二构建目标函数求最值 典例典例2如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y) .过点B作直

3、线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值. 1 1 , 2 4 3 9 , 2 4 13 22 x 解析解析(1)设直线AP的斜率为k,k=x-, 因为-x0)的一个焦点为F (-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点. (1)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长; (2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 2 2 x a 2 3 y 解析解析(1)由题意知c=1,b2=3, 所以a2=4,所以椭圆M的方程为+=1. 易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得 消去y,得7x2

4、+8x-8=0,=2880. 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-, 所以|CD|=|x1-x2|=. 2 4 x 2 3 y 22 1, 43 1, xy yx 8 7 8 7 2 24 7 (2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1, 此时ABD与ABC的面积相等,故|S1-S2|=0; 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k0), 联立方程,得 消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 22 1, 43 (1), xy yk x =(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+1440, 故x1+x2=

5、-,x1x2=, 此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=, 因为k0,所以|S1-S2|= , 所以|S1-S2|的最大值为. 2 2 8 34 k k 2 2 412 34 k k 2 12| 34 k k 12 3 4| | k k 12 3 24| | k k 12 2 12 3 3 2 k 时等号成立 3 规律总结规律总结 圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种 方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中 的定理、性质等进行求

6、解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代数 表达式表示为某变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求 解. 1-1(2018陕西质量检测)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别 为F1和F2,由M(-a,b),N(a,b),F2和F1这4个点构成了一个高为,面积为3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点F1的直线和椭圆交于A,B两点,求F2AB面积的最大值. 2 2 x a 2 2 y b 3 3 解析解析(1)由已知条件,得b=,且=3, a+c=3. 又a2-c2=3,a=2,c=1, 椭圆的方程为+=1. (2)显然,直线的斜率不能为0, 故设直线的方程为x=my-1,

7、A(x1,y1),B(x2,y2). 3 22 2 ac 33 2 4 x 2 3 y 联立得消去x得(3m2+4)y2-6my-9=0. 直线过椭圆内的点, 无论m为何值,直线和椭圆总相交. y1+y2=,y1y2=-. =|F1F2|y1-y2|=|y1-y2|=12=4 22 1, 43 1, xy xmy 2 6 34 m m 2 9 34m 2 F AB S 1 2 2 1212 ()4yyy y 2 22 1 (34) m m =4, 令t=m2+1,则t1.设f(t)=t+,易知t1,+)时函数f(t)单调递增, 当t=m2+1=1,即m=0时,f(t)取得最小值,f(t)min

8、=,此时取得最大 值3. 2 2 2 1 1 1 3 m m 2 2 1 21 1 39(1) m m 1 9t 10 9 2 F AB S 范围问题范围问题 命题方向一求代数式的取值范围命题方向一求代数式的取值范围 典例典例4已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A、B,且长轴 长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为-. (1)求椭圆C的方程; (2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求+ 的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b 3 4 OP OQ MP MQ 解析解析(1)由题意可知A(-4,0),B(4,0). 设T(x,y)(x4),

9、则直线TA的斜率k1=,直线TB的斜率k2=. 于是由k1k2=-,得=-, 整理得+=1.故椭圆C的方程为+=1. (2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P、Q的坐标 分别为(x1,y1)、(x2,y2), 4 y x 4 y x 3 44 y x 4 y x 3 4 2 16 x 2 12 y 2 16 x 2 12 y 联立得 消去y,得(4k2+3)x2+16kx-32=0, 由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=, 22 1, 1612 2, xy ykx 2 16 43 k k 2 32 43k +=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-2)(y2-

10、2)=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4= =-20+, 因为k20, 所以-20+-. 当直线PQ的斜率不存在时,+的值为-20. 综上所述,+的取值范围为. OP OQ MP MQ 2 2 8052 43 k k 2 8 43k OP OQ MP MQ 52 3 OP OQ MP MQ OP OQ MP MQ 52 20, 3 命题方向二求参数的取值范围命题方向二求参数的取值范围 典例典例5已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E . (1)求椭圆C的方程; (2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=, 且20), 由整

11、理得y2-y-9=0. 12 222 2| 4, , 1, aEFEF abc c 2, 1, 3. a c b 2 4 x 2 3 y 22 (1), 1 43 yk x xy 2 2 34k k 6 k =+1440, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=. 又=,所以y1=-y2,所以y1y2=(y1+y2)2, 则=,+-2=. 因为23,所以+-2, 2 144 k 2 6 34 k k 2 2 9 34 k k 1 AF 1 FB 2 (1) 2 (1) 2 4 34k 1 2 4 34k 1 2 1 4 3 即0,解得0b0)的离心率为, 且以原点为圆

12、心,椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin+ycos-1=0相切 (为常数). (1)求椭圆C的标准方程; (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2,过F2作直线l与椭圆交于M,N两 点,求的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 1 FM 1 FN 解析解析(1)由题意,得 故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0). 若直线l的斜率不存在,则直线lx轴,直线l的方程为x=1,不妨记M 22 222 2 , 2 1 , sincos c e a c abc 2 2 1, 2, 1, c a b 2 2 x ,N, =,=,故=. 若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1), 2 1, 2 2 1, 2 1 FM 2 2, 2 1 FN 2 2, 2 1 FM 1 FN 7 2 由消去y得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. =(x1+1,y1),=(x2+1,y2), 2 2 (1), 1 2 yk x x y 2 2 4 12 k k 2 2 22 12 k k