4合情推理与演绎推理

1、合情推理与演绎推理 学习目标： 1 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理； 2 了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理 重点： 用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题 难点： 用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。 知识要点梳理 知识点一：合情推理 1 .归纳推理 (1 )定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) (2 )一般模式：部分 ；整体，个体.：一般 (3) 一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同性质； 从已知的相同的性质中推出一个明确表述的

2、一般性命题(猜想)； 检验猜想 2 .类比推理 (1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 这 些特征的推理称为类比推理(简称类比) (2 )一般模式：特殊一特殊 (3) 类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰 当的类比对象 (4) 一般步骤： 找出两类对象之间的相似性或一致性； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题(猜想)； 检验猜想 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可 靠.类比结论具有或然性，即可真可假 知识点二：演绎推理

3、 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理 (2 )一般模式：一般 r特殊. (3) “三段论”是演绎推理的一般模式，“三段论”式推理常用的一种格式： 大前提已知的一般原理； 小前提一一所研究的特殊情况； 结论-根据一般原理，对特殊情况作出的结论 (4 )用集合的观点理解“三段论” 、归纳推 若集合丄，一的所有元素都具有性质 厂，-一是，-的子集，那么-中所有元素都具有性质- 理 例1.( 1)观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以 连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？ 变式1设平面内有n条

4、直线(n _ 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 f(n)表示这n条直线交点的个数，贝U f(4)=;当nn4时，f (n) =(用n表示) 变式2.在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分; 画三条线段，彼此最多分割成9条线段，同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段，彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分？ 猜想：圆内两两相交的n( n 2)条线段，彼此最多分割成条线段？同时将圆分割成 部分？ 强化训练 1. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排， 那么第36个圆的颜色应是

5、2. 由- -,- -,空 色，若a b 0,m 0,则 4与-之间的大小关系为 10811102521a+ma 3. 下列推理是归纳推理的是 (填序号). A, B为定点，动点P满足|PA|+| PB=2a | AB，得P的轨迹为椭圆 由a1=1, an=3n-1，求出S, S2, S3,猜想出数列的前 n项和S的表达式 2 2 由圆x2+y2=r2的面积二r2，猜想出椭圆 笃务=1的面积S=ab a2 b2 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 4. 已知整数的数对列如 下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(

6、1,5),(2,4),则第 60 个数对 是. 二、类比推理 (一) 数列中的类比 例1.在等差数列 玄 冲，若a10 = 0 ,则有等式a a2an =a1 a a19_n(n ：19 ,nNJ成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn 中，若4=1，则 有等式成立. 强化练习 1. 定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和 数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 an等和数列，且 a=2，公和为5。那么a18的值为 ，这个数列前n项和Sn的计算公式为 。 2. 若数列an(n，N*)是等差数列，则有数列 bn二一生一,(n N*)也是等

7、差数列；类比上述性质，相应地：若数列 n cn( nN*) 是 等 比 数 列， 且Cn0, 则 有 数 列 dn =,(n N*)也是等比数列。 (二) 几何中的类比 例1.如图1,若射线 ON上分别存在点 M, M2与点N, N2,则SgMiNi =-M1 .N1 ;如图2,若不在 OM 2 ON 2 R, R,则类似的结论是什么？ OM 同一平面内的射线 s出M 2N2 Pi, P2,点 Q, Q2和点 例2 .已知O是厶ABC内任意一点，连结 AO BO CO并延长交对边于 A , B , C,则空+竺+竺日, AA BB CC 这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法” OA + O

8、B + OC = s obc + S.oca + S.oab = S.abc =1 AA BB CC S abc S.abc S.abc S.abc 请运用类比思想，对于空间中的四面体V BCD存在什么类似的结论？并用体积法证明 强化练习 1在平面几何中，有勾股定理：“设厶ABC的两边AB、AC互相垂直，则 AB2 AC2二BC2. ”拓展到空 间，类比平面几何的勾股定理， 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设 三棱锥A-BCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ” 2. 在平面几何中， ABC的内角平分线 CE分AB所成线段的比 匹=仝，把这个结

9、论类比到空间：在三棱 EB BC 锥A BCD中（如图所示），而 DEC平分二面角 A CD- B且与 AB相交于 E,则得到的类比的结论 是. 3. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶 2 点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为电.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体， 4 其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为. （三）解析几何中的类比 例1.已知椭圆具有性质：若 M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线 pm、PN的斜率都存在，并记为 kpM、kpN时，那么kpM与kp

10、N之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲 2 2 线 务-与=1写出具有类似特性的性质，并加以证明. a b 强化训练 2 2 2 2 1.已知两个圆：x y =1 ,与x ，（y-3） =1则由式减去式可得上述两 圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命 题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 . 2.如图,椭圆中心在坐标原点 ,F为左焦点，当 FB_AB时，其离心率为一,此类椭圆被称为“黄金椭圆”. 2 类比“黄金椭圆”，可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 ( ) 十进制 1 2 3 4 5 6 二进制 1 10 11 100 10

11、1 110 观察二进制 1位数，2位数，3位数时， 对应的十进制的数，当二进制 为6位数能表示十进制匚 P最大的数 (四)定义、运算中的类比 例1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表: 是 强 1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： mn=nm类比得到 “ a b=ba”;“ (m+n )t=mt+ nt ”类比得到 “ (a+b) -c=a -c+b c”；“ (m-n) t =m( n ) ” 类比得至卩 “ (a - b) - c=a - (b - c)” ；“ t 丰 0, mt=xt = m=x”类比得至卩 “ pz 0, a - p=x - p= a

12、=x” ; “I m n|=| m I n| ” 类比得到“ | a b|=| a| - | b| ”；“竺=旦”类比得到“ H= ? ” bc bb b 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 2.下面使用类比推理恰当的是 “若 a - 3=b - 3,贝U a=b” (a+b) c=ac+bc ” 类推出 类推出“若 a - 0=b - 0，贝U a=b ” “ a 亠b _ a 丄 b ” + c c c (a+b) c=ac+bc ”类推出“ -_ =a +b( c 丰 0) ” c c c n n nn n n, (ab) =a b 类推出 (a+b) =a +b 3.下面给出了关

13、于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； 2 2 2 2 由向量a的性质| a| =a类比得到复数z的性质| z| =z ； 方程ax2 bx 0 (a, b, c R)有两个不同实数根的条件是b2 -4ac - 0可以类比得到：方程 2 2 az bz 0 (a,b,C)有两个不同复数根的条件是b -4ac 0 ； 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 其中类比错误的是 A.B. C. D. 4.定义 A B, B C, C D, D - A的运算分别对应下图中的 (1)、(2)、(3)、 (4)，那么下图中的(A )、 (B)所对应的运算结果可

14、能是 (1)(2) (3) ( (4) (A) A. B D, A D B. B D, A C C. B C, A D D. C D, 三、演绎推理 例1. 一切奇数都不能被 式为 例2 有一段演绎推理是这样的： b冬平面：，直线a _平面, 2整除, 2100+1是奇数，所以2100+1不能被 2整除，其演绎推理的“三段论”的形 “直线平行于平面 直线b /平面:- ()A.大前提错误B.小前提错误C. 例3 “； AC,BD是菱形ABCD的对角线， 是 ,则平行于平面内所有直线；已知直线 ，则直线b /直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 推理形式错误D.非以上错误 AC,BD互相垂直且

15、平分。”补充以上推理的大前提 f (n)二 2 34 亠 亠(n _1) _(2 n _ 1)( n_2) - 2 2(n 十1)( n 2). “三段论” 例4 .由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 推理出一个结论，则这个结论是。 合情推理与演绎推理(答案) 一、归纳推理 例1.解析：(1 )设f(n)为n个点可连的弦的条数，则 1 变式1.【答案】5,(n 1)(n -2) 2 解：由图B可得f (4) =5 , 由 f (3) =2 , f(4) =5 , f(5) =9 , f (6) =14，可推得 n每增加1，则交点增加(n-1)个, 变式 2.

16、 (1) 16, 11 (2)门2,丄(n2 n 2) 2 4 b 3.答案 4.答案 (5,7) a - m a 强化训练 1.答案白色2.答案 二、类比推理 (一) 数列中的类比 例1分析本题考查等差数列与等比数列的类比一种较本质的认识是: 等差数列 用减法定义 性质用加法表述(若 m,n,p,qN* ,且 m n 二 p q,则 am a ap - aq)； 等比数列 一用除法定义 一 性质用乘法表述(若 m,n,p,qN*,且 m n = p q,则 am a n 一 ap aq) 由此，猜测本题的答案为: * db2 bn = b|b - b17_n (n Q2R2 OP2 *0Q2

17、 *0R2 E、F、G H 例2 .证明 在四面体V BCD中，任取一点 0连结VO DO BO CO并延长分别交四个面于 点.则 OE + OF+OG + OH=i. VE DF BG CH 在四面体 C BCD与 V BCD中: 1 OE=h1 =3SbCD，h1 =Vocd VE h 3 s BCD *h Vv-bcd 3 同理有. OF = vo vbc ； OG _ Vo *cd ； OH =vo -vbd DF Vd -vbc BG Vb _vcd CH Vc _vbd OE + OF + OG + OH VE DF BG CH = Vo_BCD -+VO VBC 杓0 卫CD -

18、+Vo JVBD =Vv_BCD = Vv _bcd vv _bcd 强化练习 1.分析 多面体 关于空间问题与平面问题的类比, 多边形； 体积面积； 面积 一_ 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案： 通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比: 面 .面角 （证明略） S.ABC S ACD S.ADB = S BCD 2.答案 ae = s.aCD 3.答案 EB S bcd （三）解析几何中的类比 2 例1.分析类似的性质为：若 M、N是双曲线笃 a 2 与 二1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上 b2 任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为 k pm、kPN时，那么 kpM

19、与kpN之积是与点P的位置无 关的定值. 证明：设点 M、P的坐标为（m,n ）、（ x, y ）,则 N (一 m, -n ) 因为点M （ m,n） 2 在已知双曲线上，所以 n gm2 -b2，同理 a b2 2.2 2 x b . a 则 kPM kPN y n x -m 22 yny_n = -22 xmxm a2 2 x 2 x 2 m 2 _m 上（定值） a 强化训练 1.分析 将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况: 设圆的方程为（x-a）2 （y-b）2 与(x _c)2 (y _d)2 其中a = c或b = d，则由式减去式可得两圆的对称轴方程 评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 亦+1 解析： 猜想出 黄金双曲线”的离心率e等于.事实上对直角厶 ABF应用勾股定理， 2 得AF BF +|ab|2,即有(a+c)2 =(b2