《平行线的证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、乐博思平行线的证明全章复习与巩固（基础）知识讲解责编：赵炜【学习目标】1 了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定

2、理.3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点二、平行线的判定与性质1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

3、（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直要点三、三角形的内角和

4、定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例. 如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.【答案与解析】解：条件:等腰三角形的两条边长为5和7 结论:等腰三角形的周长为17是假命题；反例:当腰长为7,底边长为5时,周长为19【总结升华】本题考查

5、了命题与定理的相关知识关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论举一反三：【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ）. a直线的公理 b直线的公理或线段最短公理 c线段最短公理 d平行公理【变式2】下列命题真命题是( ) .a互补的两个角不相等 b相等的两个角是对顶角c有公共顶点的两个角是对顶角 d同角或等角的补角相等2.叙述并证明三角形内角和定理要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答【答案与解析】定理：

6、三角形的内角和是180；已知：abc的三个内角分别为a，b，c；求证：a+b+c=180证明：如下图，过点a作直线mn，使mnbcmnbc，b=mab，c=nac（两直线平行，内错角相等）mab+nac+bac=180（平角定义），b+c+bac=180（等量代换）即a+b+c=180【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180类型二、平行线的判定与性质3.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：_，使adbc【思路点拨】欲证adbc，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件【答案】fadfbc，或adbcbd，或abc+bad18

7、0.【解析】 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件fadfbc；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件adbcbd；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件abc+bad180【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： adbc，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.举一反三：【变式】（2015春召陵区期末）如图所示，已知1=52，2=52，3=91，那么4=4. （2016春雅安校级期中）已知，如图，efac于f，dbac于m，1=2，3=c，求证：abmn【思路点拨】由于efac，dbac得到efdm，根据平行线的性质得2=cdm，而1

8、=2，则1=cdm，根据平行线的判定得到mncd，所以c=amn，又3=c，于是3=amn，然后根据平行线的判定即可得到abmn【答案与解析】证明：efac，dbac，efdm，2=cdm，1=2，1=cdm，mncd，c=amn，3=c，3=amn，abmn【总结升华】本题反复应用了平行线的判定与性质，只有对判定和性质熟练掌握才能做到运用自如举一反三：【变式】如图，已知1+2180，3b，试判断aed与acb的大小关系，并说明理由类型三、三角形的内角和定理及推论5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360”.四边形abcd如图所示.【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.【

9、答案与解析】证明：如下图，连接ac b+bac+acb=180， d+dac+acd=180， (b+bac+acb)+(d+dac+acd)=180+180 b+d+(bac+dac)+(acb+acd)=360 b+c+bad+bcd=360 即四边形abcd的内角和等于360.【总结升华】把不熟悉的多边形分成熟悉的三角形，利用三角形的内角和推导多边形的内角和是解题的关键，同理可以得到n边形的内角和公式为：（n2）180.6.（2015春宁城）图1，线段ab、cd相交于点o，连接ad、cb，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，dab和bcd的平分线ap和cp相交于点

10、p，并且与cd、ab分别相交于m、n试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出a、b、c、d之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；（3）图2中，当d=50度，b=40度时，求p的度数（4）图2中d和b为任意角时，其他条件不变，试问p与d、b之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）【答案与解析】解：（1）a+d+aod=c+b+boc=180，aod=boc，a+d=c+b； （2）线段ab、cd相交于点o，形成“8字形”；线段an、cm相交于点o，形成“8字形”；线段ab、cp相交于点n，形成“8字形”；线段ab、cm相交于点o，形成“8字形”；线段ap

11、、cd相交于点m，形成“8字形”；线段an、cd相交于点o，形成“8字形”；故“8字形”共有6个； （3）dap+d=p+dcp，pcb+b=pab+p，dab和bcd的平分线ap和cp相交于点p，dap=pab，dcp=pcb，+得：dap+d+pcb+b=p+dcp+pab+p，即2p=d+b，又d=50度，b=40度，2p=50+40，p=45； （4）关系：2p=d+b 由d+1+2=b+3+4由onc=b+4=p+2， +得：d+2b+21+23=b+23+2p+21，d+2b=2p+b，即2p=d+b【总结升华】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能

12、力 举一反三：【变式】在abc中,a=50,b=70,则c的外角等于_.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.【答案与解析】解：是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.举一反三：【变式】下列命题中,真命题有( ) . 若xa，则x2(a+b)x+ab0 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 如果 0,那么x2 如果a

13、b,那么a3b3 a.1个 b.2个 c.3个 d.4个2.如图所示，o是直线ab上一点，射线oc、od在ab的两侧，且aocbod，试证明aoc与bod是对顶角【答案】 证明：因为aoc+cob180(平角定义)， 又因为aocbod(已知)， 所以bod+cob180，即cod180 所以c、o、d三点在一条直线上(平角定义)， 即直线ab、cd相交于点o， 所以aoc与bod是对顶角(对顶角定义) 【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即cod180类型二、平行线的性质与判定3. （2016春胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点c叠放在一起（如图），其中a=3

14、0，b=60，d=e=45（1）若bcd=150，求ace的度数；（2）试猜想bcd与ace的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板abc不动，绕顶点c转动三角板dce，试探究bcd等于多少度时，cdab，并简要说明理由【思路点拨】（1）由bcd=150，acb=90，可得出dca的度数，进而得出ace的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由bcd=acb+acd，ace=dceacd可得出结论；（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解【答案与解析】解：（1）bca=ecd=90，bcd=150，dca=bcdbca=15090=60，ace=ecddca=9060=30；（2）

15、bcd+ace=180，理由如下：bcd=acb+acd=90+acd，ace=dceacd=90acd，bcd+ace=180；（3）当bcd=120或60时，cdab如图，根据同旁内角互补，两直线平行，当b+bcd=180时，cdab，此时bcd=180b=18060=120；如图，根据内错角相等，两直线平行，当b=bcd=60时，cdab【总结升华】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键4. （2015春海珠区期末）如图，已知adbc，1=2，求证：3+4=180【思路点拨】欲证3+4=18

16、0，需证bedf，而由adbc，易得1=3，又1=2，所以2=3，即可求证【答案与解析】证明：adbc，1=3，1=2，2=3，bedf，3+4=180【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补要灵活应用举一反三：【变式1】（2015春大名）如图：adbc，dac=60，acf=25，efc=145，则直线ef与bc的位置关系是 【变式2】已知：如图，abcadc，bf、de分别平分abc与adc，且13.求证：abdc.类型三、三角形的内角和定理及推论5.如图，p是abc 内一点，请用量角器量出abp.acp.a和bpc的

17、大小，再计算一下，abpacpa是多少度？这三个角的和与bpc有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断bpc和a的大小吗？【答案与解析】解：abpacpabpc，bpca。证明：如下图，延长bp到d，则pdcaabp，pdca. 同理，bpcpdcacp，bpcpdc.所以bpcabpacpa ，bpca .举一反三：【变式1】如图,abc的两外角平分线交于点p,易证p90-a；abc两内角的平分线交于点q,易证bqc90+a；那么abc的内角平分线bm与外角平分cm的夹角m_a.【变式2】如图,e是bc延长线上的点,12.求证:bacb.类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边bc的夹角efb30，你能说出egf的度数吗？【思路点