绝对值知识讲解

1、绝对值(基础)【学习目标】1掌握一个数的绝对值的求法和性质；2 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1. 定义：一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，记作|a|.要点诠释：(1)绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 .即对于任何有理数 aa(a0)都有：|a|0(a0)a(a0)(2 )绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对

2、值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.(3 )一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2. 性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小女口： a与b在数轴上的位置如图所示，则av b.2. 法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0 :正数大于0负数与0 :负数小于0要点诠释：禾U用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的

3、大小.3. 作差法：设a、b为任意数，若 a-b 0,则a b;若a-b = 0，则a= b;若a-b v 0, a v b;反之成立.4. 求商法：设a、b为任意正数，若-1,则a b ；若-1，则a b ；若-1，则a b ；bbb反之也成立若a、b为任意负数，则与上述结论相反.5. 倒数比较法：如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1一，0,3 2 211【思路点拨】11 , 0,3丄在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各22数的绝对值还可以用绝对值法则来求解.【答案与解析】11211解法一：因为 1-到原点距离是1-个单位长度，所以22因

4、为到原点距离是个单位长度，所以| =.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0| = 0.13丄个单位长度，所以21因为 31到原点的距离是21解法二：因为10，所以1121丄11 .2 2因为v 0，所以| =-=因为0的绝对值是它本身，所以|0| = 0.因为13-0，所以232.【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1）,一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0 再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相 反数，还是0 .从而求出该数的绝对值.C2.已知一个数的绝对值等于

5、2009,则这个数是【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2009的点有两个，从原点向左侧移动 2009 个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动 2009个单位长度，得到表示数2009 的点.【总结升华】 已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在数轴上表示出 来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数举一反三：【变式1】求绝对值不大于 3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题3】【变式2】如果丨x 1= 2,

6、那么x = ;如果丨一 x 1= 2,那么x=.如果| X 2 |= 1,那么x =; 如果| x | 3，那么x的范围是【答案】2或-2 ； 2或-2 ； 1或3； x3或xv-3【变式3】数轴上的点 A到原点的距离是6，则点A表示的数为 【答案】6或-6类型二、比较大小.比较下列有理数大小：(1)-1和0;-2和卜3|;1 I 0.1【答案】(1)0大于负数，即-1 v 0;(3)先化简11,11133222(4)先化简11 ,1 X0.10.10.1，而 10.1,所以10.1，即1v0.1(2) 先化简卜3| = 3，负数小于正数，所以-2 v 3,即-2 v |-3|;1口11,即.

7、332，这是两个负数比较大小因为1 1,【解析】(2)、(3)、(4)先化简，再运用有理数大小比较法则.【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两 个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断. 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小356845典型例题2】【变式1】比大小：5 63; 3 ;-|-(+ ;1000;6 71,38- ; n .【答案】；=; 0, | n-3 | 0，而它们的和【思路点拨】由丨a | 0即绝对值的非负性可知,为 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 =

8、0，所以 m= 2, n = 3.【答案与解析】 因为|2-m|+|n-3|= 0且|2-m| 0, |n-3| 0所以 |2-m| = 0, |n-3| = 0即 2-m= 0, n-3 = 0所以 m= 2, n= 3故 m-2n = 2-2 x 3= -4 .【总结升华】 若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+|m| = 0时,贝U a= b = m= 0.类型四、绝对值的实际应用6个足球的质量检测结果,5. 正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25 ,+10, -20 ,

9、 +30, +15,-40 .裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢请说明理由.【答案】因为| +10 | v| +15 | v| -20 |v| -25 | v| +30 | v| -40 |,所以检测结果 为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好. 这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有的误差.现 抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数， 不足规定净含量的升数记作负数. 检查结果如下表:+请用绝对值知识说明：(1) 哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)(2) 哪一瓶净含量最接近规定的净含量【答案】(1)绝对值不超过的有 4瓶，分别是检查结果为+的这四瓶.(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.【变式2】一只可爱的小虫从点 0出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5,-3 , +10,-8 ,