幻方数学论文

1、 相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中 浮出神龟，背驮浮出神龟，背驮“洛书洛书” ” ，献给大禹。大，献给大禹。大 禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依 此定九章大法，治理社会，流传下来收入此定九章大法，治理社会，流传下来收入 尚书尚书中。中。 洛书洛书( (见图见图1)1)中每个小圆圈都代表一个中每个小圆圈都代表一个 1 1。所以把它写成现在的形式就是图。所以把它写成现在的形式就是图2 2。 图图1 618 753 294 图图2 图图2是由三行三列九个数字组成的正是由三行三列九个数字组成的正 方形排列，它的每一行、每一列、每条

2、方形排列，它的每一行、每一列、每条 对角线上的三个数字的和都是对角线上的三个数字的和都是15。这种。这种 正方形排列，在我国历史上，叫做正方形排列，在我国历史上，叫做“九九 宫图宫图”，亦叫做纵横图。现在，人们称，亦叫做纵横图。现在，人们称 它为它为“幻方幻方”。因为图。因为图2是由三行三列组是由三行三列组 成的，所以它被称为三阶幻方。成的，所以它被称为三阶幻方。 492 357 816 图图2 三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数 学家杨辉给出了一种简便的方法：学家杨辉给出了一种简便的方法：“戴一履九，戴一履九， 左三右七，二四为肩，六八为足左三右七，

3、二四为肩，六八为足”如图如图3，将，将1至至 9九个数字斜着排列，然后把上下两个数字九个数字斜着排列，然后把上下两个数字1和和9 对调，左右两个数字对调，左右两个数字7和和3对换，得到图对换，得到图4。再将。再将 图图4中的上下左右四个数字中的上下左右四个数字9，1，3，7分别写进分别写进 与它相邻的空格中，就会得到图与它相邻的空格中，就会得到图2。 图图3图图4 618 753 294 图图2 根据图根据图2发现，每行，每列，发现，每行，每列， 对角线三数的平均数均为对角线三数的平均数均为5（中（中 间数）。也就是中间数和相邻两间数）。也就是中间数和相邻两 数之间的距离相等。说明数之间的距离

4、相等。说明:（a+b） 2=c,a+b=2c。 所以所以9个格中的数从个格中的数从 大到小排列后应该为一大到小排列后应该为一 个等差数列。这个数列个等差数列。这个数列 的平均数就是三阶幻方的平均数就是三阶幻方 的中间数。的中间数。 acb 492 357 816 图图2 前面告诉我们怎样找这八个数了，可前面告诉我们怎样找这八个数了，可 怎样把这些数分别填入怎样把这些数分别填入9格中呢？让我们格中呢？让我们 再来看看洛书（图再来看看洛书（图2）。若设中间的数为）。若设中间的数为a， 写成一般形式就是图写成一般形式就是图3. 第四大第四大最小最小第二大第二大 第三大第三大a第三小第三小 第二小第二

5、小最大最大第四小第四小 图图3 618 753 294 图图2 a+1a-4a+3 a+2aa-2 a-3a+4a-1 于是可以总结出填三阶幻方的方法，把于是可以总结出填三阶幻方的方法，把 那八个数从大到小依次放在中间数的：上、那八个数从大到小依次放在中间数的：上、 左下、右、右下、左上、左、右上、下。左下、右、右下、左上、左、右上、下。 例题分析例题分析 1、找九个不同的数，完成下图。找九个不同的数，完成下图。 8 解：已设定，中间数为解：已设定，中间数为8，利用前，利用前 面总结的规律，找九个数：面总结的规律，找九个数：412。 按规律填进去。按规律填进去。 于是得出于是得出 5127 1086 9411 2 2、把、把1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、8 8、9 9、1010、1111 填入下图，使得每行，每列，对角线填入下图，使得每行，每列，对角线 三数和相等三数和相等。 解：根据前面总结的规律，填入下图的九个数解：根据前面总结的规律，填入下图的九个数 的平均数是中间数。的平均数是中间数。 2+3+4+5+6+7+8+9+102+3+4+5+6+7+8+9+109=69=6 729 864 3105 于是可以填出于是可以填出 通过以上的分析，我们知道通过以上的分析