经济管理数学第1章 函数、极限与连续

1、经济管理数学 何良材 编著 重庆大学出版社 引 言 0.1 微积分的产生和发展 在我国古代，已孕育着微积分思想的萌芽，如西汉 刘歆在西京杂记中提到的“记里车”，东汉张 衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的 “木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，要求更 精确的圆周率，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割 圆术”.他从圆内接的正多边形做起，令边数成倍 地增加，即从6而12，而24，而48，而 384，而3 072.用这个正3 072边形面积“近似代 替”圆面积，就得的更精确值3.141 6，“割之弥 细，所失弥少；割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失 矣”，这里就已包含着微积分中“无限细

2、分，无 限求和”的思想方法.又如，隋代建造的跨度达37 m的大石拱桥赵州桥，系用一条条长方形条 石砌成，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲 线的拱圈，这就是微积分“以直代曲”(或“以常 代变”)这个基本思想的生动原型. 恩格斯指出“数学的转折点是笛卡儿的变数.有了 变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入 了数学.有了变数，微分和积分也就立刻成为必要 的了.而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布 尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的.” 0.2 微积分如何解决实际问题 自由落体的速度问题. 由物理学可知，自由落体的运动规律为 第一步 分析问题，提出矛盾 图0.1 第二步 寻求做法，解决问题

3、落体在t=1 s到t=1.1 s这段时间内的平均速 度 时刻t=1 s到t=1.01 s这段时间落体的平均速度 落在t=1 s到t=(1+t) s这段时间内的平均速度 从平均速度的数学表达式 可以看出，当t无限变小时，v 就“无限接近” 于常数值9.8，因此，自由落体在t=1 s时的瞬时速 度为9.8 m/s，即v=9.8 m/s. - 上面由平均速度向瞬时速度转化的分析，可图示 如下： 自由落体瞬时速度的方法： 第一步 以“不变代变”(或以常代变)，求出t=1 s 到t(1+t) s这段时间内的平均速度 v. 第二步在t “无限变小”的过程中，考察平均速 度v 的变化趋势，从而得出其自由落体

4、在t =1 s时 的瞬时速度. - - 第1章 函数、极限与连续 1.1 函数 1.1.1 变量 (1)变量和常量 始终保持一定数值而不变化的量叫做常量，可以 取不同数值而变化的量叫做变量. (2)区间 通常用“区间”来表示变量x的变化范围.设a，b 是两个给定的实数，满足axb的实数的全体叫做 闭区间，用记号a,b表示；满足axb的实数 的全体叫做开区间，用记号(a,b)表示；满足axb 或axb的实数的区间叫做半开半闭区间，用记号 (a,b或a,b)表示. (3)邻域 在数轴上，一个以x0点为中心，半径为的对称开 区间(x0-,x0+)叫做点x0的邻域，记为N(x0,). 1.1.2 函数

5、概念 (1)引例 引例1 圆的面积A与其半径r之间的相互关系为： A=r2,当在(0，+)内任意取定一个数值时，就可 由上式确定圆面积A的对应数值. 引例2 某商品的销售单价为k(元)，销售数量x与 销售收入R(元)之间的相互关系为：R=kx，当x在 自然数集1，2，3，中任意取定一个数值时， 就可由上式确定销售收入R的对应数值. 引例3 某气象站用自动记录仪记下一昼夜气温的 变化情况.图1.1是温度记录仪在坐标纸上画出的 温度变化曲线图，其中横坐标是时间t，纵坐标 是温度T，它形象地表示出温度T随时间t变化而 变化的规律：对于某一确定的时间t(0t24)， 就有一个确定的T值与之对应.例如，

6、当t=t0时， 由图1.1有T=T0. 图1.1 引例4 某百货商店记录了毛线历年来的月销售量 (单位：百公斤)，并将近10年来的平均月销售量列 成表1.1. 以上各例，虽其具体意义各不相同，但其共同特 点是它们都表达了两个变量之间的相依关系，并 为这种相依关系给出了一种对应法则.根据这一法 则，当其中一个变量在其变化范围内任取一个数 值时，另一个变量就有确定的值与之对应.两个变 量之间的这种对应关系就是函数概念的实质. (2)函数定义 定义1.1 设有两个变量x与y，若当变量x在其变化 范围内任取一个数值时，变量y按照一定的法则， 总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数.记作 x叫自变量，

7、y叫因变量，自变量x可取值的全体 叫函数的定义域，常记为D；对应x的函数值的全 体叫函数的值域，常记为E. (3)函数定义域的求法 例1 求下列函数定义域： 或 或 (4)函数符号f(x)的使用 (5)分段函数 凡函数公式法中，用两个或两个以上的分析式子 所给出的函数，称为分段函数. 分段函数可以把一些较复杂的经济活动的全过程 表示出来，它在实际应用中经常遇见，很有实用 价值. 一般而言，分段函数已不属于初等函数的范围了. 但它仍然表示一个函数，不要把分段函数误认为 有几个表达式就看成几个函数，千万要注意这一 点.而且分段函数的函数值是用自变量所在区间相 对应的那个式子去计算. (6)反函数

8、一般由y=f(x)(直接函数)确定x是y的函数：x= (y)， 称x= (y)为y=f(x)的反函数.通常y=f(x)的反函数记 为y=f -1(x). 函数y=f(x)的图形与其反函数y=f -1(x)的图形是关 于直线y=x对称的两条曲线，见图1.2. 图1.2 例 设y=f(x)=e2x-1，求其反函数. 解 由y=e2x-1有e2x=y+1 (7)建立函数关系式举例 设有一块边长为a的正方形铁皮，在它的四角各剪 去边长相等的一块小正方形，制成一个无盖盒子， 求这盒子的容积与被剪去的小正方形边长之间的 函数关系. y = (x+1)为 y = 解 设被剪去的小正方形边长为x，盒子的容积为

9、V， 这时，盒子的高为x，正方形的底边长为（a-2x） (图1.3)，根据几何知识，底面积乘以高等于体积， 于是可得盒子的容积为 1.1.3 函数的几种特性 (1)增减性 单调增加函数的图形是沿x轴正方向逐渐上升的， 如图1.5所示；单调减少函数的图形是沿x轴正方 向逐渐下降的，如图1.6所示. 图1.3 图1.6图1.5 例 求证f(x)=2x-5为增函数. 证Df=(-,+)，在Df内任取两点x1,x2，且x1x2， 即x1-x20.现需证f(x1)f(x2).事实上 从而f(x1)0)为减函数. 证 在定义域Df=(0，+)内任取两点x1,x2，且 x1x2，即 f(x2)成立，故f(x

10、)=1-ln x为减函数. (2)奇偶性 对函数y=f(x)，若当自变量x改变符号时，函数值y 也改变符号，即恒有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇 函数；若当x改变符号时，函数值不变号，即恒有 f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数.由函数奇偶性 定义不难看出： 函数为奇函数的充要条件为f(-x)+f(x)=0恒成立； 函数为偶函数的充要条件为f(-x)-f(x)=0恒成立. 图1.7图1.8 奇函数的图形对称于坐标原点，如图1.7所示；偶 函数的图形对称于y轴，如图1.8所示. 例 判断下列函数的奇偶性： 这表明y=x2+sin x既非奇函数，也非偶函数.亦称 y=x2+

11、sin x为非奇非偶函数. (3)周期性 对y=f(x)，如存在正数T，使 f(x+)=f(x)恒成立， 则称此函数为周期函数，且称满足这个等式的最 小正数T为函数的周期.对周期函数，可由任何一段 长为T的区间上的图形通过平移确定其整个图形. 例如y=sin x,y=tan x，它们都是周期函数,且其周期 分别为2与. 1.1.4 初等函数 (1)基本初等函数 1)常量函数 图1.9 2)幂函数 3)指数函数 如图1.10所示. 4)对数函数 如图1.11所示. 图1.10图1.11 5)三角函数 函数sin x，cos x，sec x，csc x是以2为周期； tan x，cot x是以为周

12、期的周期函数.sin x，cos x是有界 函数，其他都是无界函数.cos x，sec x是偶函数，其 他都是奇函数. 6)反三角函数 反三角函数是把三角函数限制在单调区间上的反 函数.常用的反三角函数是： 上面6种函数统称为基本初等函数. (2)复合函数 定义1.2 若y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数 u=(x)，且与x对应的u值能使y有定义，则称y为x 的复合函数，记作y=f(x).其中u叫中间变量， x叫基本变量. 例 下列复合函数是由哪些简单函数复合而成? 解 将复合函数分解为简单函数的关键是抓住每次 复合的末一道运算. 1) 的末一道运算是幂运算，因此它是 由简单函数 ，u

13、=1+x2复合而成. 2)y=cos2 x的末一道运算是幂运算，因此它由y=u2， u=cos x复合而成. 3) 的末一道运算是乘积运算，因 此它是由y=2u，u=sin v， ，w=1-x2复合 而成. 4) 的末一道运算是对数运算， 因此，它是由y=ln u，u=1+v， ，w=1+x2 复合而成. (3)初等函数 定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算(加、 减、乘、除、乘方、开方)与复合步骤构成的，且 能用一个数学式子表示的一切函数，统称为初等 函数. 1.1.5 经济学中常用的函数 (1)微观经济学中常用的经济函数 1)需求函数 把商品价格P看做自变量，需求量Q看做因变量，

14、即需求量Q可视为商品价格P的函数，称为需求函 数，记作 图1.12图1.13 在经济学和企业管理中常用的需求函数有：线性 需求函数Q=a-bP(a0,b0，均为常数). 二次曲线需求函数Q=a-bP-cP2(a0，b0，c0， 均为常数). 指数需求函数Q=ae-bP(a0，b0，均为常数). 2)供给函数(供应函数) 经济学中最常用的供给 函数是线性供给函数， 它的一般形式为Q=cP-d， 供给曲线如图1.14所示. 其他常见的供给函数还 有二次函数、幂函数、 指数函数等. 图1.14 3)成本函数(费用函数) 经济学中常用的总成本函数有： 线性函数 C=C(x)=C1+ax 二次函数 C=

15、C(x)=a1+a2x+a3x2 三次函数 C=C(x)=k0+k1x+k2x2+k3x3 4)收益函数 总收益、平均收益函数. 5)利润函数 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，就 是总利润，记作L. 平均利润记作 ，即 6)生产函数 如果以x表示变化的投入量， q表示产出量，则生产函数为 图1.15 (2)宏观经济学中常用的经济函数 1)综合生产函数 它反映国民经济生产总值关于资本、土地、劳力、 智力开发等的综合变化规律，在资本、土地不能 增加，劳力充分就业的情况下，可以看成是智力 开发d的函数：y=f (d)，这是一个递增函数. 2)消费函数 它反映国民消费总额C与国民生产总值x的关

16、系： C= (x)，一般地，也是一个递增函数. 3)投资函数 它反映投入I与银行利率r的关系：I=f (r)，其中 I是 总投资额，r是银行利率.这是一个递减函数，即当 利率提高时，投资就减少. （3）经济函数的简单应用 1)均衡价格 均衡价格就是市场上需求量与供给量相等时的价 格.在图1.16中，即需求曲线D与供给曲线S之交点E 的横坐标P=P0，称为供给均衡价格.此时，需求量 与供给量均为Q0，称为均衡商品量. 当PP0时(如图1.17中P=P2处)，市场上出现“供过 于求”. 例 设某商品的需求函数和供给函数分别为 图1.17图1.16 试求均衡价格和均衡商品量. 解 求均衡价格P0和均

17、衡商品量Q0，从几何角度说， 就是找需求曲线D和供给曲线S交点的横坐标与纵 坐标；从代数的角度说，就是求解需求函数Q=Q(P) 与供给函数Q=q(P)构成的联立方程组： 于是，可令b-aP=cP-d，解之，得均衡价格为 从而均衡商品量为 2)无盈亏量 无盈亏量就是企业的总收 益与总成本相等的产量.即 收益恰好等于补偿总成本 的产量.在图1.18中，即收 益曲线TR与总成本曲线TC 的交点的横坐标x0. 图1.18 例 设生产某种商品x件时的总成本为 若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产 20件时的总利润L和平均利润 ； 求经济活动的保本点； 若每天销售40件商品，为了不亏本，单价应定 为

18、多少？ 解 已知总成本函数为C(x)，又由题意知P=20万 元，故售出x件商品时的总收入函数为 由此，有 当x=20时，总利润为 即 所谓保本点，就是无盈亏点，可令 解得x1=1.15，x2=34.85. 因为L(x)是二次函数，当xx2时，都有L(x)0， 这时生产经营是亏损的；当x1x0，这 时生产经营是盈利的.因此x=2件和x=34件是盈利的临 界点，都可以是保本点，即无盈亏点.同时把(x1,x2)事 实上即2,34称为盈利区间；0,1与35,+)称为亏损 区间. 设单价定为P(万元)，销售40件的收入应为R=40P， 这时的成本函数为 利润函数L=R(40)-C(40)=40P-900

19、，为使生产经营不 亏本，就必须使L=40P-9000，故得P22.5 万元. 所以只有当销售单价不低于22.5万元，才能不亏本. 1.2 函数的极限 1.2.1 极限概念 (1)两个引例 引例1 圆的面积问题. 从几何图形上看(图1.19)，内接正多边形的边数越多， 它就越贴近于圆，当边数无穷无尽地增多时，它就 无穷无尽地贴近于圆，这时内接正多边形的面积， 在无穷无尽地变化过程中就转化为圆的面积. 图1.19 图1.20 再从数量上来看，将内接正n边形分成n个全等的 等腰三角形(图1.20)，等腰三角形OAB的顶 角 ，OB边上高 ，于是OAB 的面积为 ，而内接n边形的面积 An等于OAB面

20、积的n倍，故有 根据这一公式，可算出一系列内接正多边形的面 积值如表1.2所示. 引例2 自由落体运动 在t=1 s时的速度问题. 我们知道，自由落体运动不是等速运动，它的速度 是随时间而变化的，因此从第1 s末到第t s，物体 下落的路程s(t)-s(1)与下落这段路程所需时间t-1 的比值 现在从数量上来看，在时间间隔 1，t内的平均 速度 是t的函数，当t 越接近于1时，它 的变化趋势怎样呢？计算一批数值如表1.3所示. (2)数列的极限 1)数列 定义1.4 定义在正整数集上的函数yn=f (n)(称为整 标函数)，当自变量n按正整数1，2，3，依次 增大的顺序取值时，函数值yn按相应

21、顺序排成的 一串有序数： 称为一个无穷数列，简称数列，记为yn或 f (n)，其中每一个数称为数列的项，yn=f (n)称 为数列的通项.由定义可知，一个数列只要知道它 的通项yn，这个数列立即就可写出. 2)数列的极限 一般地，若数列yn当n“无限增大”时，yn的值就 “无限趋近”于某一常数A，则把A叫做数列yn 的极限.记为 . 从图1.21可看出，当n无 限增大时， yn的值无限 趋近于1，这意味着： 当n充分大时，动点yn与 1可以任意地接近.即 图1.21 可以任意地小，也就是说，只要n足够大时，就能 使|yn-1|小于预先给定的无论多么小的正数. 由此可知，对于数列 ，不论给定一个

22、多 么小的正数，总存在正整数N(项数)，使得对于 nN的一切yn，不等式|yn1|N的一切yn，不等式 |ynA|恒成立，则A叫做数列yn当n时 的极限，或称数列yn收敛于A，记为 否则，就说数列yn的极限不存在或数列yn发散. 在数列极限定义中，必须注意： 正数任意给定这一要求至关重要，因为只有这 样，不等式|ynA|N时，所有的无穷多个点(n， yn)全部落入带形域内，也即是yn落入A 的 邻域(A- ，A+)内，而在带形域外至多有有限个点，如图 1.22所示. 图1.22 图1.23 (3)函数的极限 1)xx0时，函数f(x)的极限 定义1.6 若当x无限趋近于x0 (xx0)时，函数

23、f(x) 无限趋近于一个固定的常数A，则A叫做函数f(x)当 xx0时的极限，记作 如图1.23所示， ，当x0时，AB无限趋近于 常数0，从而 也无限趋近于0. 所以 同理可得： 2)极限 的几何意义 在几何图形上，函数极限 可表示为：当 xx0时，曲线y =f (x)上的 动点(x，f (x)无限地接近于 定点(x0 ，A)，如图1.24所示. 图1.24 当 时，称 存在，否则，称 不存在. 3)x时，函数f(x)的极限 定义1.7 若当x的绝对值无限增大(|x|)时，函 数f (x)无限趋近于一个固定常数A，则A叫做函数 f (x)当x 时的极限，记为 例如，设函数 ，当x 时，分母1

24、+x2 无限地增大，因而 无限地减小而趋近于零, 故 =0 . 如图1.25所示，当点(x，y)沿曲 线 向y轴左、右两侧无限地远离时，它就与x 轴(即y=0)无限逼近. 1.2.2 无穷小量与无穷大量 (1)无穷小量 1)无穷小量的概念 定义1.8 若函数f(x)当x* (*可以代表x0，x0-，x0+ ， 图1.25 ，-，+)时以零为极限，即 ，则f(x) 叫做x *时的无穷小量，简称无穷小. 2)无穷小的性质 性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 性质3 有界变量与无穷小量之乘积为无穷小.特别 地，常量与无穷小的乘积仍为无穷小. 性质4 具有

25、极限的函数等于它的极限与一个无穷 小之和，即 (常数)的充要条件为 3)无穷小的比较 定义1.9 设 (2)无穷大量 定义1.10 当x*时，若函数f (x)的绝对值| f (x)| 无限增大，则称f(x)当x *时为无穷大量，简称 无穷大，记为 1.2.3 极限的计算 (1)基本函数的极限 1)常数函数f(x)=C(C为常数)的极限 设x0为(-，+)内任一点，因无论x作何变化， f(x) 始终为C，即有 ，故常数函数C的极限仍 为C. 2)函数f(x)=x的极限 设x0为(-，+)内任一点，有 ； 又 ，这表明函数f(x)=x的变化 趋势与自变量x的变化趋势一致，故函数f(x)=x的极 限

26、等于自变量x的极限. 3)两个重要极限 (2)极限的运算法则 定理1.1 (极限四则运算定理) 设 ， limx*g(x) ，则 (3)极限求法例题 例 求 . 解 因为当x2时，函数3x2,-2x,1都有极限，由 定理1.1及其推论，以及基本函数极限 ， 有 例 求 解 因分母的极限为 limx1(5x-5)=limx15x- limx15=5limx ，所以不能直接用商的极限运 算法则，但当x1的过程中x1，即(x-1)0，因 而在分式中可以约去不为零的公因子，然后再求 极限，即 例 求下列极限. (4)连续复利 所谓复利问题：就是求对本利和的计算.现设本金 为A0，年度为t.如果每年结算一次，年利率为r，则 如果每年结算次数n，则t 年后的本利和为 1.3 函数的连续性 1.3.1 连续函数的概念 定义1.11 设y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义， 若当自变量的增量x=x-x0无限趋近于零时，函数 的相应增量y=f(x0+x)-f(x0)也无限趋近于零，即 则称函数y=f(x