完整版)初二数学经典难题(带答案及解析

1、初二数学经典难题、解答题（共 10 小题，满分 100 分）P 是正方形 ABCD 内点PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形初二）10 分）已知：如图，2（10分）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC ，M、N分别是 AB 、CD的中点， AD 、BC的延长线交 MN 于 E、 F求证： DEN= F3（ 10分）如图，分别以 ABC 的边 AC、BC为一边，在 ABC 外作正方形 ACDE 和CBFG，点 P是EF的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半4（10 分）设 P是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA=PDA 求证： PAB= PCB5

2、（10 分） P为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a， PB=2a， PC=3a，求正方形的边长6（10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度7（10分）（2009?郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且 P（ 1，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q在直线

3、 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与OAP面积相等？如果存在， 请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；8（10分）（2008?海南）如图， P是边长为 1的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P与A、C 不重合），点 E在 线段 BC 上，且 PE=PB （1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设 AP=x ， PBE 的面积为 y 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值9（ 10分）（2010?河南）如图，直线 y=k 1x+b 与反比例函数（x0）的图象交于 A（1，

4、6），B（a，3）两点（1）求 k1、k2 的值2）直接写出时 x 的取值范围；E，CE 和反比例3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BCOD，OB=CD ，OD边在 x轴上，过点 C作 CEOD于点函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由10（10 分）（ 2007?福州）如图，已知直线与双曲线交于 A ， B 两点，且点A 的横坐标为 41）求 k 的值；2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积；3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点A，B，P，Q为求点P

5、 的坐标初二数学经典难题参考答案与试题解析、解答题（共 10 小题，满分 100 分）P 是正方形 ABCD 内点PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形初二）10 分）已知：如图，考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 专题 ： 证明题。分析： 在正方形内做 DGC 与 ADP 全等，根据全等三角形的性质求出 PDG 为等边，三角形，根据 SAS 证出 DGC PGC ，推出 DC=PC ，推出 PB=DC=PC ，根据等边三角形的判定求出即可解答： 证明： 正方形 ABCD ， AB=CD ， BAD= CDA=90 ， PAD=PDA

6、=15 ， PA=PD， PAB= PDC=75 ， 在正方形内做 DGC 与 ADP 全等， DP=DG ， ADP= GDC= DAP= DCG=15 ， PDG=90 1515=60， PDG 为等边三角形（有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形） ， DP=DG=PG ， DGC=180 1515=150， PGC=36015060=150=DGC ，在DGC 和PGC 中， DGC PGC， PC=AD=DC ，和 DCG= PCG=15，同理 PB=AB=DC=PC ， PCB=90 1515=60， PBC 是正三角形点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定

7、，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是 正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求2（10分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC ，M、N分别是 AB 、CD的中点， AD 、BC的延长线交 MN 于 E、 F求证： DEN= F考点：三角形中位线定理。专题 ：证明题。分析：连接 AC，作GNAD交AC于G，连接 MG ，根据中位线定理证明 MG BC，且GM= BC，根据 AD=BC证明 GM=GN ，可得GNM= GMN ，根据平行线性质可得： GMF=F，GNM=DEN 从而得出 DEN= F解答：证明：连接 AC ，作 GNAD 交

8、AC 于 G，连接 MGN 是CD 的中点，且 NGAD，NG= AD，G是AC 的中点，又 M 是 AB 的中点， MG BC，且 MG= BC AD=BC ， NG=GM ， GNM 为等腰三角形， GNM= GMN ， GM BF， GMF= F，GNAD ， GNM= DEN ， DEN= F点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明 GNM 为等腰三角形在 ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG ，点 P是 EF的中点，3（10 分）如图，分别以 ABC 的边 AC、BC 为一边， 求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半考点 ： 梯形中位线定理；全等三

9、角形的判定与性质。专题 ： 证明题。分析：分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线， 垂足依次为 R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS），易证 RtAER Rt CAT ，则 ER=AT，FS=BT ，ER+FS=A T+BT=AB ，即可得证解答： 解：分别过 E，F，C，P作AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 ERPQFS，P是 EF的中点， Q为 RS的中点， PQ为梯形 EFSR 的中位线， PQ= （ER+FS ）， AE=AC （正方形的边长相等） ，AER=CAT（同角的余角相等） ，R=ATC=90， Rt AER Rt CAT （AAS ），同理 RtBFSRt

10、 CBT， ER=AT ， FS=BT ， ER+FS=AT+BT=AB ， PQ= AB 点评： 此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键4（10 分）设 P是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA=PDA 求证： PAB= PCB考点 ： 四点共圆；平行四边形的性质。专题 ： 证明题。分析： 根据已知作过 P点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC ，利用 ADEP，AD BC，进而得出 ABP= ADP= AEP， 得出 AEBP 共圆，即可得出答案解答： 证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使

11、PE=AD=BC ， ADEP，AD BC四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形， AE DP，BE PC， ABP= ADP= AEP ， AEBP 共圆（一边所对两角相等） BAP= BEP= BCP， PAB= PCB点评： 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键PA=a， PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。专题 ：综合题。分析：把ABP 顺时针旋转 90得到BEC，根据勾股定理得到 PE=2 a，再根据勾股定理逆定理证明 PEC 是 直角三角形，从而得到

12、 BEC=135 ，过点 C 作 CFBE 于点 F，CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾 股定理求出 BC 的长度，即可得到正方形的边长解答：解：如图所示，把 ABP 顺时针旋转 90得到 BEC， APB CEB ， BE=PB=2a ， PE=2 a，在PEC 中， PC2=PE2+CE2=9a2， PEC 是直角三角形， PEC=90 ， BEC=45 +90=135 ， 过点 C作CFBE于点 F， 则CEF 是等腰直角三角形， CF=EF=CE= a，在 Rt BFC 中，BC=a，即正方形的边长为a点评： 本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及

13、逆定理的应用，作出 辅助线构造出直角三角形是解题的关键6（10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间 t 分求两根水管各自注水的速度考点 ： 分式方程的应用。分析： 设小水管进水速度为 x ，则大水管进水速度为 4x，一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管 向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水向容器中注满 水的全过程共用时间 t 分可列方程求解解答： 解：设小水管进水速度为 x 立方米 /分，则大水管进

14、水速度为 4x 立方米 /分由题意得：经检验得：解之得：是原方程解 小口径水管速度为立方米 /分，大口径水管速度为立方米 / 分点评： 本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解7（10分）（2009?郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1），且 P（ 1，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与OAP面积相等？如果存在， 请求出点的坐标，如果

15、不存在，请说明理由；3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形考点： 专题 ： 分析：反比例函数综合题。压轴题。（ 1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；解答：和性质，点 Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点； （ 3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC， 长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 解：（ 1）设正比例函数解析式为 y=kx ，将点 M（

16、2， 1）坐标代入得 k= ，所以正比例函数解析式为；同样可得，反比例函数解析式为2）设点当点 Q 在直线 OM 上运动时，m），|OBBQ|= mm= m2，Q 的坐标为 Q（ m，SOBQ=而点 P（ 1， 2）是定点，所以 OP 的 OQ 的最小值y= x，2）因为 P（ 1， 2）为双曲线 Y= 上的一点，所以 OBQ 、OAP 面积为 1，依据反比例函数的图象而 SOAP= |（ 1）（ 2） |=1，2所以有， m2=1，解得 m= 2，所以点 Q 的坐标为 Q1（ 2， 1）和 Q2（ 2， 1）；（ 3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC， 而点

17、P（ 1， 2）是定点，所以 OP的长也是定长， 所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ的最小值，（8 分） 因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 Q（ n， ）， 由勾股定理可得 OQ2 =n2+ =（ n ）2+4，所以当（ n22=0 即 n =0 时，OQ2 有最小值 4，点评：又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ2 同时取得最小值， 所以 OQ 有最小值 2，由勾股定理得 OP= ， 所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（OP+OQ ） =2（ +2）=2 +4（ 10 分） 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性

18、质，综合性比较强要注意对各个知识点的灵活应用8（10分）（2008?海南）如图， P是边长为 1的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P与A、C 不重合），点 E在 线段 BC 上，且 PE=PB （1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设 AP=x ， PBE 的面积为 y 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值考点：二次函数综合题。专题 ：动点型。分析：（ 1）可通过构建全等三角形来求解过点P作 GF AB ，分别交 AD、BC于 G、F，那么可通过证三角形GPD 和 EFP 全等来求 PD=PE 以及

19、 PE PD在直角三角形 AGP 中，由于 CAD=45 ，因此三角形 AGP 是 等腰直角三角形，那么 AG=PG ，而 PB=PE，PFBE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出 BF=FE=AG=PG ，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等可得出 PD=PE，GDP= EPF，而 GDP+GPD=90，那么可得出 GPD+ EPF=90 ，由此可得出 PDPE （ 2）求三角形 PBE 的面积，就要知道底边 BE 和高 PF的长，（1）中已得出 BF=FE=AG ，那么可用 AP在 等腰直角三角形 AGP中求出 AG，GP即 BF， FE的长，那

20、么就知道了底边 BE 的长，而高 PF=CD GP， 也就可求出 PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y 的函数关系式然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出 y 的最大值以及对应的 x 的取值解答：（ 1）证明： 过点 P作 GF AB ，分别交 AD、BC 于 G、F如图所示 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形，AGP 和PFC 都是等腰直角三角形 GD=FC=FP ， GP=AG=BF ， PGD= PFE=90 度又 PB=PE ， BF=FE ， GP=FE ， EFP PGD（SAS） PE=PD 1= 21+3=2+3=90 度 D

21、PE=90 度 PEPD 2）解： 过 P 作 PMAB ，可得 AMP 为等腰直角三角形，四边形 PMBF 为矩形，可得 PM=BF ， AP=x ， PM= x， BF=PM=， PF=1 SPBE= BEPF=BF ?PF=x2+2x+x(1x)= x2+x即 y= x （ 0x 0）的图象交于 A（1，6），B（a，3）两点1）求 k1、k2 的值3）时 x 的取值范围；2）直接写出如图，等腰梯形 OBCD 中，BCOD，OB=CD ，OD边在x轴上，过点 C作CEOD于点 E，CE和反比例 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由考点： 反比例函数综合题；一次函数的性

22、质；反比例函数系数 k 的几何意义。专题 ： 综合题。分析： （ 1）先把点 A 代入反比例函数求得反比例函数的解析式， 再把点 B 代入反比例函数解析式求得 a的值， 再 把点 A，B 代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值（2）当 y1 y2时，直线在双曲线上方，即 x 的范围是在 A，B 之间，故可直接写出范围（3）设点 P的坐标为（ m， n），易得 C（m，3），CE=3，BC=m2，OD=m+2，利用梯形的面积是 12 列 方程，可求得 m 的值，从而求得点 P 的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE解答： 解：（ 1）由题意知 k2=16=6 反比例函数的解析式为 y= （ x0） x 0，反比例函数的图象只在第一象限，又 B（ a， 3）在 y= 的图象上， a=2，B（2，3） 直线 y=k 1x+b 过 A（1，6），B（2， 3）两点故 k1的值为 3，k2 的值为 6；（ 2）由（ 1）得出 3x+9 0，即直线的函数值大于反比例函数值，由图象可