概率论与数理统计习题7解答

1、精品文档习题七解答7.1.设 X1 , X 2 , X n 为抽自二项分布B(m,p) 的样本试求 p 的矩估计和极大似然估计。解 :（ 1）求 p 的矩估计。X B( m, p) ，因此总体的一阶原点矩为1EXnp按矩法估计有1nXmpX in i1因此 p 的矩估计?Xpm（ 2）求 p的极大似然估计。参数P 的极大似然函数为nnnC mX ip X i (1p) m X inC mxiX inmX iL( p)p i(1 p)i 1i 1i 1nnnln L ( p)lnCmxiX i ln p(mnX i ) ln (1p)i 1i 1i 1令d ln L( p)1n1nX i(mnX

2、 i )0dpp i 1p1i1即( p 1)n X p( mn n X ) 0X由此得 P 的极大似然估计p?m7.2 设总体为指数分布其概率密度函数为e x ,x0;f ( x)0,其它.求参数的矩估计和极大似然估计。解设 X1 , X 2 , X n 为 X 的一个样本。（ 1）求的矩估计。因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为.精品文档11 EX按矩法估计有1 1nX i Xn i 11因此的矩估计X（ 2）求的极大似然估计。参数的极大似然函数为lnL=似然方程为=0解得7.3 设总体为 0, 上的均匀分布求参数的矩估计和极大似然估计。解设 X 1 , X 2 , X n 为 X

3、的一个样本。（ 1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为1EX0按矩法估计有11n2n ii1xf ( x) dxx dx02X因此的矩估计 ?2 X 。（ 2）求参数的极大似然估计。由总体X 的密度函数知的似然函数为1n,0 X i, i 1,2,n;1n ,max X1 , , X n ;L ( )0，其它0，其它.由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须.精品文档max X 1 , X n 所以的极大似然估计为?max X 1 , X n 7.4 设总体为 ,2 上的均匀分布求参数的矩估计和极大似然估计。解：设 X 1 , X 2 , X n 为 X 的一个样本。（ 1）求的矩估计。总体的一阶

4、原点矩为21 EX按矩法估计有21n3nii 12x2xf ( x)dxdx3X因此的矩估计 ?3X。2（ 2）求参数的极大似然估计。由总体X 的密度函数知的似然函数为L()1n,X i 2 ,i1,2, n;1n,max X 1 , X n ;0，其它0，其它 .1,min X 1 , X n , 2max X 1 , X n ;n0，其它.由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须1 max X 1 , X n 2所以的极大似然估计为?1, X n max X 1 ,27.5 假设 X1,X2, X n 为 来 自 正 态 总 体 N (,2) 的样本，其中已知，求2的极大似然估计。解似然函

5、数为nL(2)i11exp12 ( xi)222.精品文档于是似然方程是ln L1n) 2n(xi0224i 122解得2 的极大似然估计量为21 n2(xix)n i 1x1 e , x0;7.6 设总体的概率密度函数为f ( x)（这是指数分布的另一种形式） .0,其它.从该总体中抽出样本X1,X2,X3,考虑的如下四种估计?X 11?( X1X2)/ 22?( X12X2) /33?4X(1)这四个估计中，哪些是的无偏估计？（ 2 试比较这些估计的方差。解： (1)因为 X1 , X 2 , X 3 是从总体中抽出的样本，所以E ?1EX1E ?2E( X11EX1 EX2 1X2)/2

6、2121E ?3E( X12X2)/32EX 22 EX131 EX131 E ?4E XE(X1 X2X3)/3EX 2EX333因此 ?1, ?2 , ?3, ?4 都是的无偏估计。(2) D ?1DX 12.精品文档D ?2D( X1X2)/21 DX1DX21 22 12442D ?3D( X12X2) /314DX 2145DX191 DX1991 1 2D ?4D XD( X1X 2X3)/3DX 2DX 3222993由上述各式知：D ?4D ?2D ?3D ?1。7.7 一个电子线路上电压表的读数X 服从,1 上的均匀分布 ,其中是该线路上电压的真值 ,但它是未知的，假设X 1

7、 , X 2 , , X n 是此电压表上读数的一组样本，(1)证明样本均值X 不是的无偏估计。(2) 求 的矩估计，证明它是的无偏估计。解：（ 1）因为 X1, X 2 , X n 是总体的一组样本，所以E XE( X1X 2X 3 ) / n1EX 2EX3 EX1n121212121n2222因此样本均值X 不是的无偏估计。21的矩估计为(2)令 X得2? X 1 2因为11211E XE X2222所以 ?X1是的无偏估计。27.8设?和?都是的无偏估计，且Var ( ? )2，Var ( ? )2，构造一个新无偏121122估计c ?(1c) ? ，0c112如果 ?1与 ?2 相互

8、独立 ,确定 c使得 Var ( ?)达到最小。解：因为?1和 ?2 都是的无偏估计，所以EE c ?1(1 c) ?2c(1c).精品文档因此 ?是的无偏估计。又因为 Var ( ? )2， Var ( ? )2，?与 ?相互独立，所以112212Var ()Var c ?1(1c) ?22?1 )(12Var ( ?2 )c22(1 c)22= c Var (c)122时，可使得 Var ( ?)当 c2达到最小。22127.9 从工厂产品库中随机抽取16 只零件，测得它们的长度(单位：厘米 )为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.

9、12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设零件长度分布为N ( ,2 ) ，试分如下两种情况求的置信系数为0.90的置信区间：(1)20.012 ； (2)2 未知。解： (1)因为总体 N ( ,0.012 ) ，对给定数据经计算可得，X =2.125 ，n=16，对于置信系数0.9，可查标准正态分布表，得临界值z/ 21.65 ，于是所求置信区间为( Xz/ 2，XZ / 2) ( 2.1251.650.01，2.125 1.650.01)nn1616= 2.121,2.129(2) 对给定数据经计算可得， S=0.017，因为总体服从正态分布， n=16，所以X

10、t(15) ，TS /n对于置信系数0.9，可查 t 分布表，得临界值 t / 21.75 ，于是所求置信区间为( Xt/ 2S ，X t / 2S ) ( 2.1251.750.017 ，2.125 1.750.017 )nn1616=(2.117,2.133)7.10 要比较两个汉字录入软件A 和 B 的性能， 考虑它们对于录入速度的影响。确定一篇文档， 随机挑选10 名有 3 年工作经验但都没有使用过A 和 B 的女性打字员，并请她们抽取使用 A 和 B 的顺序，使得 5 先用 A ，另 5 人先用 B 然后交换，记录下她们录入文档所用的时间 (单位：分钟 )如下：A： 12.4,7.6

11、,10.7,13.1,11.2,8.5,10.9,10.3,11.2,8.4B： 12.9,10.9,11.2,10.8,12.2,11.6,10.7,10.5,13.1,11.6假设使用两种软件的录入时间分别服从正态分布 N( 1,1。62) 和 N(2,1。22) .求12 的置信系数为0.9 的置信区间 .(请读者思考：为什么要抽取5 先用 A, 另 5 人先用 B ？ ).精品文档解：对给定数据经计算可得， X A10.43 ， X B11.55 ，置信系数为0.9，可查标准正态分布表，得临界值z / 21.65 ，又因为221.622121.20.63mn1010于是所求置信区间为2

12、222X AX Bz / 212 ,XAX Bz / 212mnmn(1.121.650.63,1.121.650.63( 2.16,0.08)7.11 甲、乙两组生产同种导线，现从甲组生产的导线中随机抽取4 根 从乙组生产的导线中随机抽取5 根，它们的电阻值(单位：欧姆 )分别为甲组： 0.143,0.142,0.143,0.137乙组： 0.140,0.142,0.136,0.138,0.140,假设两组电阻值分别服从正态分布 N ( 1 ,2) 和N(2 ,2) ,其中2 未知试求 12 的置信系数为0.95的置信区间 .解 ： 首先 我 们 查 t分布表得t。 ，对给定数据经计算可得，

13、/2(4 5 2) 2 36X1。，X2。，20.00287220.002282，所以0 14130 1392S1, S2Sw2(m 1) S12( n 1)S22mn2(41)0.00236 2(51) 0.00228 2。24520 00231故所求的二总体均值差1- 2 的 99%置信区间为(0.14130。1392)2.360.0023111，(0.1413 - 0.1392)2.36 0.00231114545= (0.002,0.006)7.12 某市随机抽取 1000 个家庭 ,调查知道其中有 228 家拥有小汽车 .试据此数据求该市拥有小汽车家庭比例 p 的置信区间，取置信系数为 0.95.解： n=1000， n， ?Yn0.228，Z/ 2 1.96Y =228pn所求置信区间为?=0.228 1.960.228(1 0.228) / 1000=0.228 0.026p Z / 2p(1p) / n.精品文档=0.202,02547.13根据实际经