56二项式定理十大典型例题配套练习

1、选修2-3 :二项式定理常见题型1. 二项式定理:(a b)n c0an cnan1b Lcnan rbr L C；bn(n N ),2. 基本概念:二项式展开式：右边的多项式叫做（a b）n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 C： （r 0,1,2,n）.项数：共n+1项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第 r 1项Cnan rbr叫做二项式展开式的通项。Tr1 Cnan rbr表示。Q n kCn3. 性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,二项式系数和：令 a b 1,可得二项式系数的和为 CO C1cnC：2n ,变形式cn cL cn L

2、 C；2n 1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令a 1,b1，则 Cncn Cnc3 l1)ncn(11)n0 ,从而得到：Cn CnC；r12n二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数nc!取得最大值。如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数n 1 n 1Cn2 ,Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别Ar ，从而解出r来。Ar 2Ar 1 为A1, A2, An 1，设第r 1项系数最大，应有AAr 1题型一：二项式定理的逆用;例: cn c2

3、 6 cn3 62 L C； 6n 1解：(1 6)n Cn C6 Cn 62 c3 63 LC； 6n1C1C：6 c362L C： 6n 1-(Cn 6Cn62LC：6n)6扣0Cn6C262LCnn6n1)416)n 1 1(7n 1)练：cn 3Cn 9Cn L 3n 1Cn题型二：利用通项公式求 x的系数;例：在二项式（f yZ）n的展开式中倒数第3项的系数为345，求含有x的项的系数解：由条件知 C： 2 45，即Cn 45，n2n 900,解得n9(舍去)或n 10,1 2Tr1C；0(x4)10r(x3)rC；0x10 r2-r3，由题意1043,解得r 6 ,OO O则含有x

4、的项是第7项T6 1 C10X3210x ,系数为210。练：求（X2）9展开式中x9的系数2x解: Tr1 C9(x2)9 r(丄)2x故x9的系数为空（2）3r C r 18 2r .1 ,rC9x( 2)xc9(1、r2)x18 3r令 18 3r 9,则 r21o2题型三：利用通项公式求常数项；例:求二项式（X23）10的展开式中的常数项解:Tr1c；0(x2)10r(*)rC1r0(2)r/20-r 0，得28 1 8r 8，所以 T9C180()8245256练:解:1求二项式(2x)6的展开式中的常数项2xTr 1 C6r(2x)6 r( 1)r(+)r (1)rc626 rG)

5、r2x22xx62r，令 6 2r0 ,得r 3，所以T4（1)3C320练:4若（X2 -）n的二项展开式中第5项为常数项，则nx解:T5 c：(x2)n4(丄)4 C：x2n12，令 2n 120,得 n 6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（Jx Vx）9展开式中的有理项1 1解: Tr 1C9(X2)9 r( X3)r27 r(1，令Z,(09)得 r 3或r 9 ,所以当r 3时，27 r6当 r 9 时，27 r 3，633444，T4 ( 1) C9X84x，_.八3- 9 33T10( 1) C9 XX。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数

6、和;例:若（员 詁尹n展开式中偶数项系数和为256，求n.Jx解:设（辰 厶）n展开式中各项系数依次设为a0 , a1, an ,练:解:令X 1,则有a。a1an 0,，令X将得：2（a1 a3 a5）2n,印有题意得，225628， n 9。1,则有aoa3a5若（平 $）的展开式中，所有的奇数项的系数和为QC0 C： C：Cnrcn c； L cnr1aia22na3(1)nan2n,1024，求它的中间项。2n12n 11024，解得 n 1161462 X 4，T6 1462 x例:解:Q c4 c6 2Cn, n221n980,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最

7、大的项练:解:练:是T4和T5 T4的系数c3(1)4232系数最大的项是T8，Ts的系数,，T5的系数C；（）324 70,当n 14时，展开式中二项式2 2Cj1）7?73432。2在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn 1，也就是第n 1项。12在（2 K）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少所以中间两个项分别为 n 6,n7，T51 C5（X）6（T）5题型六：最大系数，最大项;1已知（一 2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数2最

8、大项的系数是多少解:n612只有第5项的二项式最大，则_ 1 5，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C8（m）7练:写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项系数最小的项解:因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C；a4b3的系数最小，T5 C；a3b4系数最大。练:1若展开式前三项的二项式系数和等于79 ,求（-2x）n的展开式中系数最大的项2解:由 Cn cn C；79,解出1 1n 12,假设Tr 1项最大，Q (2x)12 (才12(14x)12练:Ar 1ArAr 1Ar 2C1r2 4rC1r2 4r系数最大的项为

9、T11,有T11C12 4，化简得到 9.4 r 10.4，又Q0 rC1r2 14r 1,1 12 10 10 10(2)C124 x1016896x12，r 10，展开式中在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少解:假设 Tr 1 项最大，QTr 1 C1r0 2rxrAr 1ArC1r0 2rC1r012r 1 解得Ar 1Ar 2C1r0 2rC1r012r1,2(11r 1r) r)，化简得到6.32(10 r)k 7.3，又 Q0 r 10，15360X7.r 7,展开式中系数最大的项为Ts C1727x7例：求当题型七：含有三项变两项解法:(x2 3x 2)5(x22) 3x

10、5，Tr 1 C5(x22）5r（3x）r，当且仅当r 1时，Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2C1(x22)43x，所以 x 得一次项为 C1C4 243x它的系数为c1c44243240 。解法:2555(x 3x 2) (x 1) (x 2)(C0x5 c5x4C5)(C?x5C?25)故展开式中含x的项为CxC5 C5 x 24 2 40x，故展开式中x的系数为240.练：求式子（12）3的常数项解: (|x（Q衣） 6，设第r 1项为常数项，则Tr 1 c6（1)r6 r1r6 r6 2rx(x)(1) C6x ，3 3得6 2r 0,r 3,T31 ( 1) C6

11、20.题型八：两个二项式相乘;例:求(1 2x)3(1 X)4展开式中X2的系数.解:(1 X)4的展开式的通项是C4( x)ncn1n Xn,其中 m 0,123, n 0,123,4,练:解:令 m n 2,则 m 0且 n 2,m1且 n的展开式中X2的系数等于C； 20 C：(求(1 坂)6(1制。 展开式中的常数项mn(1坂)6(1二)10展开式的通项为cmx3 C1n0X41,m1)2cm其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m2且n 0,因此(1c3 21 c4(4m 3nC1n0 xF3n,即 mn00,或2x)3(1 x)41)122C0(1)

12、06.:,或6,Q(1 2x)3的展开式的通项是 cm (2x)m cm 2m Xm,4246.时得展开式中的常数项为c60 Cw c； Cw C；C18)练:1已知(1 X x2)(x p)n的展开式中没有常数项，n N*且2 n 8,则nX解:(x -)n展开式的通项为cn xn r XX3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得r n4 rrn41小 n4rCn X ,Cn X ,Cn X2 ,Q展开式中不含常数项，2 nn 4r 且 n 4r 1且 n 4r2，即卩 n4,8且n3,7且n 2,6,n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和例：在(x &) 2006的二项

13、展开式中,含X的奇次幕的项之和为S,当X解：设(X 妬2006二a。ax1a2x23asXI2006La2006X7 2006v2)=a0a1x1a2x23asXI2006La2006X得2(盼La2005X2005、ZrZx 2006z)(x V2)(x72)2006(X歼6展开式的奇次幂项之和为s(x)卯x叼2006 (x厨0063 2006运时皿1(逅硏6(逅硏6分23008所有二项式系数的和为例：设二项式(3坂 l)n的展开式的各项系数的和为XP s 272，则n等于多少2解:若(3坂丄)Xa02a2xanXn ，有 Pa0 a1an , S练:2n 16 或 2n若 3長 AJx4n

14、，又 p17(舍去)s 272,即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16)0解得n 4.的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少解:64，所以，则展开式的常数项为n1的展开式中各项系数之和为2vx练:解:雳(3仮)3 ( $)3若(1 2x)2009a01令x 2,可得a0在令X 0可得a。练：若(x2)5 asX5解：令Xai540.1 2a/a2Xa1 a22 221,因而4a4x0 得 ao32,令 xa?a3a4as3asX2009a2009X(XR),则a2222009的值为a123asx1 得 a。31.a200922009a.2a2xa10,ai2a2009

15、2 20091a1xa2a3a2221.a0,则 a1a4asa20092 2009a?a3a41,a。a5题型十一：整除性；I例：证明:32n2 8n9(nN )能被64整除证：32n 28n99n8n9(81)n 1 8n18ncn18nCn18n18n8(n1) 1 8 n 9cnwUHCnn1182由于各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除练习：1、(X 1)11展开式中X的偶次项系数之和是 f (1) f (1)1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是一L ( 2)11/210242、cn 3C1 32C23ncn6、(1 x) (1 x)2/A 1

16、0(1x)(1x)1(1 X)10L(X 1)11 (x 1)，原式中x3实为这分子中的x4,x1(1 x)则所求系数为C1717、若 f (x)“、m(1 x)(1 x)n(mN)展开式中，x的系数为21,问m、n为何值时，x2的系数最小7、由条件得m+n=21，2的项为cmcix2或11时上式有最小值，也就是m=11 和n=10，399丄.因n N，故当n=104或m=10和n=11时，x2的系数最小*22，贝y CmCn21 2(n y)8、自然数n为偶数时，求证:1 21 2Cn Cn2C3 c：2Cncn 3 2n18、原式=(cn cn c2cn1 cn) (cncn1)2n 2n

17、1 3.2n19、求8011被9除的余数-9、8011(81 1)11C101811118110C；081181k1(kZ),2、4n项.3、(丁5=)20的展开式中的有理项是展开式的第 3、3,9,15,21 4、(2x-1)求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数.展开式中各项系数绝对值之和是 k 乙 9k-1 Z,. 8111 被 9 除余 &10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数*2)5255在(x+1)5展开式中，常数项为1,10、(x2 3x 2)5 (x 1)5(x含x的项为C5 5x，在(2+x)5、(1 x x2)(1x)10(1 x3)(1x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的 1与(1-x)9展开式中的项展开式中，常数项为26、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中X3的系数.=32，含x的项为C152 (2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35x 80x展开式中含 x的项为1 (80x)5x(32)