求解最大总工作效率解读

1、数学建模一周论文 课程设计题目： 最大工作效率的分工 2016 年 01 月 07 日 摘要 工作效率， 一般指工作投入与产出之比， 通俗地讲就是在进行某任务时， 取 得的成绩与所用时间、精力、金钱等的比值。对一个公司来说，知人善任， 寻求 最佳工作分配方法， 以发挥员工的最大价值， 使得工作效率达到最大才能给公司 带来最大的经济效益。 求最大工作效率的问题归属于指派问题一类， 以下问题中 求六人的最大总工作效率正是通过建立指派问题的数学模型以寻求六人的最 佳 分配方案来求解。首先定义 i 为第一到第六个人的变量，定义 j 为第一到第六项 姓名1： 何婷 学号： 201420120213 姓名

2、2：黄静怡学号： 20142012020 5 姓名3：尹衍辉学号： 201320120218 专业测控技术与仪器 班级 1421202 指导教 师 朱琳 工作的变量，然后通过整数线性规划确认每个人是否做每项工作，由此建立 0-1 模型。最后确立求解最大总工作效率的函数。用 LINGO 软件对此函数模型进行 编程求解。 此模型是未考虑某些相关因素的条件下建立的相对理想化模型， 但这 些因素对解决本文中问题影响不大，因此可忽略不计。 关键词：工作效率； 指派问题； 0-1 模型 ；整数线性规划；相对理想； 最佳分配方案。 一、问题的重述 本问题中已知有 6 个人(1，2，3，4，5，6)，可以做

3、6 项工作(A,B,C,D,E,F )， 每个人做每项工作的效率如下表所示。 ABCDEF 1351002 2643254 3142212 4123331 5213242 6325466 问：应如何安培每个人的工作，使总工作效率最大？ 、模型的假设 1、假设每个人必须做一项工作（不能有人不做工作），且只能做一项工作 2.假设每件工作都只能由一个人做，且不能有工作没有人做。 3.假设所有工作没有先后顺序。 4.假设所有人做所有工作没有时间限制。 三、符号说明 0，不指派第 i 个人做第 j 项工作 xij1,指派第 i个人做第 j项工作i 1,2 6, j 1 6 Cij：第 i个人完成第 j项

4、工作的效率 Z：所有人工作的效率和 四、模型的建立与求解 问题一 1.1.问题分析 指派问题的标准形式如下。有 n个人 n项任务，第 i 个人做第 j 件事的效 率为Cij 要求确定人与事之间的一一指派方案，使得这 n项任务的效益最高。 此类问题是线性规划模型，也是整数规划模型； 0 1 规划模型。共有 6*6 个变量，实际上只需要找 6 个变量为 1即可，因此这是高度退化的线性规划模型。 我们需要在所有的指派方案中选择工作效率最大的方案。 根据以上分析我们 可以建立基础模型，并根据题目要求建立目标函数和约束条件 1.2.模型的建立 以六件工作完成总效率作为目标函数， 以假设 1（每个人最多完

5、成一项工作） 和假设 2（一项工作只能由一个人做）为约束条件，最后对目标函数求最优解得 出最终结果。 6 X ij 1, j 1.6 因此，约束条件 1. 为： i 1 6 X ij 1,i 1.6 约束条件 2.为 j 1 模型转化为 nn minZ Cij Xij i1j1 n X ij 1, j 1.6 每项工作由一人完成 i1 n s.t. X ij 1,i 1.6每人只承担一项工作 j1 X ij 0,1 1.3.模型的求解 根据目 标函数及其约束条件可知，该模型为 0-1 整体线性规划模型。因此， 利用 Lingo 软件编写程序对此问题求解。（程序见附录） 可解得： Variabl

6、eValueReduced Cost T0.1666667E+300.000000 C( 1, 2)5.0000000.000000 C( 2, 1)6.0000000.000000 C( 3, 3)2.0000000.000000 C( 4, 4)3.0000000.000000 C( 5, 5)4.0000000.000000 C( 6, 6)6.0000000.000000 X( 1, 2)1.0000000.000000 X( 2, 1)1.0000000.000000 X( 3, 3)1.0000000.000000 X( 4, 4)1.0000000.000000 X( 5, 5)

7、1.0000000.000000 X( 6, 6)1.0000000.000000 综合以上所述： 应该安排工人 1 做工作 B，效率为 5；安排工人 2 做工作 A， 效率为 6；安排工人 3 做工作 C，效率为 2；安排工人 4做工作 D，效率为 3；安 排工人 5 做工作 E，效率为 4；安排工人 6 做工作 F，效率为 6；即工作的最大效 率为 26。 1.4.模型检验 由于每个人最多做一件工作，且每件工作只由一位工人完成，可知上述答 案 满足题目要求。 五、模型的误差分析 本文建立的模型是忽略了很多其他实际因素的情况下建立的相对理想化模 型。而在实际应用中不可避免的会因一些未考虑到的

8、因素而出现误差。 例如：有 人因自身身体状况而导致做某项工作的效率下降；自然灾害导致工作进程的停 滞；有人提前完成自己的工作等等。 考虑到这些误差因素的发生并不具有常见性， 因此这些误差都是模型建立条件范围内允许存在的。 六、模型的评价 优点： 模型中仅仅建立第 i 人是否做第 j 项工作与第 i 人做第 j 项工作的效率之间 的函数并求其最大值， 简单明了。其次最开始的模型建立考虑到了很多其他因素， 通过确立模型的应用条件提高了模型的可信度。 最后就本模型的功能来看， 通过 本模型可以快速求出使得总工作效率最大的最佳人员分配方案。 按照模型结果进 行工作安排可使得公司的生产效率达到最大， 给

9、公司创造最大的经济利益， 具有 很好的实用价值。 缺点： 就模型的应用前提来说， 模型的应用范围较窄， 并且在运用此模型解决实际 问题的过程中可能遇到很多不确定因素影响模型结果的准确性。 虽然该模型具有一定的限制条件， 但该模型对于本文中问题的解决具有很好 的可行性。 七、模型的推广与改进 该模型为此问题提供了一个求解最大工作效率的最佳人员分配方案，同 理 也可推广到其他指派问题的求解中， 如求解最短时间的人员分配仅需将每个人做 每项工作的时间代替效率， 并求解函数模型的最小值即可。 考虑到此模型有一定 的应用条件限制， 而此模型只是理想情况下的求解， 因此， 在模型改进方面可以 通过增加关于

10、条件限制的函数进行求解，最终可使得求解结果可信度更高。 八、参考文献 1作者：王泽文，乐励华等；书名数学实验与数学建模案例；出版地： 北 京；出版社：高等教育出版社；出版年： 2012 年。 2作 者 :遥 望 幸 福 哦 （ 账 户 名 ） ； 资 源 标 题 ： Lingo 指 派 问 题 ； 网 址 ； http:/ ；访问时间 （年 月日） :2016 年 01 月 7 日。 3作者：河南理工大学数学建模竞赛委员会；论文名 :河南理工大学数学建模 竞赛论文；出版年： 2014 年。 九、附录 附录一：程序源代码 model sets : workers/1.6/; jobs/1.6/;

11、 links(workers,jobs):c,x; endsets max = sum(links:t*x); for (workers(I): sum(jobs(J):x(I,J)=1); for (jobs(J): sum(workers(I):x(I,J)=1); data : c=3 5 1 0 0 2 6 4 3 2 5 4 14 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 21 3 2 4 2 32 5 4 6 6; enddata end VariableValueReduced Cost T0.1666667E+300.000000 C( 1, 1)3.0000000.000000

12、 C( 1, 2)5.0000000.000000 C( 1, 3)1.0000000.000000 C( 1, 4)0.0000000.000000 C( 1, 5)0.0000000.000000 C( 1, 6)2.0000000.000000 C( 2, 1)6.0000000.000000 C( 2, 2)4.0000000.000000 C( 2, 3)3.0000000.000000 C( 2, 4)2.0000000.000000 C( 2, 5)5.0000000.000000 C( 2, 6)4.0000000.000000 C( 3, 1)1.0000000.000000

13、 C( 3, 2)4.0000000.000000 C( 3, 3)2.0000000.000000 C( 3, 4)2.0000000.000000 C( 3, 5)1.0000000.000000 C( 3, 6)2.0000000.000000 C( 4, 1)1.0000000.000000 C( 4, 2)2.0000000.000000 C( 4, 3)3.0000000.000000 C( 4, 4)3.0000000.000000 C( 4, 5)3.0000000.000000 C( 4, 6)1.0000000.000000 C( 5, 1)2.0000000.000000

14、 C( 5, 2)1.0000000.000000 C( 5, 3)3.0000000.000000 C( 5, 4)2.0000000.000000 C( 5, 5)4.0000000.000000 C( 5, 6)2.0000000.000000 C( 6, 1)3.0000000.000000 C( 6, 2)2.0000000.000000 C( 6, 3)5.0000000.000000 C( 6, 4)4.0000000.000000 C( 6, 5)6.0000000.000000 C( 6, 6)6.0000000.000000 X( 1, 1)1.0000000.000000

15、 X( 1, 2)0.0000000.000000 X( 1, 3)0.0000000.000000 X( 1, 4)0.0000000.000000 X( 1, 5)0.0000000.000000 X( 1, 6)0.0000000.000000 X( 2, 1)0.0000000.000000 X( 2, 2)1.0000000.000000 X( 2, 3)0.0000000.000000 X( 2, 4)0.0000000.000000 X( 2, 5)0.0000000.000000 X( 2, 6)0.0000000.000000 X( 3, 1)0.0000000.000000

16、 X( 3, 2)0.0000000.000000 X( 3, 3)1.0000000.000000 X( 3, 4)0.0000000.000000 X( 3, 5)0.0000000.000000 X( 3, 6)0.0000000.000000 X( 4, 1)0.0000000.000000 X( 4, 2)0.0000000.000000 X( 4, 3)0.0000000.000000 X( 4, 4)1.0000000.000000 X( 4, 5)0.0000000.000000 X( 4, 6)0.0000000.000000 X( 5, 1)0.0000000.000000

17、 X( 5, 2)0.0000000.000000 X( 5, 3)0.0000000.000000 X( 5, 4)0.0000000.000000 X( 5, 5)1.0000000.000000 X( 5, 6)0.0000000.000000 X( 6, 1)0.0000000.000000 X( 6, 2)0.0000000.000000 X( 6, 3)0.0000000.000000 X( 6, 4)0.0000000.000000 X( 6, 5)0.0000000.000000 X( 6, 6)1.0000000.000000 Row Slack or Surplus Dua

18、l Price 10.1000000E+311.000000 20.0000000.000000 30.0000000.000000 40.0000000.000000 50.0000000.000000 60.0000000.000000 70.0000000.000000 80.0000000.000000 90.0000000.000000 10 0.0000000.000000 110.0000000.000000 12 0.0000000.000000 130.0000000.000000 8 附件二: 论文评分表 东华理工大学 课程设计评分表 学生姓名： 何婷 、 黄静怡 、 尹衍辉 班级： 1421202 学号： 201420120213 、 201420120205 、 201320120218 课程设计题目：最大效率的分工 项目内容满分 实 评 能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求 （3 人一题） 5选 题 工作量适中，难易度合理 10 能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力 10 理论依据充分，数据准确，公式推导正确 10 能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、 制 图等 10 能力水平 能体现创造性思维，或有独特见解 15 成模型正确