两角和与差及二倍角公式讲义例题含答案

1、两角和与差及二倍角公式（答案）两角和与差及二倍角公式一. 【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 .2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明二、【知识回顾】1 .两角和与差的三角函数）中令cos2,可得相应的二倍角公式。tan 2 3 .降幕公式sin2cos2注意：二倍角公式具有“升幕缩角“作用，降幕公式具有“降幕扩角”作用4 .辅助角公式y a sinx bcosxva2sin(x ),(其中 a, b 不能同时为 0)证明：ysin X cosx 薦b22 a=sin x b2（石b

2、cos x)70其中，cosVa2b2（cos sin X Ta2b2 sin （xa1, sinsincosx)tan终边过点（a,b）在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想sin cos女口： sin cos5. 公式的使用技巧（1）连续应用：sin（)sin( )sin()cos cos( )sin(2) “1 ”的代换：sin22 .cos 1, sin 1,ta n 4(3) 收缩代换：y si nx cosx(4) 公式的变形：tan tan1 tan tantan(tan(tan tan1 tantan如：tan 95otan 35ota n70otan 50o(

3、a2tan(tan(b sin(x73 ta n95ota n35oyf3ta n70ota n50o(5 )角的变换(拆角与配角技巧)22，)tan)tan),(其中a, b不能同时为tantan( )， (44424(6 )二倍角公式的逆用及常见变形二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，在求值、sintan(tan()tan)tan)，tantan)，特别是二倍角的余弦公式，它化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。2sin cos一 - cos2 2 COS2 sin21 2sin2 22cost 12ta n : 1 si n221 tan 25.

4、三角函数式的化简(1)化简方法：直接应用公式进行降次、tan2(sin cos ):(sincos)2消项；化切为弦，异名化同名,2(sin cos )2异角化同角；三角公式的逆用等。降幕或升幕(2 )化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。6. 三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”如等，把所求角用含已知

5、角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3 )给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。7. 三角等式的证明(1) 三角恒等式的证明根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使 等式两端化“异”为“同”；(2) 三角条件等式的证明通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代 入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等 消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，

6、可采用分析法进行证明。三. 【例题精讲】 考点一、给角求值oosin 20o例 1.求值：cos20 cos10 丘in10otan70o 2cos40o例 2.求值：2sin50o sin 10o(1 /3tan10o) J2sin280o【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有:化为正负相消的项，消去求值化分子、分母使之出现公约数进化为特殊角的三角函数值行约分而求值。考点二、给值求值例3.已知tan 22罷,22cos sin，求21-的值.例4.已知03一,cos(-433-,si n(57)13，求sin()的值考点三、给值求角例5.已知tan(

7、)1,tan2(0,考点四、三角函数式的化简与证明1 cosx sin x例6.已知f (x)1(1)化简 f (x)sinx COSX1 cosx1 sin x cosxsin x且x 2k(2)是否存在x 使 tan 22 x1 tan f (x)与2相等？若存在，求出 x ;若不存在，说明理由。sin x例7.已知5sin3si n()，求证：tan( ) 4tan0【练习】1.已知tancos 21 cos22.求值：tan20otan 60 tan 60o tan10o tan10otan 203.3在 ABC中，已知cos（ A）上，则COS2A的值为454.（08年高考山东卷改编）已知COS(石）sin刃3，贝y sin(55.（07年高考江苏卷）若cos（1-,cos(53-，则 tan5tan6.（08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy中,的终边分别与单位圆相交于以Ox轴为始边作两个锐角A B两点，已知A、B的横坐标分别为並10，它们(1 )求 tan(2 )求）的值;的值7.已知为锐角,(cos ,sin)，b (cos ,sin )，c1 1(? 2).(1)42 r r一,a c2c