《几何证明选讲》综合复习

1、I交角为：（n与I平行，记-=0）,则：(i)B ot，平面n与圆锥的交线为椭圆；(ii):，平面n与圆锥的交线为抛物线;(iii):V ，平面n与圆锥的交线为双曲线A 15【解析】由弦切角定理得故选B.2. 在 Rt ABC 中,CD、ABC相似,则x=（）AOD第1题图x个三角形与CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有D. 99 cm3k 8k =12 18 ,解得选修4-1几何证明选讲广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理,会证直角三角形射影定理.（2）会证 圆周角定理、圆的切线的判定定理 及性质定理.（3） 会证 相交弦定理、圆 内接四边形的性质定理与判定定理、

2、切割线定理 .（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）（5）了解下面定理：定理 在空间中，取直线I为轴，直线与l相交于点O，其夹角为a , I围绕I旋转得到以0为顶点，丨为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴人教（A）版选修4-1几何证明选讲综合复习、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.如图4所示，圆O勺直径AB=6,C为圆周上一点，BC=3过C乍 圆的切线I,过A作I的垂线AD,垂足为D,则/ DAC =（）B. 30C. 45。D. 60 ZDCA=NB=6

3、0,又 AD 丄丨,故NDAC=30,B.1C.2D.3【解析】2个:ACD和QBD ,故选C.3. 一个圆的两弦相交，一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长 为（）A 11cmB. 33cmC 66cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为 3k,8k（k0）,由相交弦定理得k -3,故所求弦长为3k 8k -11k -33 cm.故选B4. 如图，在ABC和DBE中，些二匹二也丄，若.：ABC与DB BE DE 3DBE的周长之差为10cm,贝L ABC的周长为（）A 20 cmD.25 cmr 2550B.cmC.cm43【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比

4、可得答案D.225. LO的割线PAB交L O于代B两点,割线PCD经过圆心,已知PA=6,PO=12,AB =仝3贝UL o的半径为（）D8A4B. 6 -、14C. 6 14【解析】设L O半径为r,由割线定理有6 （6 丝）=（12 -r）（12 r）,解得r =8.故选D.第6题图36. 如图,AB是半圆O的直径，点C在半圆上,CD _AB于点D ,2日且 AD =3DB ,设.COD - J ,则 tan =()2A 1B. -C. 42 . 3D. 334【解析】设半径为r ,则AD=3r,BDr,由CD2二ADBD得CD 3r ,从而 ,故2223tan2-,选 A237. 在

5、ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE/BC , . ：ADE的面积是2 cm2,梯形DBCE的面积为6cm2,则DE : BC的值为（）B1：2C. 1： 3D. 1:4【解析】CADE ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案 B.8. 半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，一共可作（） 个.A.2B.3C.4D.5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.9. 如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,AB/CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形，则四边形ABCD中.A度数为（）IA 30B. 45C. 60

6、 D. 75。第 9 题图【解析】6. A =360 ,从而.A =60 ,选A10.如图,为测量金属材料的硬度，用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面，在材料表面留下一个凹坑，现测得凹坑 直径为10mm若所用钢珠的直径为26 mm则凹坑深度为（）A1mmB.2 mmC.3mmD. 4 mm【解析】依题意得OA2二AM2 9M2,从而OM -12mm,故CM =13 -12 =1mm,选 A第10题图11.如图,设P,Q为ABC内的两点,且AP的面积与ABQ的面积之比为（）4 小 1B. C _5 42_ T 1【解析】如图，设AM AB, AN AC,则AP二AM AN.55AB 1

7、 AC , AQ5 一D 1Q也ABP由平行四边形法则知NP/AB,所以也ABCANAC同理可得迴2 =1 故兰聖=4 ,选B.MBC 4心 ABQ 512. 如图,用与底面成30角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离 心率为（）A 1B.三C.三D.非上述结论232第12题图【解析】用平面截圆柱，截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径，弄清了这一概念，考虑椭1圆所在平面与底面成30角,则离心率e =sin 30 =-.故选A2二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13. 一平面截球面产生的截面形状是;它截圆柱面所产生的截面形状是【解析】圆；圆或椭圆.14. 如

8、图,在厶ABC中,AB = AC,/ C= 72, OO过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD若BO ._5-1,则AC=【解析】由已知得 BD = AD = BC , BC2 二 CD AC 二(AC - BC)LAC,C解得AC =2.BC第14题图15.如图，AB为L O的直径,弦AC、BD交于点P,若 AB =3, CD =1 ,贝U sin . APD =_AD【解析】连结AD ,则sin . APD = AD ,又：CD :BAP ,AP/ PD CD 1从而 cos 一 APD,PA BA 3-审=攀所以 sin APD -BA()16.如图为一物体的轴截面图，

9、则图中R的值是【解析】由图可得R2珂30)2 (180 -135-R)2,解得R=25.2第15题图30第16题图135180三、解答题17. 如图：EB,EC是L O的两条切线，B,C是切点，A,D是O上两点，如果 E = 46 , DCF 32 ,试求 A的度数. 【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理，可得1A BAC CAD (180 - E) DCF =6732 =99 .218. 如图,O O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,第18题图E 为O O 上一点，AE 二 AC, DE 交 AB 于点 F ,且 AB =2BP = 4, 求PF的长度.【解析】连结OC,

10、OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件 AE = AC 可得.CDE 二/AOC,又.CDE 二/P . PFD,PF PD.AOC 二.P . C,从而.PFD= C,故：PFD L . PCO，二PC由割线定理知PC PD=PA.PB = 12,故PF二竺D =13=3.4POAEBADB-C第19题图BDAO DBPO19. 已知：如右图，在等腰梯形 ABC冲,AD/ BC, A吐DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于 点 E.求证：(1) ABCA DCB (2)DE DG= AE-【解析】证明：(1) v四边形ABCD1等腰梯形，v A吐 DC BO

11、 CBBCD(2) ABC BCD / Ad DBC / ABC=Z DCBv AD/ BC,DAI ACB / EAD=Z ABCv ED/ AC,EDA=Z DACEDA=Z DBC / EAD=Z DCB AD0A CBD DE:BD= AE:CD- DE- DG= AE- BD.20. 如图， ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点，CF/ AB BP延长线交 AC CF于E、 F,求证:PB 2=PE?PF【解析】连结PC,易证PC二PB,. ABP=/ACPv CF / AB . F =/ABP ,从而.F =/ACP又.EPC为 CPE与 FPC的公共角， 从而.CPE

12、 L FPC , 空二胆 PC2FP PC又 PC =PB , PB2 二 PE PF ,命题得证.21. 如图，A是以BC为直径的L O上一点，AD _BC于点D,=PE -B第20题图解答用图EAE , G 是 AD0PBIdo丿CCFBFEFCG . DGAG . DG二 AG . BF 二 EF .,AB .v BC是L o的直径, FEC sGAC .过点B作L O的切线，与CA的延长线相交于点 的中点,连结CG并延长与BE相交于点F , 延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF = EF ; 求证：PA是L O的切线；(3)若FG二BF ,且L O的半径长为3、2 ,求B

13、D和FG的长度. 【解析】(1)证明：- BC是L O的直径，BE是L O的切线， EB _ BC .又 v AD _ BC ,二 AD / BE . 易证 BFC DGC , 里 _CF EF _iDG CG，AG * v G是AD的中点，证明：连结AO,在Rt BAE中，由(1), 知 F是斜边BE的中点， AF =FB =EF . FBAFAB .又 v OA =OB， ABO“BAO . v BE 是L O 的切线，- EBO =90 .v NEBO =NFBA +NABO =NFAB +NBAO =NFAO =90 ， PA 是LI O 的切线.第21题图CEO/ GPB BAC =

14、90 .D(3)解：过点 F 作 FH 一 AD 于点 H . v BD _ AD，FH _ AD， FH / BC . 由(1)，知 FBA=/BAF， BF =AF .由已知，有BF = FG，二AF二FG，即 AFG是等腰三角形.hg 1 AH = GH . v DG = AG ,二 DG = 2HG，即DG 2BF / AD,必FBD =90 二四边形 BDHF 是矩形，BD = FH FHFG HG 曲 BD FG勿证 HFG DCG .，即CD CG DG CD CG .BD BDBD 1 21 . FGCG .CF2在 Rt FBC 中，v CF =3FG , BF 二 FG，由

15、勾股定理，得 CFBF2 BC2 .(3FG)2 =FG2 (6 J)2 .解得 FG =3 (负值舍去).FG =3 .或取 CG 的中点 H，连结 DH，则 CG =2HG .易证 AFCDHC，二 FG = HG ,故CG =2FG , CF =3FG .由 CD B ，易知 CDG CBF，二 CD 二空.CB CF 3FG 3v FHv FHv FH-AD ,/ BD,/ BC ,HGDGv L O 的半径长为 3.2 ,二 BC =6、2 .-CD BC - BD 6、2 _ BD 解得 BD = 2、2 .二 BD 二 FH =2 2 . v FG = HG = 1 ,CG DG

16、 2=3FG .由62 /D =2，解得BD = 22 .又在Rt CFB中，由勾股定理，得6 23(3FG)2 二FG (6 2)2,二 FG =3 (舍去负值).22.如图1,点C将线段AB分成两部分,如果坐二_BC ,那么称点C为线段AB的黄金分割AB AC点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄 金分割线”的定义：直线丨将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S,S2,如果詈詈那么称直线1为该图形的黄金分割线.(1) 研究小组猜想：在 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是厶ABC的黄金分割线.你认为对吗？为

17、什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点 C任作一条直线交AB于点E ,再过点D作直 线DF / CE,交AC于点F ,连接EF (如图3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你 说明理由.如图4, 点是LI ABCD的边AB的黄金分割点仃过点E作EF / AD，交DC于点F ， ABCD的黄金分割线.请你画一条口 ABCD的黄金分割线,使它不经过显然直线EF是ABCD各边黄金分割点.【解析】 直线CD是厶ABC的黄金分AdLSa BDc B 血C C 2斗,SI .理由如下：设ABC 二ABD 2 A又因为点D为边】AB的黄金分割点，所以有AD第22题图AB所以，直线CD是厶ABC的黄金分割线. 因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 ，此时q二S2=S,即S2 sSa adcSa bdSa aDC.pA bdcSa abcSa adcABC厂八.因此型ABC的边AB上的 ADC A勺h . BDAD吕，所Si以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线因为DF / CE，二 DEC和 FCE的公共边CE上的高也相等,所以有圧dec =足fce设直线EF与CD交于点G 所以Sadge = Safgc 所以Sa adc-S四边形 AFGD SA FGC-S四