一元二次方程的解法总结

1、_元二次方程的解法总结y=a(X-X1 )(x-x2 )(aHO)有交点A (xt , 0)和B (x2 , 0)的抛物线，即b-4ac$0、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解 一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)二n(n20)的方 程，其解为x二m配方法：1、将此一元二次方程化为ax+bx+c二0 的形式(此一元二次方程满足有实根)2、将二次项系数化为13、将常数项移到等号右侧4、等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5、将等号左边的代数式写成完全平方形式6、左右同时开平方7、整理即可得到原方程的根公式法：1、化方程为一般式： ax+bx+c二0 (aHO) 2、

2、确定判别式，计算 A (=b-4ac) ； 3、若 0,该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x二若二0,该 方程在实数域内有两个相等的实数根：x】二X2二若A0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左 侧则相反，同增同减。当a0且y在对称轴右侧时，y随x增大而 减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大。常用公式总结：一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于 的方程(1)有两个不相等的实数根，且关于的方程(2)没有实 数根，问取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1) ,(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：方程(1)有两个不相等的实数根，解得

3、；方程(2)没有实数根，解得；于是，同 时满足方程(1) ,(2)条件的的取值范围是其中，的整数值有分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代 入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是 利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法 一：把代入原方程，得：即，解得当时，原方程均可化为：，解得：方程的另一 个根为4,的值为3或1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简 单。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积 大21,求的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方 和比两根的积大21转化为关于的方程，即可求得的值。

4、解：方程有两个实数根，,解得W0设方程两根为；则，J整理得：解得：又，说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合 题意的。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和 能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号， 请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根， 则有又I、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根 与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：;即有：，解不等式组得时方程才有实树根，.此种情况不 成立。若，则有：；即有：，解不等式组，得；又，当时， 两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关

5、系深刻揭示了一元 二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程 根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题 的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试 题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是 同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与 系数的关系解题。例：已知、是方程的两个实数根，求的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应 摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：,得：二0解法二：由于、是方程的实数根，说明：既

6、要熟 悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力 提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问 题，当根是无理数时，运算将分繁琐，这时，如果方程的系数是 有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的 作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重 在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程 的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成 关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有

7、 和两式相 减，得当时，方程的判别式方程无实数解当时，有实数解 代入原方程，得，所以于是，两方程至少有一个相同的实数根，4 个实数根的相乘积为说明：(1)本题的易错点为忽略对的讨论 和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不 存在的解：当时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的 相乘积为：；(2)既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就 应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必 须满足这两个不等式才有意义。一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2,那么。2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。3、已知关于的方程的两根为，且，则。4、已知是方程的两个

8、根，那么：5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。7、已知是的一根，则另一根为，的值为。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两 个根。6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取什么实数 值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。