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1、二项式定理1二项式定理:(a b)n c0an C1an 1b L Qa rbr L C；bn(n N),2.基本概念:二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 cn (r 0,1,2,n).项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第 r 1项cnan rbr叫做二项式展开式的通项。用 Tr 1 C；an rbr表示。3 .注意关键点:项数:展开式中总共有 (n 1)项。顺序:注意正确选择 a, b,其顺序不能更改。(a b)n与(ba)n是不同的。指数:a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。 b的指数从 次数和等于n .0逐项

2、减到n，是升幕排列。各项的系数:注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是,c,cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4.常用的结论:a 1,b X, (1x)nc0 cnx cix2LcnxrCnX (n N5.a 1,b X, (1X)nCn CnX Cjx2L C：xr/ n n n z(1) CnX (n性质:二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0QJ J 1Cn , CnCn二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为c0CnL cn变形式cn C2 LCnr LC：2n奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令

3、a 1,b1 ,则 C0 cnc；Cn31)ncn(1 1)n 0从而得到：Cn Cncn c： LCn2r 11 2n 2n12奇数项的系数和与偶数项的系数和:2(a（X 令X 令X nX)X na)1,小0 n 0Cna Xda则a。aic 1 n 1Cna X_ 1 n 1Cnaxa3 La21,则 ao得,ao得,a：aia2a3a2a3aananI c n 0 nL Cna XLC：anx01)n(a 1)n(a 1 (a (奇数项的系数和小2 n 22Cna X22 n 2Cna Xan(aan1aoa1Xn IanX L2a2Xa2xInLanX1a/ao2(a 1)n (a 1

4、)n-（偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数nc取得最大值。如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数取得最大值。系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 Ai,A2, An1，设第r 1项系数最大，应有A 1Ar 1Ar ，从而解出r来。Ar 26二项式定理的十一种考题的解法:题型一：二项式定理的逆用;例:C C： 6 C： 62 L C6n 1C； 63 L C 6n与已知的有一些差距,C：Cn6 C；62 Lc：6n11(C6(Cncn 6C： 62LC： 6n 1)练：C13

5、Cn9c3L3n1cn解：设SnC13C29c3L3n 1 Q nCn ,则3Sncn；C：32c；;3Lcn；C：Sn(13)n 14n133解:6xn的系数;题型二：利用通项公式求1 n62Cn3 C：32Cnc：訓6)6 Cn 62(1 6)n C0L C； 6n)1 1(7n 1)c333 L cn3n 1(1 3)n 1例：在二项式（ 疗）n的展开式中倒数第3项的系数为45 ,3求含有X的项的系数?解：由条件知C 2 45 ,即C： 45 ,n2n 900，解得n9（舍去）或n 10，由Tr 11210 rC1r0(x 4)10 r(x3)rC1r0X F訂由题意J 2r433,解得

6、r 6 ,则含有x3的项是第7项T6 1 GX3210x3,系数为 210。1练：求（x2 2x）9展开式中x的系数?解：Tr 1 C9（x2）9 r（丄）r2x1故x9的系数为Cl（ -）32题型三：利用通项公式求常数项;18 2rC9X(21。2例:解:练:解:1 r r 亠 r “1 r 18 3r2)x C9( 2) x令 18 3r9,则 r 3求二项式（X2产）10的展开式中的常数项?2 Jx1d20 5 rTr1 C1r0(x2)10r()r C110(2)rx令 208，所以T91求二项式（2x）6的展开式中的常数项?2xTr 1 C6（2x）6r（ 1）r1）r2xEC；26

7、中严，令62r0，得r3，所以解：设展开式中各项系数依次设为 a。，a1, an,33T4( 1) C620练:若（x2-）n的二项展开式中第x5项为常数项，则n解:T- C：(x2)n 4(1)4C：x2nx12，令 2n 12题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（jx 仮）9展开式中的有理项?1 1解：Tr 1 C9(X勺9 r( x3)r27 r(1)rC；x丁，令27 r 7 c丁 Z，(09)得 r3或 r9，334，T4( 1)C944x 84 x27 r所以当r 3时，27一-6当r 9时，込丄 3，6T10( 1)3C；x3x3。题型五：奇数项的二项式系数和

8、=偶数项的二项式系数和;例：若（jx2 -i=）n展开式中偶数项系数和为256，求n .令X1,则有 a。 a1an 0,，令 x 1,则有 a。 a1 a? a3（1）nan2n,将-得：2（ ai a335）2 ,a1a3a52n1有题意得，2256练：若（JX /x的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。解: QC。C； C4Cnrcn c； L c；，12n 1，2n 11024，解得n 11所以中间两个项分别为 n 6,n7 ,T51 C5（占（护462 X 4，T6 146261X狂题型六：最大系数，最大项；1已知（丄2x）n，若展开式中第2项式系数最大项的系数是

9、多少？例:5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二解:QC： C； 2c5, n221n980,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项式系数35, T5的系数c74（-）324 70,当 n 142 2时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数c14（1）7272最大的项是T4和T5 T4的系数c3（2）4233432。练:在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?解:二项式的幕指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即丁却12Tn 1，也就是第n 1项。练:在（11弱）的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解:只有第5项

10、的二项式最大，则 -215，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于例:解:C86（2）2 7写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C7a b的系数最小，T5 C7a b系数最大。1例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（一2x）n的展开式中系数最大的项?2解：由 C cn Cn79,解出 n 12,假设 Tr 1 项最大，Q （丄 2x）12 （丄）12（1 4x）122 2A： ：2C：； Cf1：r1，化简得到 9.4 r 10.4，又Q0 r 12，r 10，1

11、6896X10展开式中系数最大的项为T11，有 T11(1)12C1120410x102练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr 1项最大,QTr 1 Cw 2rxrAr 1ArAr 1Ar 2C1r0 2r C1r012r1 解得 2(11C1r0 2r C1r012r1 r 1r) r)，化简得到6.3 k 7.3，又2(10 r)Q0 r 10,r 7 ,展开式中系数最大的项为T8C17027x715360x7.题型七：含有三项变两项;例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数?解法:(x2 3x 2)5(x22) 3x5，Tr 1 C5(5 rr2)(

12、3x)，当且仅当r 1时，Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1 T2C5(x241442) 3x，所以x得一次项为C5C4 2 3x它的系数为c5c：243240 。解法:(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5(Csx5C?)(C?x5 C1x42C525)故展开式中含x的项为C；xC525C54x24240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x32)的常数项?解：(x(TR 命) 6，设第r 1项为常数项，则rrTr 1 C6(1)6 r 1 r(丄)rx(1)6c6 x6 2r，得62r 0, r 3,T31(1)3c6320.题型八：两个二项式相乘;例：求(1 2

13、x)3(1 x)4展开式中X2的系数.解: Q (1 2x)3的展开式的通项是 Cm (2x)m Cm 2m0,1,2,3, 4,x)4(1 X)4的展开式的通项是 C4 ( x)nC；1n xn,其中m 0,1,2,3, n令m n 2,则m 0且 n 2, m 1且 n 1,m 2且 n 0,因此(1 2x)3(1的展开式中X2的系数等于C3020C42( 1)2c321c4 (1)1C322 C； (1)06.练:求（1坂）6（1丄y0展开式中的常数项.Vx解:1mn(1VX)6(1亍)10展开式的通项为c6V C1n0X刁VxC(m C1n04m 3nXF其中 m 0,1,2, ,6,

14、n 0,1,2, ,10，当且仅当 4m3n,即 mn0, . m 3, . m 6, 或或0, n 4, n 8,时得展开式中的常数项为c6 Clo C6 Clo C6 Ci80 4246.练:已知（1 X x2）（x 丄）n的展开式中没有常数项，n N*且2 n 8,则nX解:(X -13)n展开式的通项为cnXr n 4r 小 r n 4r 1 r n 4rCn X ,Cn X ,Cn Xxn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得2,Q展开式中不含常数项,2 nn 4r 且 n 4r 1且 n 4r2,即 n4,8且n3,7 且 n 2,6,n 5.例:在(XJ2）

15、2006的二项展开式中,含X的奇次幕的项之和为S,当X运时,S解:设(x72) 2006=a0a1x1a2x232006a3XLa2006X-(X72)2006 =001a,x2a2x312006a3XLa2006X题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和;运）2006得2(a,x 03 X352005、 Z/Zx 2006 zOsXL02005X) (X V2) (x（X间2006展开式的奇次幂项之和为S（x） 1（X运）2006, 口 2006 -(X V2)当X屈，恥）2皿应严2歼0063 20062 222 30082题型十：赋值法；S,若例：设二项式（3仮 1）n的展开式的各项系数的和

16、为P，所有二项式系数的和为XP S 272 ,则n等于多少?解:若(3仮 1)n a0 a1x a2x2XOnX，有 P a0 a1an , SQ 0Q nncncn 2,0解得令 X 1 得 P 4n，又 p s 272 ,即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16)2n 16或2n17(舍去)，n 4.n练:_A若3 jx 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?Jx解:1令 x 1，贝 y 3 jx Jx的展开式中各项系数之和为 264，所以n 6 ,则展开式的常数例:解:项为c3（3仮）3 （左）3若(1 2x)20091aoa/令x寸,可得a0 01 I2540.a2x23asX2009 , a 2009 x (xR）,则号a22笋的值为在令x 0可得a0 h因而I1a200922009a20,a2a20092 2009a22